高中物理中的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法(選讀)

1、高中物理中的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法（選讀）目錄：前言概念的描述與定義矢量與矢量的運(yùn)算極限思想的體現(xiàn)待定系數(shù)法的應(yīng)用（1）認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)方程（2）電學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理解方程組變力做功數(shù)學(xué)和物理在解題思路中的差別圖象法解題（1）識(shí)圖辨析（2）數(shù)形結(jié)合導(dǎo)數(shù)在高中物理中的應(yīng)用（1）求速度和加速度（2）求感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，半徑與軌跡的關(guān)系前言在多年的高中教學(xué)經(jīng)歷中，接觸到很多學(xué)生在物理上學(xué)習(xí)得很努力、很認(rèn)真，雖然在時(shí)間上大量的投入，但成績(jī)總是差強(qiáng)人意。造成這種現(xiàn)象的原因其中之一是受到數(shù)學(xué)知識(shí)的制約，而很多物理問題都得用到數(shù)學(xué)工具和方法解決；另外一個(gè)原因是數(shù)學(xué)知識(shí)掌握得不錯(cuò)，平時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)也好，

2、但不能靈活運(yùn)用到物理學(xué)習(xí)中來，對(duì)數(shù)學(xué)和物理兩個(gè)學(xué)科只是獨(dú)立地進(jìn)行思考與學(xué)習(xí)，不能真正地融匯貫通。高考考試說明中明確提出高中生應(yīng)具備應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力，即能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式，根據(jù)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)、規(guī)律進(jìn)行推導(dǎo)、求解和合理外推，并根據(jù)結(jié)果得出物理判斷、進(jìn)行物理解釋或作出物理結(jié)論。能根據(jù)物理問題的實(shí)際情況和所給條件，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖象等形式和方法進(jìn)行分析、表達(dá)。能夠從所給圖象通過分析找出其所表達(dá)的物理內(nèi)容，用于分析和解決物理問題。數(shù)學(xué)物理方法：對(duì)一個(gè)物理問題的處理，通常需要三個(gè)步驟：（1）利用物理定律將物理問題翻譯成數(shù)學(xué)問題；（2）解該數(shù)學(xué)問題，其中解數(shù)學(xué)物理方程

3、占有很大的比重，有多種解法；（3）將所得的數(shù)學(xué)結(jié)果翻譯成物理，即討論所得結(jié)果的物理意義。數(shù)學(xué)與物理的聯(lián)系：數(shù)學(xué)是物理的表述形式之一。其學(xué)科特點(diǎn)具有高度的抽象性，它能夠概括物理運(yùn)動(dòng)的所有空間形式和一切量的關(guān)系。數(shù)學(xué)是創(chuàng)立和發(fā)展物理學(xué)理論的主要工具。物理原理、定律、定理往往直接從實(shí)驗(yàn)概括抽象出來，首先是量的測(cè)定，然后再建立起量的聯(lián)系即數(shù)學(xué)關(guān)系式，其中就包含著大量的數(shù)學(xué)整理工作，本身就要大量的數(shù)學(xué)運(yùn)算，才能科學(xué)地整理實(shí)驗(yàn)所觀測(cè)到的量，找出它們之間的聯(lián)系。用數(shù)學(xué)語言來描述具體物理問題的能力培養(yǎng)，即能將具體問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，以期在數(shù)學(xué)技能與具體問題之間架起橋梁在解決實(shí)際物理問題的時(shí)候，從建立坐標(biāo)

4、開始，包括確定自變量，找出函數(shù)關(guān)系以至積分上下限的確定等，都要以物理思想來指導(dǎo)例如，當(dāng)只考慮平動(dòng)時(shí)，其物體就簡(jiǎn)化成為質(zhì)點(diǎn)，原本并不作用于一點(diǎn)的力都被簡(jiǎn)化為作用在質(zhì)點(diǎn)上，從而簡(jiǎn)化了物體的受力分析若要考慮物體的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，除了要建立平動(dòng)坐標(biāo)系外，還要建立相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)作為上述描述能力的另一方面要知道如何解釋數(shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)果的意義，根據(jù)結(jié)果作出科學(xué)的結(jié)論，在必要時(shí)會(huì)用圖形或其它方法進(jìn)行表達(dá)和描述有時(shí)從數(shù)學(xué)知識(shí)上來看是合理的，然而由于物理?xiàng)l件的限制，其結(jié)果卻不合理從我的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)看許多文章所述的那樣，在建立一質(zhì)點(diǎn)的受力運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，其難點(diǎn)就在于對(duì)摩擦力的數(shù)學(xué)描述因?yàn)槟Σ亮εc重力、約束力不同，它的方向隨質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的變

