中考數(shù)學(xué)專題7幾何輔助線(圖)作法探討

1、【2013年中考攻略】專題7：幾何輔助線（圖）作法探討一些幾何題的證明或求解，由原圖形分析探究，有時顯得十分復(fù)雜，若通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，即添加適當(dāng)?shù)妮o助線（圖），將原圖形轉(zhuǎn)換成一個完整的、特殊的、簡單的新圖形，則能使原問題的本質(zhì)得到充分的顯示，通過對新圖形的分析，原問題順利獲解。網(wǎng)絡(luò)上有許多初中幾何常見輔助線作法歌訣，下面這一套是很好的：人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要

2、證線段倍與半，延長縮短可試驗(yàn)。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點(diǎn)。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補(bǔ)成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。圓半徑與弦長計(jì)算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。切線長度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。弧有中點(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各

3、邊作出中垂線。還要作個內(nèi)切圓，內(nèi)角平分線夢圓。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點(diǎn)公切線。若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。 輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。基本作圖很關(guān)鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。在幾何題的證明或求解時，需要構(gòu)成一些基本圖形來求證（解）時往往要通過添加輔助線（圖）來形成，添加輔助線（圖），構(gòu)成的基本圖形是結(jié)果，構(gòu)造的手段是方法。筆者從作輔助線的結(jié)果和方法兩方面將幾何輔助線（圖）

4、作法歸納為結(jié)果（1）構(gòu)造基本圖形；（2）構(gòu)造等腰（邊）三角形：（3）構(gòu)造直角三角形；（4）構(gòu)造全等三角形；（5）構(gòu)造相似三角形；（6）構(gòu)造特殊四邊形；（7）構(gòu)造圓的特殊圖形；方法（8）基本輔助線；（9）截取和延長變換；（10）對稱變換；（11）平移變換；（12）旋轉(zhuǎn)變換。下面通過近年全國各地中考的實(shí)例探討其應(yīng)用。一、構(gòu)造基本圖形：每個幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時補(bǔ)完整基本圖形。如平行線，垂直線，直角三角形斜邊上中線，三角形、四邊形的中位線等。等腰（邊）三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊四邊形和圓的特殊圖

5、形也都是基本圖形，但我們后面把它們單獨(dú)表述。典型例題：例1. （2012湖北襄陽3分）如圖，直線lm，將含有45角的三角板abc的直角頂點(diǎn)c放在直線m上，若1=25，則2的度數(shù)為【 】a20 b25 c30 d35【答案】a。【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)。【分析】如圖，過點(diǎn)b作bdl，直線lm，bdlm。1=25，4=1=25。abc=45，3=abc4=4525=20。2=3=20。故選a。例2.（2012四川內(nèi)江3分）如圖，【 】a. b. c. d.【答案】b?！究键c(diǎn)】平行的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)。【分析】如圖，反向延長，形成4。 ，3=18004。 又2=14，即4=21。 。故選b。例3.（2

6、012廣東梅州3分）如圖，aoe=boe=15，efob，ecob，若ec=1，則ef= 【答案】2。【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)?！痉治觥孔鱡goa于f，efob，oef=coe=15，aoe=15，efg=15+15=30。eg=ce=1，ef=21=2。例4.（2012廣東佛山3分）依次連接任意四邊形各邊的中點(diǎn)，得到一個特殊圖形（可認(rèn)為是一般四邊形的性質(zhì)），則這個圖形一定是【 】 a平行四邊形b矩形c菱形d梯形【答案】 a?！究键c(diǎn)】三角形中位線定理，平行四邊形的判定?！痉治觥扛鶕?jù)題意畫出圖形，如右圖所示：連接ac，四邊形abcd各邊中點(diǎn)

7、是e、f、g、h，hgac，hg=ac，efac，ef=ac。ef=gh，efgh。四邊形efgh是平行四邊形。由于四邊形efgh是平行四邊形，它就不可能是梯形；同時由于是任意四邊形，所以ac=bd或acbd不一定成立，從而得不到矩形或菱形的判斷。故選a。 例5.（2012江蘇宿遷3分）已知點(diǎn)e，f，g，h分別是四邊形abcd的邊ab，bc，cd，da的中點(diǎn)，若acbd，且acbd，則四邊形efgh的形狀是 .（填“梯形”“矩形”“菱形” ）【答案】矩形?！究键c(diǎn)】三角形中位線定理，矩形的判定?！痉治觥咳鐖D，連接ac，bd。 e，f，g，h分別是ab，bc，cd，da的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理

