以時(shí)間序列分析法偵測(cè).doc

1、以時(shí)間序列分析法偵測(cè) 臺(tái)灣一等二級(jí)水準(zhǔn)網(wǎng)之殘留系統(tǒng)誤差 Detecti ng Rema ined Systematic Errors In The First-Order ClasSeveli ng Network of Taiwa n By Using Time series 刖言 時(shí)間序列(Time series )，係指以時(shí)間順序型態(tài)出現(xiàn)之一連串觀測(cè)值 集合，或更確切的說，對(duì)某動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(Dynamic System )隨時(shí)間連續(xù)觀察 所產(chǎn)生有順序的觀測(cè)值集合。時(shí)間序列分析是一種數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，它可 以計(jì)算兩筆相近資料間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性，因此可用來判斷是否含有系統(tǒng)誤 差。綜合上述，假如把時(shí)間序

2、列分析的概念帶入水準(zhǔn)測(cè)量中，吾人可加以 利用的數(shù)據(jù)包含有測(cè)段閉合差、測(cè)段長(zhǎng)、坡度、往返施測(cè)時(shí)的氣溫及測(cè)段 方位角等眾多數(shù)據(jù)。 時(shí)間序列分析法 一組觀測(cè)值X1,X2，,Xn，若沿著時(shí)間先後有順序地產(chǎn)生，則稱此組 觀測(cè)值為一時(shí)間序列，而正整數(shù) N被稱為時(shí)間序列的長(zhǎng)度。 任一時(shí)間序列均可延著時(shí)間軸作其對(duì)應(yīng)的時(shí)間序列圖，如圖1。 在一穩(wěn)定隨機(jī)過程 Xi i!中，測(cè)度二個(gè)隨機(jī)變數(shù)Xt與Xtk( k為一整數(shù)) 間其相隔一個(gè)固定期間或時(shí)間落後 k期之線性相依關(guān)係可由Xt與Xt k之互 變異數(shù)來闡釋，利用互變異數(shù)來測(cè)度任何一對(duì)隨機(jī)變數(shù)所存在之線性關(guān) 係，吾人稱其為自我互變異數(shù)(Autocovarianee)。

3、定義其數(shù)學(xué)式為 k cov Xt, Xt k E ZtZt k(1) 式中 E Zt ,對(duì)所有t值皆有相等性，此為平穩(wěn)型隨機(jī)過程之特性林茂 文，1992 o 接續(xù)式(1)自我互變異數(shù)的概念，定義隨機(jī)變數(shù)Xt與Xt k在相隔k期之 自我相關(guān)係數(shù)(Autocorrelation at lag k )，以k表示，其數(shù)學(xué)式為 k 0 _cov(Xt,Xt k)_ .var(Xt)、var(Xt k) 其中平穩(wěn)型隨機(jī)過程之特性為在時(shí)間t與t k均具有相同的變異數(shù)林茂 文, 1992，而 k k0被稱為自我相關(guān)函數(shù)(Autocorrelation Function，ACF )。 自我相關(guān)函數(shù)有如下之特性：

4、 (1) 0 1 (2) 1 j 1， j1,2, (3) j無單位 (4) j j， j 1,2,. 平穩(wěn)型時(shí)間序列(Stationary Time Series)係指一個(gè)時(shí)間序列其統(tǒng)計(jì)特 性將不隨時(shí)間之變化而改變者，換言之，一個(gè)平穩(wěn)型時(shí)間序列為一隨機(jī)過 程之特殊實(shí)現(xiàn)值，且這種隨機(jī)過程之統(tǒng)計(jì)特性並不隨時(shí)間之變化而改變， 即隨機(jī)過程Xi i 1需滿足以下三個(gè)條件： (1) E Xi (2) var X i (3) cov Xi,Xi m 0及m均為 其中E表示期望值，var表示變異數(shù)，cov表示共變數(shù), 有限的固定參數(shù)。 依上述平穩(wěn)型時(shí)間序列特性，則每個(gè)觀測(cè)值可以表示為諸個(gè)互相獨(dú)立 且具有相同