5、化而變化，尤其是對(duì)靜摩擦力的處理，很難用一個(gè)一般的函數(shù)形式來描述，需以物理思想來指導(dǎo)，對(duì)具體問題作具體分析例如，沿一斜面向上拋一質(zhì)點(diǎn)，顯然由于摩擦力的作用，質(zhì)點(diǎn)沿斜面向上滑動(dòng)與向下滑動(dòng)時(shí)的受力情況不同，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，還要特別地分析靜摩擦力(通常靜摩擦力大于滑動(dòng)摩擦力)對(duì)質(zhì)點(diǎn)的作用，以決定質(zhì)點(diǎn)是否向下滑 數(shù)學(xué)能導(dǎo)致新規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和新理論的建立牛頓在開普勒觀察得到的行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，利用數(shù)學(xué)的方法，導(dǎo)出了萬有引力定律：麥克斯韋從電磁現(xiàn)象已有的實(shí)驗(yàn)規(guī)律出發(fā)，建立了電磁場(chǎng)理論現(xiàn)代物理學(xué)，尤其是微觀世界的研究中，數(shù)學(xué)方法所起的作用越來越重要了可以說，沒有數(shù)學(xué)，物理學(xué)就不能前進(jìn)數(shù)學(xué)方法為物理學(xué)

6、研究提供簡(jiǎn)明精確的形式化語言運(yùn)用數(shù)學(xué)方法研究物理規(guī)律，對(duì)量與量之問的關(guān)系、量的變化以及在量與量之間進(jìn)行分析、比較、推導(dǎo)和運(yùn)算時(shí)，都是運(yùn)用一套形式化的語言(圖象、圖表)來表示的這種簡(jiǎn)潔、明確、嚴(yán)密的數(shù)學(xué)語言已日益滲透到物理學(xué)中去，成為表達(dá)物理概念和物理理論的重要形式和手段用簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)、形式化的語言表達(dá)物理規(guī)律以及規(guī)律和復(fù)雜現(xiàn)象的聯(lián)系，才能在物理學(xué)研究中進(jìn)行定量描述和理論概括，反映物理規(guī)律的普遍性我們經(jīng)常見到的用數(shù)學(xué)語言表示物理規(guī)律的例子如下：第一節(jié).概念的描述與定義理論課的學(xué)習(xí)是高中物理教學(xué)的主要內(nèi)容，其中會(huì)遇到多種多樣的數(shù)學(xué)問題，即全面又零散，那么數(shù)學(xué)與物理結(jié)合的方法就是：加

7、強(qiáng)滲透，注意總結(jié)歸類1.比值定義法，即用兩個(gè)基本的物理量的“比來定義一個(gè)新的物理量的方法一般地，比值法定義的基本特點(diǎn)是被定義的物理量往往是反映物質(zhì)最本質(zhì)的屬性，它不隨定義所用的物理量的大小而改變?cè)诔踔芯陀羞^物質(zhì)密度的定義，電阻的定義，到高中進(jìn)一步滲透這種方法，如確定的電場(chǎng)中的某一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)就不隨q、F而變；電容C的定義，用電荷量Q與電勢(shì)差U的比值來定義，但電容C是由電容器本身決定的，與Q和U無關(guān)；到后面的電勢(shì)、電勢(shì)差、磁通密度等都用這種方法來定義，當(dāng)然用來定義的物理量也有一定的條件，如q為點(diǎn)電荷，S為垂直放置于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的一個(gè)面積等類似的比值還有：壓強(qiáng)，速度，功率等（1）速度：物體運(yùn)動(dòng)的快慢的描

