MBA數(shù)學(xué)必備公式(打印版)

1、MBA聯(lián)考數(shù)學(xué)基本概念和必備公式（一）初等數(shù)學(xué)部分一、絕對值1、非負(fù)性：即|a| 0，任何實(shí)數(shù)a的絕對值非負(fù)。歸納：所有非負(fù)性的變量（1） 正的偶數(shù)次方（根式） （2） 負(fù)的偶數(shù)次方（根式） （3） 指數(shù)函數(shù) ax (a 0且a1)0考點(diǎn)：若干個(gè)具有非負(fù)性質(zhì)的數(shù)之和等于零時(shí)，則每個(gè)非負(fù)數(shù)必然為零。2、三角不等式，即|a| - |b| |a + b| |a| + |b| 左邊等號成立的條件：ab 0且|a| |b|右邊等號成立的條件：ab 0 3、 要求會畫絕對值圖像二、比和比例1、 2、 合分比定理： 等比定理：3、增減性 (m0) , (m0)4、 注意本部分的應(yīng)用題三、平均值1、當(dāng)為n個(gè)正

2、數(shù)時(shí)，它們的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，即當(dāng)且僅當(dāng)。2、3、4、n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值相等時(shí)，則這n個(gè)正數(shù)相等，且等于算術(shù)平均值。四、方程1、判別式（a, b, c R）2、圖像與根的關(guān)系= b24ac0= 00)x1 x2x1,2f(x) = 0根無實(shí)根f(x) 0 解集x x2XRf(x)0解集x 1 x 0= 00)x1 x2x1,2f(x) = 0根無實(shí)根f(x) 0 解集x x2XRf(x)0解集x 1 x 0且 0（2）ax2 + bx + c0對任意x都成立，則有：a0且 03、要會根據(jù)不等式解集特點(diǎn)來判斷不等式系數(shù)的特點(diǎn)六、二項(xiàng)式1、，即：與首末等距的兩項(xiàng)的二項(xiàng)

3、式系數(shù)相等2、，即：展開式各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n3、常用計(jì)算公式4、通項(xiàng)公式() 5、展開式系數(shù) 5、 內(nèi)容列表歸納如下：二項(xiàng)式定理 公式所表示的定理成為二項(xiàng)式定理。 二項(xiàng)式展開式的特征 通項(xiàng)公式 第k1項(xiàng)為，k0，1，n 項(xiàng) 數(shù) 展開總共n1項(xiàng)指 數(shù) a的指數(shù)：由；b的指數(shù)：由； 各項(xiàng)a與b的指數(shù)之和為n 展開式的最大系數(shù) 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則中間項(xiàng)（第項(xiàng)）系數(shù)最大； 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)（第和項(xiàng)）系數(shù)最大。 展開式系數(shù)之間的關(guān)系 1，即與首末等距的兩項(xiàng)系數(shù)相等； 2，即展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為； 3 ，即奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和 七、數(shù)列（二）微積分部分一、函數(shù)、極限、連續(xù)1、單調(diào)性：（

4、注意嚴(yán)格單調(diào)與單調(diào)的區(qū)別） 設(shè)有函數(shù)y = f(x)，x D，若對于D中任意兩點(diǎn)x1，x2(x1 x2)，都有f(x1) f(x2)(或f(x1) f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在D上單調(diào)上升(或單調(diào)下降)。若上述不等號為嚴(yán)格不等號“”)，則稱函數(shù)f(x)在D上嚴(yán)格單調(diào)上升(或嚴(yán)格單調(diào)下降)。2、奇偶性： （1）定義： 設(shè)函數(shù)y = f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)O對稱，若對于D中的任一個(gè)x，都有f( x ) = f(x) (或f( x) = f(x)，則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù)(或偶函數(shù))。（2）圖像特點(diǎn)：奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，函數(shù)y0既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)。3、4、常用等

5、價(jià)無窮?。寒?dāng)x0時(shí)，有ex1x ln(1x)x (1x)n1nx引申：當(dāng)a(x) 0時(shí)，ln(1a(x)e(x)1a(x)，(1a(x)n1na(x)5、當(dāng)x+時(shí)，增長速度由慢到快排列：lnx，x，x，xx 6、7、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）最值定理一個(gè)閉區(qū)間函數(shù)一定在某一點(diǎn)，達(dá)到最大值，在某一點(diǎn)達(dá)到最小值。（2）零值定理設(shè)f(x) C(a,b)，且f(a).f(b)0，。注意：零點(diǎn)定理只能說明存在性不能說明唯一性。應(yīng)用：f(x) = 0 是一個(gè)方程，證明它在某一個(gè)區(qū)間上一定有根。二、一元函數(shù)微分學(xué)1、導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)定義式 2、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 3、左右導(dǎo)數(shù)4、導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)點(diǎn)M0(x0 ,