8、，heabgf，hgacef。又acbd，ehg=hgf=gfe=feh=900。四邊形efgh是矩形。且acbd，四邊形efgh鄰邊不相等。四邊形efgh不可能是菱形。例6.（2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田3分）如圖，線段ac=n+1（其中n為正整數(shù)），點(diǎn)b在線段ac上，在線段ac同側(cè)作正方形abmn及正方形bcef，連接am、me、ea得到ame當(dāng)ab=1時，ame的面積記為s1；當(dāng)ab=2時，ame的面積記為s2；當(dāng)ab=3時，ame的面積記為s3；當(dāng)ab=n時，ame的面積記為sn當(dāng)n2時，snsn1= 【答案】?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，同底等高的三角形面積，整

9、式的混合運(yùn)算?！痉治觥窟B接be，在線段ac同側(cè)作正方形abmn及正方形bcef，beam。ame與amb同底等高。ame的面積=amb的面積。當(dāng)ab=n時，ame的面積為，當(dāng)ab=n1時，ame的面積為。當(dāng)n2時，。例7.（2012江蘇鎮(zhèn)江6分）如圖，在四邊形abcd中，adbc，e是ab的中點(diǎn)，連接de并延長交cb的延長線于點(diǎn)f，點(diǎn)g在bc邊上，且gdf=adf。（1）求證：adebfe；（2）連接eg，判斷eg與df的位置關(guān)系，并說明理由?！敬鸢浮拷猓海?）證明：adbc，ade=bfe（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。 e是ab的中點(diǎn)，ae=be。 又aed=bef，adebfe（aas）。

10、（2）eg與df的位置關(guān)系是egdf。理由如下： ade=bfe，gdf=adf，gdf=bfe（等量代換）。gd=gf（等角對等邊）。 又adebfe，de=ef（全等三角形對應(yīng)邊相等）。egdf（等腰三角形三線合一）?！究键c(diǎn)】平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)。【分析】（1）由已知，應(yīng)用aas即可證明adebfe。 （2）由ade=bfe，gdf=adf可得gdf=bfe，從而根據(jù)等角對等邊得gd=gf；由（1）adebfe可得de=ef。根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得egdf。例8.（2012廣西南寧10分）如圖，已知矩形紙片abcd，ad=2，ab=4將紙片折

11、疊，使頂點(diǎn)a與邊cd上的點(diǎn)e重合，折痕fg分別與ab，cd交于點(diǎn)g，f，ae與fg交于點(diǎn)o（1）如圖1，求證：a，g，e，f四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形；（2）如圖2，當(dāng)aed的外接圓與bc相切于點(diǎn)n時，求證：點(diǎn)n是線段bc的中點(diǎn)；（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕fg的長【答案】解：（1）由折疊的性質(zhì)可得，ga=ge，agf=egf，dcab，efg=agf。efg=egf。ef=eg=ag。四邊形agef是平行四邊形（efag，ef=ag）。又ag=ge，四邊形agef是菱形。（2）連接on，aed是直角三角形，ae是斜邊，點(diǎn)o是ae的中點(diǎn)，aed的外接圓與bc相切于點(diǎn)n，onbc。點(diǎn)o是a

12、e的中點(diǎn)，on是梯形abce的中位線。點(diǎn)n是線段bc的中點(diǎn)。（3）oe、on均是aed的外接圓的半徑，oe=oa=on=2。ae=ab=4。在rtade中，ad=2，ae=4，aed=30。在rtoef中，oe=2，aed=30，。fg=?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質(zhì)，菱形的判定，梯形中位線性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥浚?）根據(jù)折疊的性質(zhì)判斷出ag=ge，agf=egf，再由cdab得出efg=agf，從而判斷出ef=ag，得出四邊形agef是平行四邊形，從而結(jié)合ag=ge，可得出結(jié)論。（2）連接on，則onbc，從而判斷出on是梯形abce的中位線，從

13、而可得出結(jié)論。 （3）根據(jù)（1）可得出ae=ab，從而在rtade中，可判斷出aed為30，在rtefo中求出fo，從而可得出fg的長度。練習(xí)題：1. （2012寧夏區(qū)3分）如圖，c島在a島的北偏東45方向，在b島的北偏西25方向，則從c島看a、b兩島的視角acb 度2.（2012浙江嘉興、舟山5分）在直角abc中，c=90，ad平分bac交bc于點(diǎn)d，若cd=4，則點(diǎn)d到斜邊ab的距離為 3.（2012江蘇南京8分）如圖，梯形abcd中，ad/bc，ab=cd，對角線ac、bd交于點(diǎn)o，acbd，e、f、g、h分別為ab、bc、cd、da的中點(diǎn)（1）求證：四邊形efgh為正方形；（2）若ad