5、機(jī)率分配之隨機(jī)變數(shù)序列 at,at 1,at 2之線性組合，而這些隨機(jī) 變數(shù)通常假設(shè)為常態(tài)分佈，其期望值為 0,變異數(shù)為；。因此，此種序列隨機(jī)變數(shù) at,at 1,at 2 ,.稱為白色干擾過程( White Noise Process)。 at 之線 性組合可以表示為 X t0at1at 12at 2 . (3) 式中 與j j 0,1,2,為固定的參數(shù)值， j稱為權(quán)數(shù)(Weight),通常設(shè) 0 1 ， 為決定過程之平均水準(zhǔn)。 若一個(gè)時(shí)間序列為平穩(wěn)型，即此序列為對(duì)固定均值上下隨機(jī)波動(dòng)，若 時(shí)間序列為非平穩(wěn)型，則可知該序列無固定平均值。一般而言，假若權(quán)數(shù) j為有限(Fi nite)或無限且收

6、斂(Infinite and Con verge nt )者，則可知 此時(shí)間序列 X t 為對(duì)平均數(shù)之平穩(wěn)型時(shí)間序列，假若 j 為無限且發(fā)散者 ( Infinite and Divergent )，則此數(shù)列為非平穩(wěn)型時(shí)間序列。 將(3)式之係數(shù)j以j替換，並僅討論前q個(gè)非零之權(quán)數(shù)，即當(dāng)j q 時(shí)， j 0。則 X tat1at 12at 2 . qat q(4) 式中(1,2,，q)亦稱為震動(dòng)影響或記憶函數(shù)(Shock-Effect or Memory Function)，表示震動(dòng)at將持續(xù)影響t,t 1,.,t q等(q 1)個(gè)時(shí)期後消失。式 (4)稱為 q 階之移動(dòng)平均過程(Moving

7、Average Process of Order q MA(q)。 MA(q)之自我相關(guān)函數(shù)經(jīng)相關(guān)推導(dǎo)已得知在時(shí)間位差1,2，,q時(shí)不為零，而 自落後q個(gè)時(shí)期始為零，即自我相關(guān)函數(shù)在時(shí)間位差q之後截?cái)嗍?(3)經(jīng)相關(guān)推導(dǎo)可產(chǎn)生 Xt C 1Xt 12Xt 2 pX t p at (5) 式稱為 p 階自我迴歸過程(Autoregressive Process of Order p, AR(p)。 自我迴歸過程名稱之由來係將隨機(jī)過程Xt t 1中任一當(dāng)期值 (Current Value of the Process) Xt視為迴歸模型中的應(yīng)變數(shù)，而將前p期值XtXt 2,Xt p 視為自變數(shù)做一

8、複迴歸，而自變數(shù)與應(yīng)變數(shù)來自同一隨機(jī)過程，因此而得 自我迴歸之名 對(duì)一真實(shí)性時(shí)間序列欲建立一經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ剑崛擞袝r(shí)發(fā)現(xiàn)可以同時(shí)採(cǎi)用 包含有自我迴歸與移動(dòng)平均項(xiàng)，以推導(dǎo)出較僅有自我迴歸項(xiàng)或僅有移動(dòng)平 均項(xiàng)更貼近實(shí)際之模式。此種模式一般稱為(p,q)階混合自我迴歸與移動(dòng)平 均過程(Mixed Autoregressive-Moving Average Process of Order (p,q),ARMA(p,q)，其形式為 Xt C1Xt12Xt 2.pXtpat1at 12at2.qatq 前述所討論的AR、MA或ARMA模型，均為常用的平穩(wěn)時(shí)間序列模型， 然而在一般應(yīng)用上，甚少為平穩(wěn)的時(shí)間序列，