8、述。運(yùn)動(dòng)物體單位時(shí)間內(nèi)通過的位移，定義式為： （2）加速度：物體運(yùn)動(dòng)速度變化的快慢。定義式為：（3）電場(chǎng)強(qiáng)度：該點(diǎn)試探電荷受到的力與電荷量的比值。定義式為：另外，要經(jīng)常注意把概念、規(guī)律的定義式和公式與文字、語言表述結(jié)合起來，使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)式表達(dá)的物理意義。目前比較普遍存在的一種情況是學(xué)生只會(huì)背記公式，卻不理解其物理意義，到了做題的時(shí)候又只能含糊地代公式了事。譬如學(xué)生對(duì)電容的定義式CQ/U是熟知的，但對(duì)這個(gè)式子大多數(shù)學(xué)生只會(huì)讀作“C等于Q比U(或U分之Q)稍好些的，則能說：“電容等于電量與電壓之比或“電容等于增加單位電壓所需的電量很少有人能作如下確切地表述：“電容是表示電容器容納電荷本領(lǐng)的物

9、理量某個(gè)電容器電容的數(shù)值，等于使兩極板增加單位電壓所需增加的電量這種情況，固然與學(xué)生的語文程度有一定關(guān)系，但造成這種情況的主要的原因還在于物理教學(xué)本身要改變這種情況，教學(xué)中必需經(jīng)常注意把概念、規(guī)律的物理意義與數(shù)學(xué)表達(dá)式結(jié)合起來引出一個(gè)概念，應(yīng)該先從研究物理過程或物理現(xiàn)象入手，然后談到對(duì)概念的定義方法，最后才寫出定義式在類似的問題中都要進(jìn)行這種講解方法的滲透第二節(jié). 向量與矢量向量的概念定義1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量，或稱向量.兩類量: 數(shù)量(標(biāo)量):可用一個(gè)數(shù)值來描述的量;向量(矢量)既有大小又有方向的量.向量的幾何表示：有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小, 有向線段的方向表示向量的方

10、向.(1)向量的和三角形法則.平行四邊形法則定理1.2.1 如果把兩個(gè)向量為鄰邊組成一個(gè)平行四邊形OACB，那么對(duì)角線向量多邊形法則 (2)向量的差矢量概念定義：一條帶箭頭的線段來表示既有大小又有方向的物理量，線段的長(zhǎng)度表示大小，箭頭的指向表示方向。如運(yùn)動(dòng)中的速度v、位移s、加速度a，力學(xué)中的力，電場(chǎng)中的電場(chǎng)強(qiáng)度，磁場(chǎng)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度等。（1）矢量的合成與分解平行四邊形定則：求兩個(gè)互成角度的共點(diǎn)力F1、F2的合力，可以用表示F1、F2的有向線段為_鄰邊_作平行四邊形，平行四邊形的_對(duì)角線_(在兩個(gè)有向線段F1、F2之間)就表示合力的_大小和_方向_，如圖1甲所示三角形定則：求兩個(gè)互成角度的共點(diǎn)力

11、F1、F2的合力，可以把表示F1、F2的線段首尾順次相接地畫出，把F1、F2的另外兩端連接起來，則此連線就表示_合力_的大小和方向，如圖乙所示圖1例題一：已知力F的大小和方向，在以下三種條件下(如圖2所示)，通過作圖求兩個(gè)分力F1和F2.(1)圖甲，已知兩個(gè)分力的方向，即圖中和，求兩力的大小(2)圖乙，已知分力F1的大小和方向，求另一個(gè)分力F2的大小和方向(3)圖丙，已知F1的方向和F2的大小，求F1的大小和F2的方向以上三種情況的解是否都是唯一的？圖2甲、乙兩種情況的解是唯一的，而丙有兩解例題二：三個(gè)帶電荷量均為Q(正電)的小球A、B、C質(zhì)量均為m，放在水平光滑絕緣的桌面上，分別位于等邊三角

12、形的三個(gè)頂點(diǎn)，其邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，如圖所示，求：在三角形的中心O點(diǎn)應(yīng)放置什么性質(zhì)的電荷，才能使三個(gè)帶電小球都處于靜止?fàn)顟B(tài)？其電荷量是多少？第三節(jié).極限思想的體現(xiàn)極限的概念所謂極限法，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)方法極限法的一般步驟可概括為：對(duì)于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計(jì)算來得到這結(jié)果極限法不同于一般的代數(shù)方法，代數(shù)中的加、減、乘、除等運(yùn)算都是由兩個(gè)數(shù)來確定出另一個(gè)數(shù)，而在極限法中則是由無限個(gè)數(shù)來確定一個(gè)數(shù)極限法的發(fā)展極限法是把某個(gè)物理量推向極端，即極大和極小或極左和極右，并依此做出科學(xué)的推理分析，從而給出判斷或