14、=2，bc=4，求四邊形efgh的面積。4. （2011湖南懷化3分）如圖，已知直線，1=40，2=60則3等于 【 】a、100 b、60 c、40 d、205. （2011湖北恩施3分）將一個直角三角板和一把直尺如圖放置，如果=43，則的度數(shù)是【 】 a、43b、47 c、30d、606. （2011廣東茂名3分）如圖，兩條筆直的公路l1、l2相交于點(diǎn)o，村莊c的村民在公路的旁邊建三個加工廠 a、b、d，已知ab=bc=cd=da=5公里，村莊c到公路l1的距離為4公里，則村莊c到公路l2的距離是【 】a、3公里b、4公里 c、5公里d、6公里7. （2011遼寧遼陽3分）如圖，已知菱形a

15、bcd的邊長為2，bad60，若deab，垂足為點(diǎn)e，則de的長為 8. （2011貴州黔東南4分）順次連接一矩形場地abcd的邊ab、bc、cd、da的中點(diǎn)e、f、g、h，得到四邊形efgh，m為邊eh的中點(diǎn)，點(diǎn)p為小明在對角線eg上走動的位置，若ab=10米，bc=米，當(dāng)pm+ph的和為最小值時，ep的長為 。9. （2011廣西玉林、防城港10分）如圖，點(diǎn)g是正方形abcd對角線ca的延長線上任意一點(diǎn)，以線段ag為邊作一個正方形aefg，線段eb和gd相交于點(diǎn)h（1）求證：eb=gd；（2）判斷eb與gd的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若ab=2，ag=，求eb的長10. （2011湖南衡

16、陽10分）如圖，在矩形abcd中，ad=4cm，ab=m（m4），點(diǎn)p是ab邊上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)a、b重合），連接pd，過點(diǎn)p作pqpd，交直線bc于點(diǎn)q（1）當(dāng)m=10時，是否存在點(diǎn)p使得點(diǎn)q與點(diǎn)c重合？若存在，求出此時ap的長；若不存在，說明理由；（2）連接ac，若pqac，求線段bq的長（用含m的代數(shù)式表示）；（3）若pqd為等腰三角形，求以p、q、c、d為頂點(diǎn)的四邊形的面積s與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍二、構(gòu)造等腰（邊）三角形：當(dāng)問題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時往往要補(bǔ)完整等腰（邊）三角形；出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰（邊）三角形。通過構(gòu)造

17、等腰（邊）三角形，應(yīng)用等腰（邊）三角形的性質(zhì)得到一些邊角相等關(guān)系，達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例1. （2012浙江麗水、金華4分）如圖，在等腰abc中，abac，bac50bac的平分線與ab的中垂線交于點(diǎn)o，點(diǎn)c沿ef折疊后與點(diǎn)o重合，則cef的度數(shù)是 【答案】50?！究键c(diǎn)】翻折變換(折疊問題)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)?！痉治觥坷萌热切蔚呐卸ㄒ约按怪逼椒志€的性質(zhì)得出obc40，以及obcocb40，再利用翻折變換的性質(zhì)得出eoec，ceffeo，進(jìn)而求出即可：連接bo，abac，ao是bac的平分線，ao是bc的中垂線。boco。bac50

18、，bac的平分線與ab的中垂線交于點(diǎn)o，oaboac25。等腰abc中，abac，bac50，abcacb65。obc652540。obcocb40。點(diǎn)c沿ef折疊后與點(diǎn)o重合，eoec，ceffeo。ceffeo（18002400）250。例2.（2012甘肅白銀10分）如圖，已知abc是等邊三角形，點(diǎn)d、f分別在線段bc、ab上，efb=60，dc=ef（1）求證：四邊形efcd是平行四邊形；（2）若bf=ef，求證：ae=ad【答案】證明：（1）abc是等邊三角形，abc=60。efb=60，abc=efb。efdc（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）。dc=ef，四邊形efcd是平行四邊形。（2

19、）連接be。bf=ef，efb=60，efb是等邊三角形。eb=ef，ebf=60。dc=ef，eb=dc。abc是等邊三角形，acb=60，ab=ac。ebf=acb。aebadc（sas）。ae=ad?！究键c(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)，平行的判定，平行四邊形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，?！痉治觥浚?）由abc是等邊三角形得到b=60，而efb=60，由此可以證明efdc，而dc=ef，然后即可證明四邊形efcd是平行四邊形；（2）如圖，連接be，由bf=ef，efb=60可以推出efb是等邊三角形，然后得到eb=ef，ebf=60，而dc=ef，由此得到eb=dc，又abc是等邊三角形，所以得