9、多呈無固定水準(zhǔn)之現(xiàn)象，此 型資料即為非平穩(wěn)時(shí)間序列。差分可被視為非平穩(wěn)型時(shí)間序列變?yōu)槠椒€(wěn)型 的一種轉(zhuǎn)換，有時(shí)在處理非平穩(wěn)時(shí)間序列時(shí)，可考慮自然對(duì)數(shù)ln(Xt)或開 根號(hào)Xt的轉(zhuǎn)換。但差分次數(shù)不宜過多，過度的差分將使資料喪失實(shí)際含 意而不易解釋，且會(huì)使序列的變異數(shù)變大，一般實(shí)務(wù)上通常以目測(cè)原始 序列圖形的方法，來判斷圖形是否已達(dá)平穩(wěn)的狀態(tài)，差分次數(shù)至多不 超出兩次。 一般而言，欲獲得非平穩(wěn)型時(shí)間序列之模式，係假設(shè)原始序列經(jīng)d次 差分後(d 0)可轉(zhuǎn)為平穩(wěn)型時(shí)間序列，再以前述ARMA模式擬合，如此之 模式稱為(p,d,q)階之整合自我迴歸移動(dòng)平均模型(Autoregressive Integrat

10、ed Moving Average Model of Order (p,d,q)，ARIMA(p,d,q)，其中 p 表示為自 我迴歸過程之階數(shù)，d為差分次數(shù)，q表示為移動(dòng)平均過程之階數(shù)。 已知若某序列的SACF ?k值呈極緩慢消失，以及序列圖不在一固定水 準(zhǔn)內(nèi)擺動(dòng)，則顯示此序列為非平穩(wěn)型，吾人需先將此序列差分直至序列 WtdXt,d 1,2,之SACF很快消失為止，此序列 Wt乃由Xt經(jīng)差分d 次後達(dá)平穩(wěn)，而此d值即為原始序列 Xt所需差分之次數(shù)，實(shí)務(wù)上通常 d 2。 若原始序列經(jīng)判斷為平穩(wěn)型，則由Bartlett公式可決定SACfSample Autocorrelation Functio

11、n)於何處截?cái)?，判?Xt之模型MA(q);若Xt粘為 平穩(wěn)的時(shí)間序列，由某一移動(dòng)平均模型MA(q)產(chǎn)生，理論上 0，則對(duì)樣本的SACF,期差kq大之後的?k具以下兩個(gè)漸 進(jìn)性質(zhì)(Bartlett公式): (1) N 夠大時(shí)(N50) var(?k) 土 1 22， k q N j 1 ?k的漸進(jìn)抽樣分配為常態(tài) (8) 由式，Jvar(?Q祜 q 1 2?2 j 1 被稱為SACF ?k之大期差的標(biāo)準(zhǔn)誤差 (Large-Lag Standard Error of ?k， ?(?Q)。利用Bartlett公式(式及(8) 可利用統(tǒng)計(jì)檢定的方式 ?i var(?J鑑定模型MA(q)之q值。 ?k

12、N O,var( ?Q 模型為AR(p)，p 1的時(shí)間序列Xt，SACF會(huì)呈退化的指數(shù)形式或阻 尼正弦函數(shù)的相似特徵，故不易由SACF ?j來區(qū)分p值。為確定p值, 吾人可利用偏自我相關(guān)係數(shù)(Partial Autocorrelati ons)來幫助判斷。 由(5)式，將其改寫為 Xtk1 Xt 1 k2Xt 2 . kkXt k atI 其中kk被稱為Xt之第k期差(k-th lag )的偏自我相關(guān)係數(shù)，k=1,2,; 而 kkk 1 被稱為偏自我相關(guān)函數(shù) (Partial Autocorrelation Function，PACF)。 由Cramer法則，可分別解: 11 22 33 1

13、1 1 1 k 1 k 2 kk 1 1 1 1 2k 21 1k 32 k 31k (10) 因每一 kk為自我迴歸式 2 k 2 k 1 1 . k 3 k 2 1 1 k 3. 1 1 k 1k 2 AR(k)模型中，當(dāng)XXt 2,x)已進(jìn)入模型 時(shí)，X-k與X之偏相關(guān)係數(shù)，又 X-k與X來自同一序列，因此而得偏自我相 關(guān)係數(shù)之名。 設(shè)有一組時(shí)間序列XttN1其模型尚未被確知，致使其理論的 ACF及 PACF勻未知，故分別以樣本的 SACF?jj1 及 SPACF jjj(Sample Partial Autocorrelation Fun ction )估計(jì)理論值。欲鑑定單純的 AR(