6、f(x0)是曲線y = f(x)上的上點(diǎn)，則函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f (x0)正好是曲線y=f(x)過M0點(diǎn)的切線的斜率k，這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義。（1） 切線方程，（2）切線平行x軸切線方程：y = f(x0)，法線方程：x = x0(3) 切線平行y軸切線方程：x = x0，法線方程：y = f(x0)6、 常見函數(shù)求導(dǎo)公式f(x)CXaaxexloga|x|ln|x|f(x)0axa-1axlnaex6、7、高階導(dǎo)數(shù)（掌握二階導(dǎo)數(shù)即可）常見函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f(x)CXaaxexLoga|x|ln|x|f(x)0axa-1axlnaexf(x)0a(a-1)xa-2ax(lna)2ex8

7、、可導(dǎo)、可微、連續(xù)與極限的關(guān)系可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)極限 連續(xù) 可導(dǎo) 可微可微9、奇偶函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，且f(0) = 0（2）可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)（3）可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍為同周期函數(shù)10、微分公式（*核心*）：11、A12、判斷函數(shù)的增減性，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間（1）單調(diào)性定義（2）判別方法：用f (x)判斷注意：設(shè)f(x)在(a，b)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)則f(x)在(a，b)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加(減少)的充分條件是f(x)0(f(x)0)13、極值點(diǎn)的定義（局部最大或局部最小）（1）定義：設(shè)yf(x)，若對x(x0d，x0d)均有f(x)f(x0)(f(

8、x)f(x0)則稱x0為f(x)的極大值點(diǎn)(極小值點(diǎn)) ，f(x0)為極大值(極小值)。 （2）判定方法：兩個(gè)充分條件第一充分條件：若f(x)在x0處連續(xù)，在x0的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)x0,(f(x) x0時(shí)，f(x)0)，則稱x0為極大值點(diǎn)(極小值點(diǎn))。第二充分條件：設(shè)f(x)在x0點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)且f(x0)0，f(x0)0注意：，有可能為極值，也可能不是極值。（3）極值存在的必要條件若x0為f(x)的極值點(diǎn)，且f(x0)存在，則f(x0)0注：f(x0)0不能推出x0為f(x)的極值點(diǎn)如：yx3 ，在x0處必有y0 14、駐點(diǎn)(穩(wěn)定點(diǎn))（1）（2）15、函數(shù)的最值及其求解（1）若f(x)在

9、a，b上連續(xù)，則f(x)在a，b上必有最大值、最小值（2）設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)有一個(gè)極值點(diǎn)x，則若x是f(x)的極大值點(diǎn)，那么x必為f(x)在a,b上的最大值點(diǎn)；若x是f(x)的極小值點(diǎn)，那么x必為f(x)在a,b上的最小值點(diǎn)。（3）求最值的方法 （最值是a,b整體概念，極值是局部概念） (a)求f(x)在(a,b)內(nèi)所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(b)求出以上各函數(shù)值及區(qū)間a,b端點(diǎn)的函數(shù)值(c)比較上述數(shù)值，最大的為最大值，最小的為最小值最大值：M:maxf(a)，f(b)，f(x1)，f(x0)最小值：m:minf(a)，f(b)，f(x1)，f(x0)其中：x1，x0

10、為f(x)所有可能的極值點(diǎn)16、駐點(diǎn)、極值點(diǎn)、最值點(diǎn)的聯(lián)系與區(qū)別駐點(diǎn) 邊界 17、函數(shù)的切線與法線切線與法線求法18、函數(shù)凹凸性及其判定（1）凹?。╝）定義：如果曲線在其任一點(diǎn)切線之上，稱曲線為凹弧（b）凹弧的切線斜率隨著x的增大而增大，即f(x)單調(diào)遞增（c）設(shè)f(x)在(a，b)上二階可導(dǎo)，f(x)為凹弧的充要條件為f(x) 0 x(a,b)(2)凸?。╝）定義：若曲線在其任一點(diǎn)切線之下，稱曲線為凸?。╞）凸弧的切線斜率隨著x的增大的而減小，即f(x)單調(diào)遞減（c）設(shè)f(x)在(a,b)二階可導(dǎo)，f(x)為凸弧的充要條件為f(x) 0(3)常見函數(shù)的性質(zhì)f(x) ax(a1) ax(0a1