20、到acb=60，ab=ac，由sas即可證明aebadc，利用全等三角形的性質(zhì)就證明ae=ad。例3.（2011上海12分）如圖，在梯形abcd中，ad/bc，abdc，過點(diǎn)d作debc，垂足為e，并延長de至f，使efde聯(lián)結(jié)bf、cd、ac（1）求證：四邊形abfc是平行四邊形； （2）如果de2bece，求證四邊形abfc是矩形 【答案】解：（1）證明：連接bd。梯形abcd中，adbc，ab=dc，ac=bd，acb=dbcdebc，ef=de，bd=bf，dbc=fbc。ac=bf，acb=cbf。acbf。四邊形abfc是平行四邊形；（2）de2bece，。deb=dec=90，b

21、dedec。cde=dbe，bfc=bdc=bdecde=bdedbe=90。四邊形abfc是矩形。【考點(diǎn)】等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，等量代換?！痉治觥浚?）連接bd，利用等腰梯形的性質(zhì)得到ac=bd，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到db=fb，從而得到ac=bf，然后證得acbf，利用一組對邊平行且相等判定平行四邊形。（2）利用題目提供的等積式和兩直角相等可以證得兩直角三角形相似，得到對應(yīng)角相等，從而得到直角來證明有一個角是直角的平行四邊形是矩形。練習(xí)題：1. （2011山東濰坊3分）已知長方形abcd，ab=3cm，ad=4cm，過對角線bd的中

22、點(diǎn)o做bd的垂直平分線ef，分別交ad、bc于點(diǎn)e、f，則ae的長為 2. （2011遼寧遼陽3分）如圖，已知菱形abcd的邊長為2，bad60，若deab，垂足為點(diǎn)e，則de的長為 3. （2011湖北十堰8分）如圖，ab是半圓o的直徑，點(diǎn)c為半徑ob上一點(diǎn)，過點(diǎn)c作cdab交半圓o于點(diǎn)d，將acd沿ad折疊得到aed，ae交半圓于點(diǎn)f，連接df。（1）求證：de是半圓的切線；（2）連接od，當(dāng)oc=bc時，判斷四邊形odfa的形狀，并證明你的結(jié)論。4. （2011四川巴中10分） 如圖所示，abc的外接圓圓心o在ab上，點(diǎn)d是bc延長線上一點(diǎn)，dmab于m，交ac于n，且ac=cdcp是c

23、dn的nd邊的中線 (1)求證：abcdnc； (2)試判斷cp與o的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。5. （2011廣東河源9分） 如圖，等腰梯形abcd中，abcd，ad=bc。將acd沿對角線ac翻折后，點(diǎn)d恰好與邊ab的中點(diǎn)m重合 (1)點(diǎn)c是否在以ab為直徑的圓上?請說明理由; (2)當(dāng)ab=4時，求此梯形的面積三、構(gòu)造直角三角形：通過構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)得到一些邊角關(guān)系（勾股定理，兩銳角互余，銳角三角函數(shù)），達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例2.（2012廣西柳州3分）已知：在abc中，ac=a，ab與bc所在直線成45角，ac與bc所在直線形成的夾角的余弦值為 （即co

24、sc=），則ac邊上的中線長是 【答案】或a。【考點(diǎn)】解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，三角形中位線定理，勾股定理?！痉治觥糠謨煞N情況：abc為銳角三角形時，如圖1，be為ac邊的中線。作abc的高ad，過點(diǎn)e作efbc于點(diǎn)f。在rtacd中，ac=a，cosc=，cd=a，ad=a。在rtabd中，abd=45，bd=ad=a。bc=bd+cd=a。點(diǎn)e是ac的中點(diǎn)，efad，ef是acd的中位線。fc=dc=a，ef=ad=a。bf=a。在rtbef中，由勾股定理，得。abc為鈍角三角形時，如圖2，be為ac邊的中線。作abc的高ad。在rtacd中，ac=a，cosc=，cd=a，ad=a

25、。在rtabd中，abd=45，bd=ad=a。bc= bd=a。點(diǎn)e是ac的中點(diǎn)，be是acd的中位線。be=ad=a。綜上所述，ac邊上的中線長是或a。例3. （2012廣西河池3分）如圖，在矩形abcd中，adab，將矩形abcd折疊，使點(diǎn)c與點(diǎn)a重合，折痕為mn，連結(jié)cn若cdn的面積與cmn的面積比為14，則 的值為【 】a2b4 cd【答案】d?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形、菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥窟^點(diǎn)n作ngbc于g，由四邊形abcd是矩形，易得四邊形cdng是矩形，又由折疊的性質(zhì)，可得四邊形amcn是菱形，由cdn的面積與cmn的面積比為1：4，根