14、p)模型，若 僅用SACF不夠，尚須考慮SPACF勺顯著性以判定階數(shù) p;故在應(yīng)用上以 Quenouille的公式以求出SPAC，止1之截點(diǎn)；設(shè)XttN1為一平穩(wěn)的時(shí) 間序列，由某一自我迴歸模型 AR(p)產(chǎn)生，其PACFi論值中，kk 0， k p 1,則對(duì)於樣本SPACF jjj 1中，期差k大於p之後的kk具有以 下兩個(gè)漸進(jìn)性質(zhì)： (1)當(dāng)N夠大時(shí)(N50) 1 var(?kk) ， k p 1 o(9) N (2)?kk的漸近抽樣分配為 1 ?kk N(0, ) , k p 1。(10) N 由(9)式可知，S.E.(?kk) JN k p 1，被稱為SPACF jjj i之大期差的標(biāo)

15、 準(zhǔn)誤差(Large-Lag Standard Error of?kk)0依上所述，可以統(tǒng)計(jì)檢定 ? 的方式(z十)逐步檢定PACF止1之顯著性。 SE.( -ii ) 將上述ACF與PACF的特徵合併，列為下表表一： 表 ACF PACF MA(q) 截?cái)囔秖期之後 成指數(shù)或阻尼正弦函 數(shù)消失 AR(p) 成指數(shù)或阻尼正弦函 數(shù)消失 截?cái)囔秔期之後 ARMA(p,q) 成指數(shù)或阻尼正弦函 數(shù)消失 成指數(shù)或阻尼正弦函 數(shù)消失 臺(tái)灣一等水準(zhǔn)網(wǎng) 臺(tái)灣地區(qū)於民國(guó)8991年間，以新型電子式精密水準(zhǔn)儀施測(cè)一等水準(zhǔn) 網(wǎng)，共計(jì)有2065個(gè)一等水準(zhǔn)點(diǎn)，分佈於 4253公里之水準(zhǔn)路線上，並同時(shí) 進(jìn)行GPS衛(wèi)星定

16、位測(cè)量與重力測(cè)量等工作，進(jìn)而建立新的臺(tái)灣高程基準(zhǔn) 一等一級(jí)水準(zhǔn)網(wǎng) 於民國(guó)89年12月至90年9月間完成總計(jì)1010個(gè)一等一級(jí)水準(zhǔn)點(diǎn)之 測(cè)量作業(yè)，水準(zhǔn)路線涵蓋臺(tái)灣本島外圍及中橫、南橫等路線，共 1357條 測(cè)線，全長(zhǎng)總計(jì)約2052公里。 一等二級(jí)水準(zhǔn)網(wǎng) 一等二級(jí)水準(zhǔn)測(cè)量需閉合或附合於一等一級(jí)水準(zhǔn)點(diǎn)，於民國(guó)91年6 月至91年12月完成總計(jì)1055個(gè)一等二級(jí)水準(zhǔn)點(diǎn)之外業(yè)工作，水準(zhǔn)路線 主要分佈於臺(tái)灣本島西部及北部，共1155條測(cè)段，全長(zhǎng)總計(jì)約2200公里c u(*i* A-3* 104P 06 0 兀5 0 .002 at eaeh iteyatisn 依此方法，分別對(duì)其他可能造成系統(tǒng)誤差之因素排序後再加以分析, 得到溫度 _高程差排序， ARIMA(0,1,1) 、溫度 _測(cè)段長(zhǎng)排序， ARIMA(1,0,1) 、溫度 _擺站數(shù)排序， ARIMA(1,0,1) 、依坡度絕對(duì)值排 序，ARIMA(0,1,1)，而依高程差排序經(jīng)兩次差分後 ACF及PACF均 未有收斂的情形產(chǎn)生，因差分次數(shù)