11、) logax(0a1) f(x) ax lna axlna f(x) ax(lna)2 ax(lna)2 圖像 性質(zhì)增，凹減，凹增，凸減，凹19、拐點(diǎn)及其判定（1）定義：曲線上凸弧與凹弧的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)。二階導(dǎo)數(shù)從大于0到小于0，或從小于0到大于0，中間的過渡點(diǎn)稱為拐點(diǎn)。（2）必要條件：f(x)存在且(x0，f(x0)為拐點(diǎn)，則f(x0)0（3）充分條件：若f(x0)0，且在x0的兩側(cè) f(x)異號，則(x0，f(x0)是拐點(diǎn)三、一元函數(shù)積分學(xué)1、不定積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 2、基本初等函數(shù)的不定積分公式（1）（2）（），（3） （4），（5）（6）（7）4、5、奇偶函數(shù)的積分 四、多元函數(shù)1、偏

12、導(dǎo)的定義設(shè)函數(shù)z = f(x, y)定義在P0(x0, y0)點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)，若將y固定在y0，作為x的函數(shù)f(x, y0)在x0點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)f(x, y)在P0(x0, y0)點(diǎn)處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記作2、一般極值（1） （2） （4）（三）線性代數(shù)部分一、矩陣1、矩陣的乘法一般沒有交換律，即；常見可交換矩陣：(1) 逆A-1：AA-1=A-1A=E(2) 單位矩陣E：AE=EA=A(3) 數(shù)量矩陣kE：A(kE)=(kE)A=kA(4) 零陣0：A0=0A=0(5) 冪：AmAn= An Am=Am+n(6) 伴隨A*：A A*= A*A=|A|E (重要)2、，當(dāng)且僅當(dāng)A或B可逆時(shí)才成

13、立；對于，應(yīng)該認(rèn)識到B的每一列都是齊次方程組AX0的解，若，則齊次方程組有非零解；3、，當(dāng)且僅當(dāng)A可逆時(shí)，才成立；4、，當(dāng)且僅當(dāng)A可逆時(shí)，有AE；當(dāng)AE可逆時(shí)，有A0；，僅當(dāng)A為對稱矩陣，即時(shí)，命題才成立；5、注意數(shù)乘矩陣和數(shù)乘行列式的區(qū)別：。6、列表對比矩陣的逆、轉(zhuǎn)置和伴隨的公式逆轉(zhuǎn)置伴隨一般一般互換性：，；即這四種符號（-1，T，*，k）可以進(jìn)行互換，以簡化運(yùn)算。7、重要結(jié)論與公式（2） A與B的行向量相互等價(jià) 不改變列向量的線性關(guān)系（一般用初等行變換求矩陣的秩） r（A）=r（B）（4）類似 |x+y|x|+|y| P(A+B)P(A)+P(B) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A

14、B)P(A)+P(B)（5） （6） B可逆r（AB）=r（A）B不可逆r（AB）n時(shí)，則其線性相關(guān). 三、線性方程組（一）關(guān)于方程組解的性質(zhì)（二）含有參數(shù)的線性方程組的求解。1齊次線性方程組AX0解題提示：對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等變換，化成階梯型，然后按兩步進(jìn)行討論：（1）線性方程組只有零解，即r(A)n；（2）線性方程組有非零解，即r(A)0時(shí)若A與B相互獨(dú)立，則A與B必不互斥(獨(dú)立不互斥)若A與B互斥，則A與B必不獨(dú)立(互斥不獨(dú)立)注意：與任事件即互斥也獨(dú)立8.判斷A與B相互獨(dú)立的充要條件(1)定義P(AB)=P(A)P(B)(2)P(B|A)=P(B) (P(A)0)或P(A|B)=P(A

15、) (P(B)0)，即：B的發(fā)生不受A的影響(3)0P(A)1即：A發(fā)生與否不影響B(tài)的概率P(AB)-P(A)P(AB)=P(A)P(B)-P(A)P(AB) P(AB)=P(A)P(B)四組事件中，若其中一組相互獨(dú)立，則其余三組也相互獨(dú)立，則其余三組也相互獨(dú)立 (6)求“n個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)”轉(zhuǎn)化為其對立事件“都不發(fā)生”9獨(dú)立試驗(yàn)序列(1)貝努里：n次試驗(yàn)中成功k次的概率：(2)直到第k次試驗(yàn)，A才首次發(fā)生：(3)做n次貝努里試驗(yàn)，直到第n次，才成功k次：二、隨機(jī)變量部分1、常見隨機(jī)變量的分布表如下：隨機(jī)變量EXDX密度函數(shù)f(x)離散型0 1 分布PP( 1 P )Px = k=Pk(