26、據(jù)等高三角形的面積比等于對應(yīng)底的比，可得dn：cm=1：4，然后設(shè)dn=x，由勾股定理可求得mn的長，從而求得答案： 過點(diǎn)n作ngbc于g，四邊形abcd是矩形，四邊形cdng是矩形，adbc。cd=ng，cg=dn，anm=cmn。由折疊的性質(zhì)可得：am=cm，amn=cmn，anm=amn。am=an。am=cm，四邊形amcn是平行四邊形。am=cm，四邊形amcn是菱形。cdn的面積與cmn的面積比為1：4，dn：cm=1：4。設(shè)dn=x，則an=am=cm=cn=4x，ad=bc=5x，cg=x。bm=x，gm=3x。在rtcgn中，在rtmng中，。故選d。例4.（2012北京市5

27、分）如圖，在四邊形abcd中，對角線ac，bd交于點(diǎn)e，bac=900，ced=450，dce=900，de=，be=2求cd的長和四邊形abcd的面積【答案】解：過點(diǎn)d作dhac，ced=45，dhec，de=，eh=dh=1。又dce=30，dc=2，hc=。aeb=45，bac=90，be=2，ab=ae=2。ac=2+1+ =3+。 ?！究键c(diǎn)】勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出eh=dh=1，進(jìn)而得出再利用直角三角形中30所對邊等于斜邊的一半得出cd的長，求出ac，ab的長即可得出四邊形abcd的面積。例5.（2012山東

28、萊蕪9分）某市規(guī)劃局計(jì)劃在一坡角為16的斜坡ab上安裝一球形雕塑，其橫截面示意圖如圖所示已知支架ac與斜坡ab的夾角為28，支架bdab于點(diǎn)b，且ac、bd的延長線均過o的圓心，ab12m，o的半徑為1.5m，求雕塑最頂端到水平地面的垂直距離(結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：cos280.9，sin620.9，sin440.7，cos460.7)【答案】解：如圖，過點(diǎn)o作水平地面的垂線，垂足為點(diǎn)e。 在rtaob中，即， 。bae=160，oae=280160=440。在rtaoe中，即，9.3331.5=10.83310.83（m）。答：雕塑最頂端到水平地面的垂直距離為10.83 m。【考點(diǎn)

29、】解直角三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥咳鐖D，過點(diǎn)o作水平地面的垂線，構(gòu)造rtaoe。解rtaob，求出oa；解rtaoe，求出oe，即可得出雕塑最頂端到水平地面的垂直距離。例6.（2012山東聊城7分）周末，小亮一家在東昌湖游玩，媽媽在湖心島岸邊p處觀看小亮與爸爸在湖中劃船（如圖）小船從p處出發(fā)，沿北偏東60劃行200米到達(dá)a處，接著向正南方向劃行一段時間到達(dá)b處在b處小亮觀測媽媽所在的p處在北偏西37方向上，這時小亮與媽媽相距多少米（精確到米）？（參考數(shù)據(jù)：sin370.60，cos370.80，tan370.75，1.41，1.73）【答案】解：作pdab于點(diǎn)d，由已知得pa=2

30、00米，apd=30，b=37，在rtpad中，由cos30=，得pd=pacos30=200=100（米）。在rtpbd中，由sin37=，得pb=（米）。答：小亮與媽媽的距離約為288米?！究键c(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用（方向角問題），銳角三角函數(shù)?！痉治觥孔鱬dab于點(diǎn)d，分別在直角三角形pad和直角三角形pbd中求得pd和pb即可求得結(jié)論。例7. （2012吉林省8分）如圖，在扇形oab中，aob=90，半徑oa=6將扇形oab沿過點(diǎn)b的直線折疊，點(diǎn)o恰好落在 上點(diǎn)d處，折痕交oa于點(diǎn)c，求整個陰影部分的周長和面積【答案】解：連接od。 根據(jù)折疊的性質(zhì)，cd=co，bd=bo，dbc=obc

31、，ob=od=bd。obd是等邊三角形。dbo=60。cbo=dbo=30。aob=90，oc=obtancbo=6。，整個陰影部分的周長為：ac+cd+bd+=ac+oc+ob+=6+6+3=12+3。整個陰影部分的面積為：?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，弧長的扇形面積的計(jì)算?！痉治觥窟B接od，由折疊的性質(zhì)，可得cd=co，bd=bo，dbc=obc，則可得obd是等邊三角形，繼而求得oc的長，即可求得obc與bcd的面積，又由在扇形oab中，aob=90，半徑oa=6，即可求得扇形oab的面積與 的長，從而求得整個陰影部分的周長

32、和面積。練習(xí)題：1. （2012四川綿陽3分）已知abc中，c=90，tana=，d是ac上一點(diǎn)，cbd=a，則sinabd=【 】。a b c d2.（2012山東青島8分）如圖，某校教學(xué)樓ab的后面有一建筑物cd，當(dāng)光線與地面的夾角是22時，教學(xué)樓在建筑物的墻上留下高2m的影子ce；而當(dāng)光線與地面的夾角是45時，教學(xué)樓頂a在地面上的影子f與墻角c有13m的距離(b、f、c在一條直線上)(1)求教學(xué)樓ab的高度；(2)學(xué)校要在a、e之間掛一些彩旗，請你求出a、e之間的距離(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：sin22，cos22，tan22)3.（2012湖北襄陽3分）在一次數(shù)學(xué)活動中，李明利用一根