13、導(dǎo)出一般結(jié)論。極限法在進(jìn)行某些物理過程的分析時(shí)，具有獨(dú)特作用，恰當(dāng)應(yīng)用極限法能提高解題效率，使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，思路靈活，判斷準(zhǔn)確。極限法的應(yīng)用極限法在現(xiàn)代數(shù)學(xué)乃至物理等學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用，這是由它本身固有的思維功能所決定極限法揭示了變量與常量、無限與有限的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，是唯物辯證法的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用借助極限法，人們可以從有限認(rèn)識(shí)無限，從“不變”認(rèn)識(shí)“變”，從直線形認(rèn)識(shí)曲線形，從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變，從近似認(rèn)識(shí)準(zhǔn)確無限與有限有本質(zhì)的不同，但二者又有聯(lián)系，無限是有限的發(fā)展無限個(gè)數(shù)目的和不是一般的代數(shù)和，把它定義為“部分和”的極限，就是借助極限法，從有限認(rèn)識(shí)無限“變”與“不變”反映了事

14、物運(yùn)動(dòng)變化與相對(duì)靜止兩種不同狀態(tài)，但它們?cè)谝欢l件下又可相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化是“數(shù)學(xué)科學(xué)的有力杠桿之一”例如，要求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，用初等方法是無法解決的，困難在于這時(shí)速度是變量為此，人們先在小范圍內(nèi)用勻速代替變速，并求其平均速度，把瞬時(shí)速度定義為平均速度的極限，就是借助極限法，從“不變”認(rèn)識(shí)“變”例題選析例題一：課本例子例題二：如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m的小球位于一質(zhì)量可忽略的直立彈簧上方h高度處，該小球從靜止開始落向彈簧，設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k ，則物塊可能獲得的最大動(dòng)能為多少？解析：球跟彈簧接觸后，先做變加速運(yùn)動(dòng)，后做變減速運(yùn)動(dòng)，據(jù)此推理，小球所受合力為零的位置速度、動(dòng)能最大。所以速最大時(shí)

15、有mg = kx 由機(jī)械能守恒有：mg (h + x) = Ek +kx2 聯(lián)立式解得：Ek = mgh第四節(jié).待定系數(shù)法待定系數(shù)法概念待定系數(shù)法是一種求未知數(shù)的方法。將一個(gè)多項(xiàng)式表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式，這樣就得到一個(gè)恒等式。然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程組，其后通過解方程或方程組便可求出待定的系數(shù)，或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式，這種解決問題的方法叫做待定系數(shù)法（1）認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)方程（2）電學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理5.解方程組的方法大致上有“畫圖法”、“矩陣法”、“代入法”、“消元法”等等。很多物理綜合性大題可以根據(jù)物理原理規(guī)律列出很多方程，但是最終求解某個(gè)物理量時(shí)，要對(duì)眾多方程

16、進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，此時(shí)解方程組的能力就顯得特別重要例：(2008年全國(guó)高考物理卷1第23題)已知O、A，B，C為同一直線上的四點(diǎn)，AB間的距離為，BC間的距離為，一物體自0點(diǎn)由靜止出發(fā)，沿此直線做勻加速運(yùn)動(dòng)，依次經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，已知物體通過AB段與BC段所用的時(shí)間相等求D與A的距離解析：設(shè)物體的加速度為a，到達(dá)A點(diǎn)的速度為，通過AB段和BC點(diǎn)所用的時(shí)間為t，則有 , 解得：設(shè)O與A的距離為，則有本題運(yùn)動(dòng)過程并不復(fù)雜，根據(jù)物理過程列出數(shù)學(xué)方程很容易，但是有些數(shù)學(xué)能力差的同學(xué)會(huì)因?yàn)槿《芜^程很相似，所列出的方程形式也很相似，而把方程中所用字母搞得混亂，可能出現(xiàn)用一個(gè)字母表示多個(gè)物理量的情況，或者某個(gè)字母用得不恰當(dāng)，而導(dǎo)致解不出最后結(jié)果作為全國(guó)高考題，本題列出三個(gè)方程，但是有a，t，四個(gè)未知量，那些善于觀