16、1-P) 1-k,k=0,1二項(xiàng)分布nPnP(1 P )連續(xù)型正態(tài)分布u標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布u = 02、離散型隨機(jī)變量（1）分布律Pk=P(X=Xk)，k=1，2，Xk x1 x2 xk Pk P1 P2 Pk （2）分布律的性質(zhì)(1)有界性：0Pk1應(yīng)用：求待定參數(shù)值，注意求完參數(shù)要驗(yàn)證3、二項(xiàng)分布（1）定義 （2）各參數(shù)的意義參數(shù)n：試驗(yàn)次數(shù)為n次；參數(shù)P：每次試驗(yàn)成功的概率參數(shù)k：n次試驗(yàn)中成功k次（3）二項(xiàng)分布產(chǎn)生的背景可以是n重貝努利試驗(yàn)，若用X表示n重被努力試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，其中p是一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率。，4、分布函數(shù)F(X) F(X)=P(X

17、x)(1)定義：F(X)在x處函數(shù)值表示點(diǎn)X落入?yún)^(qū)間(-，x上的概率(2)公式：P(x1Xx2)=P(Xx2)-P(Xx1)=F(x2)-F(x1)(3)分布函數(shù)性質(zhì)：1)值域：0F(X) 12)極限性質(zhì)()，應(yīng)用：求參數(shù)值3)單調(diào)性：單調(diào)不減(單調(diào)增)即若x1x2，有F(x1) F(x2)4)F(x)右連續(xù)注意：前四個(gè)性質(zhì)，用來判斷函數(shù)是否為分布函數(shù)5)P(X=x)=F(x)-F(x-0)6)對于x1x2，有 P(x1Xx2)=F(x2)-F(x1)7)對x1 x2，F(xiàn)(x)在x1， x2處連續(xù)P(x1Xx2)=P(x1Xx2)=P(x1Xx2)=P(x1Xx2)=F(x2)-F(x1)5、

18、連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)f(x)的性質(zhì)(1)非負(fù)性：f(x) 0，即f(x)與x軸所圍面積為1應(yīng)用：求待定參數(shù)值注意：前兩個(gè)性質(zhì)用來判斷函數(shù)是否為密度函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)(3)對于x1x2有P(x1Xx2)=P(x1Xx2)=P(x1Xx2)=P(x1Xx2)6、正態(tài)分布XN(m，s2)(1)正態(tài)分布密度函數(shù)(2)f(x)圖像特點(diǎn)ma) 密度函數(shù)的曲線關(guān)于x = 對稱，是正態(tài)分布的位置參數(shù)b) 它在x = 時(shí)取到最大值P() = 越大，密度函數(shù)的取值越小；越小，其值越大，由于密度函數(shù)曲線與x軸之間的面積總是1，所以越大表明密度函數(shù)的曲線越矮越胖，而越小，密度函數(shù)的曲線越瘦高。c) x離越遠(yuǎn)，P(x)的值越

19、小，表明對于同樣長度的區(qū)間，區(qū)間離越遠(yuǎn)，X落在這個(gè)區(qū)間上的概率越小。d) ，這一條性質(zhì)非常有用，應(yīng)好好掌握。e) P(Xm)=P(Xm)f) 期望EX=m7、一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化（非常重要）8、密度函數(shù)f(x)為偶函數(shù)的重要結(jié)論(2)F(-a)=1-F(a)-a aF(-a) 1-F(a)(3)P(|X|0)分析：P(|X|a)=P(-aXa)=1-P(|X|a)=2(1-F(a)(5)若EX存在，則EX=09、數(shù)學(xué)期望有以下重要性質(zhì)：(1) 若C為常數(shù)，則E(C) = C.(2) 若X為一個(gè)隨機(jī)變量，C為常數(shù)，則E(CX) = CE(X).(3) 若X為一個(gè)隨機(jī)變量，C和k為常數(shù)，則E(kx + C) = kE(x) + C.(4) 若X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有E(X + Y) = E(X) + E(Y)有性質(zhì)(2)和性質(zhì)(4)，我們可以得到以下結(jié)論：若X1,X2Xk為k個(gè)隨機(jī)變量，C1,C2,Ck為常數(shù)，則(5) 設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)：Y= g(X),其中g(shù)是連續(xù)函數(shù)，則關(guān)于隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望，有以下結(jié)論： 10、 方差及性質(zhì) (1) 若C為常數(shù)，則D(C) = 0,