33、栓有小錘的細(xì)線和一個半圓形量角器制作了一個測角儀，去測量學(xué)校內(nèi)一座假山的高度cd如圖，已知小明距假山的水平距離bd為12m，他的眼鏡距地面的高度為1.6m，李明的視線經(jīng)過量角器零刻度線oa和假山的最高點(diǎn)c，此時，鉛垂線oe經(jīng)過量角器的60刻度線，則假山的高度為【 】a（4+1.6）m b（12+1.6）m c（4+1.6）m d4m4.（2012江蘇南京2分）如圖，將的aob按圖擺放在一把刻度尺上，頂點(diǎn)o與尺下沿的端點(diǎn)重合，oa與尺下沿重合，ob與尺上沿的交點(diǎn)b在尺上的讀數(shù)為2cm，若按相同的方式將的aoc放置在該尺上，則oc與尺上沿的交點(diǎn)c在尺上的讀數(shù)約為 cm（結(jié)果精確到0.1 cm，參考

34、數(shù)據(jù)：，）5.（2012福建福州4分）如圖，已知abc，abac1，a36，abc的平分線bd交ac于點(diǎn)d，則ad的長是 ，cosa的值是 (結(jié)果保留根號)6.（2012陜西省8分）如圖，小明想用所學(xué)的知識來測量湖心島上的迎賓槐與岸上的涼亭間的距離，他先在湖岸上的涼亭a處測得湖心島上的迎賓槐c處位于北偏東方向，然后，他從涼亭a處沿湖岸向正東方向走了100米到b處，測得湖心島上的迎賓槐c處位于北偏東方向（點(diǎn)a、b、c在同一水平面上）請你利用小明測得的相關(guān)數(shù)據(jù)，求湖心島上的迎賓槐c處與湖岸上的涼亭a處之間的距離（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：，）7.（2012江蘇連云港10分）已知b港口位于a觀測點(diǎn)

35、北偏東53.2方向，且其到a觀測點(diǎn)正北方向的距離bd的長為16km，一艘貨輪從b港口以40km/h的速度沿如圖所示的bc方向航行，15min后達(dá)到c處，現(xiàn)測得c處位于a觀測點(diǎn)北偏東79.8方向，求此時貨輪與a觀測點(diǎn)之間的距離ac的長(精確到0.1km)(參考數(shù)據(jù)：sin53.20.80，cos53.20.60，sin79.80.98，cos79.80.18，tan26.60.50，1.41，2.24)8.（2012四川樂山10分）如圖，在東西方向的海岸線l上有一長為1千米的碼頭mn，在碼頭西端m的正西方向30 千米處有一觀察站o某時刻測得一艘勻速直線航行的輪船位于o的北偏西30方向，且與o相距

36、千米的a處；經(jīng)過40分鐘，又測得該輪船位于o的正北方向，且與o相距20千米的b處（1）求該輪船航行的速度；（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭mn靠岸？請說明理由（參考數(shù)據(jù)：，）四、構(gòu)造全等三角形：通過構(gòu)造全等三角形，應(yīng)用全等三角形對應(yīng)邊、角相等的性質(zhì)，達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例1. （2012浙江紹興5分）如圖，在矩形abcd中，點(diǎn)e，f分別在bc，cd上，將abe沿ae折疊，使點(diǎn)b落在ac上的點(diǎn)b處，又將cef沿ef折疊，使點(diǎn)c落在eb與ad的交點(diǎn)c處則bc：ab的值為 。例2. （2012山東泰安3分）如圖，abcd，e，f分別為ac，bd的中點(diǎn)，若ab=

37、5，cd=3，則ef的長是【 】a4b3c2d1【答案】d?！究键c(diǎn)】三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥窟B接de并延長交ab于h，cdab，c=a，cde=ahe。e是ac中點(diǎn)，de=eh。dcehae（aas）。de=he，dc=ah。f是bd中點(diǎn)，ef是dhb的中位線。ef=bh。bh=abah=abdc=2。ef=1。故選d。例3.（2012山東德州12分）如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片abcd，點(diǎn)p為正方形ad邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)a、點(diǎn)d重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn)b落在p處，點(diǎn)c落在g處，pg交dc于h，折痕為ef，連接bp、bh（1）求證：apb=bph；（2）

38、當(dāng)點(diǎn)p在邊ad上移動時，pdh的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)ap為x，四邊形efgp的面積為s，求出s與x的函數(shù)關(guān)系式，試問s是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由【答案】解：（1）如圖1，pe=be，ebp=epb又eph=ebc=90，ephepb=ebcebp，即pbc=bph。又adbc，apb=pbc。apb=bph。（2）phd的周長不變?yōu)槎ㄖ?。證明如下：如圖2，過b作bqph，垂足為q。由（1）知apb=bph，又a=bqp=90，bp=bp，abpqbp（aas）。ap=qp，ab=bq。又ab=bc，bc=bq。又c=bqh=90，bh=

39、bh，bchbqh（hl）。ch=qh。phd的周長為：pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8。（3）如圖3，過f作fmab，垂足為m，則fm=bc=ab。又ef為折痕，efbp。efm+mef=abp+bef=90。efm=abp。又a=emf=90，ab=me，efmbpa（asa）。em=ap=x在rtape中，（4be）2+x2=be2，即。又四邊形pefg與四邊形befc全等，。，當(dāng)x=2時，s有最小值6。【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題），正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值。【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出pbc=bph，進(jìn)而

40、利用平行線的性質(zhì)得出apb=pbc即可得出答案。（2）先由aas證明abpqbp，從而由hl得出bchbqh，即可得ch=qh。因此，pdh的周長=pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8為定值。（3）利用已知得出efmbpa，從而利用在rtape中，（4be）2+x2=be2，利用二次函數(shù)的最值求出即可。例4. （2011廣西南寧3分）如圖，在abc中，acb90，a15，ab8，則acbc的值為【 】a14 b16 c4 d16【答案】d?！究键c(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)?！痉治觥垦娱Lbc到點(diǎn)d，使cdcb，連接ad，過點(diǎn)d作deab，垂足為點(diǎn)e。則知acdac

41、b，從而由已知得cada15，adab。因此，在rtade中，ad8，bad30，deadsin304。從而sadeabde16，又sadebdac2bcacacbc，即acbc16。例5. （2011山東濟(jì)南3分）如圖，在abc中，acb90，acbc，分別以ab、bc、ca為一邊向abc外作正方形abde、bcmn、cafg，連接ef、gm、nd，設(shè)aef、bnd、cgm的面積分別為s1、s2、s3，則下列結(jié)論正確的是【 】as1s2s3 bs1s2s3cs1s3s2 ds2s3s1【答案】a?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥窟^點(diǎn)d作dqmn交cb的

42、延長線于點(diǎn)p，交mn的延長線于點(diǎn)q； 過點(diǎn)e作ergf交ca的延長線于點(diǎn)s，交gf的延長線于點(diǎn)r。 易證cgmcab（sas），即s2sabc； 易證pbdcab（aas），bp=ac，即s3的底為bn=bc，高為bp=ac，s2sabc；易證seacab（aas），as=bc，即s1的底為fa=ca，高為as=bc，s2sabc。s1s2s3sabc。故選a。例6. （2011山東德州8分）如圖 ab=ac，cdab于d，beac于e，be與cd相交于點(diǎn)o（1）求證ad=ae；（2）連接oa，bc，試判斷直線oa，bc的關(guān)系并說明理由【答案】解：（1）證明：在acd與abe中，a=a，adc

43、=aeb=90，ab=ac，acdabe（aas）。ad=ae。 （2）在rtado與rtaeo中，oa=oa，ad=ae，adoaeo（hl）。dao=eao。即oa是bac的平分線。又ab=ac，oabc。【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)全等三角形aas的判定方法，證明acdabe，即可得出ad=ae。（2）根據(jù)已知條件得出adoaeo，得出dao=eao，即可判斷出oa是bac的平分線，即oabc。練習(xí)題：1. （2012湖南岳陽3分）如圖，在rtabc中，b=90，沿ad折疊，使點(diǎn)b落在斜邊ac上，若ab=3，bc=4，則bd= 2. （2011湖北恩施3分）如圖，ad

44、是abc的角平分線，dfab，垂足為f，de=dg，adg和aed的面積分別為50和39，則edf的面積為 【 】a、11b、5.5 c、7d、3.53. （2011湖北隨州4分）如圖，abc的外角acd的平分線cp與內(nèi)角abc平分線bp交于點(diǎn)p，若bpc=40，則cap= 4.（2011廣西貴港2分）如圖所示，將兩張等寬的長方形紙條交叉疊放，重疊部分是一個四邊形abcd，若ad6cm，abc60，則四邊形abcd的面積等于_ cm25. （2011江蘇徐州6分）如圖，將矩形紙片abcd按如下順序進(jìn)行折疊: 對折、展平, 得折痕ef(如圖); 沿gc折疊, 使點(diǎn)b落在ef上的點(diǎn)b 處(如圖);

45、 展平, 得折痕gc(如圖); 沿gh折疊, 使點(diǎn)c落在dh上的點(diǎn)c 處(如圖); 沿gc 折疊(如圖); 展平, 得折痕gc 、gh(如圖)。（1） 求圖中bcb 的大小;（2） 圖中的gcc 是正三角形嗎?請說明理由. 五、構(gòu)造相似三角形：通過構(gòu)造相似三角形，應(yīng)用相似三角形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例1. （2012廣東深圳3分）小明想測量一棵樹的高度，他發(fā)現(xiàn)樹的影子恰好落在地面和一斜坡上；如圖，此時測得地面上的影長為8米，坡面上的影長為4米已知斜坡的坡角為300，同一時 刻，一根長為l米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長為2米，則樹的高度為【 】a

46、.米 b.12米 c.米 d10米【答案】a?！究键c(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用（坡度坡角問題），銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】延長ac交bf延長線于e點(diǎn)，則cfe=30。作cebd于e，在rtcfe中，cfe=30，cf=4，ce=2，ef=4cos30=2，在rtced中，ce=2，同一時刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長為2米，de=4。bd=bf+ef+ed=12+2。dcedab，且ce：de=1：2，在rtabd中，ab=bd=。故選a。例2.（2012湖北十堰3分）如圖，矩形abcd中，ab=2，ad=4，ac的垂直平分線ef交a

47、d于點(diǎn)e、交bc于點(diǎn)f，則ef= 【答案】。【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理；【分析】連接ec，ac、ef相交于點(diǎn)o。ac的垂直平分線ef，ae=ec。四邊形abcd是矩形，d=b=90，ab=cd=2，ad=bc=4，adbc。aoecof。oa=oc，oe=of，即ef=2oe。在rtced中，由勾股定理得：ce2=cd2+ed2，即ce2=（4ce）2+22，解得：ce=。在rtabc中，ab=2，bc=4，由勾股定理得：ac=，co=。在rtceo中，co=，ce=，由勾股定理得：eo=。ef=2eo=。例3.（2012天津市10分）已知一個矩

48、形紙片oacb，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)a（11，0），點(diǎn)b（0，6），點(diǎn)p為bc邊上的動點(diǎn)（點(diǎn)p不與點(diǎn)b、c重合），經(jīng)過點(diǎn)o、p折疊該紙片，得點(diǎn)b和折痕op設(shè)bp=t（）如圖，當(dāng)bop=300時，求點(diǎn)p的坐標(biāo)；（）如圖，經(jīng)過點(diǎn)p再次折疊紙片，使點(diǎn)c落在直線pb上，得點(diǎn)c和折痕pq，若aq=m，試用含有t的式子表示m；（）在（）的條件下，當(dāng)點(diǎn)c恰好落在邊oa上時，求點(diǎn)p的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）【答案】解：（）根據(jù)題意，obp=90，ob=6。在rtobp中，由bop=30，bp=t，得op=2t。op2=ob2+bp2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=（舍去）點(diǎn)p的坐

49、標(biāo)為（ ，6）。（）obp、qcp分別是由obp、qcp折疊得到的，obpobp，qcpqcp。opb=opb，qpc=qpc。opb+opb+qpc+qpc=180，opb+qpc=90。bop+opb=90，bop=cpq。又obp=c=90，obppcq。由題意設(shè)bp=t，aq=m，bc=11，ac=6，則pc=11t，cq=6m。（0t11）。（）點(diǎn)p的坐標(biāo)為（，6）或（，6）?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】（）根據(jù)題意得，obp=90，ob=6，在rtobp中，由bop=30，bp=t，得op=2t，然

50、后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。 （）由obp、qcp分別是由obp、qcp折疊得到的，可知obpobp，qcpqcp，易證得obppcq，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案。（）首先過點(diǎn)p作peoa于e，易證得pcecqa，由勾股定理可求得cq的長，然后利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例與，即可求得t的值： 過點(diǎn)p作peoa于e，pea=qac=90。pce+epc=90。pce+qca=90，epc=qca。pcecqa。pc=pc=11t，pe=ob=6，aq=m，cq=cq=6m，。，即，即。將代入，并化簡，得。解得：。點(diǎn)p的坐標(biāo)為（，6）或（，6）。例4.（2012湖南岳陽3分）如圖，abc中，ab=ac，d是ab上的一點(diǎn)，且ad=ab，dfbc，e為bd的中點(diǎn)若efac，bc=6，則四邊形dbcf的面積為 【答案】15?！究键c(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理?！痉治觥咳鐖D，過d點(diǎn)作dgac，垂足為g，過a點(diǎn)作ahbc，垂足為h，ab=ac，點(diǎn)e為bd的中點(diǎn)，且