線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩

1、線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩第三章第三章 向量向量 線性關(guān)系線性關(guān)系 秩秩 向量是線性代數(shù)中研究的又一個(gè)重要概念, 本章主要討論n維向量之間的線性關(guān)系, 并建立向量組與矩陣秩的概念.1 1 向向 量量 定義定義3.13.1 所謂n維向量就是n1階矩陣12naa,a或1n階矩陣12na ,a ,a.線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩 n 維向量就是n 個(gè)有次序的數(shù)a1,a2, ,an組成的數(shù)組. ai稱為向量的第i個(gè)分量. 分量全是實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量. 如果兩個(gè)向量維數(shù)相等且對(duì)應(yīng)分量都相等稱它們相等. 注意: 按定義行向量 和列向量 表示同一個(gè)向量,但在涉及到運(yùn)算時(shí),行向量 和列向量總看作兩個(gè)不同的

2、向量, 而且都按矩陣的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算. 分量都是零的向量稱為零向量, 記為0 0. 將向量 的分量都改變符號(hào)得到的向量, 稱為向量 的負(fù)向量, 記為- . 實(shí)際常用列向量, 為了便于書寫常用其轉(zhuǎn)置 T T表示. . 定義中兩種形式分別稱為列向量列向量和行向量行向量. .線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩 常用的向量運(yùn)算是向量的加法和乘數(shù)兩種運(yùn)算, 統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算, 完全按矩陣運(yùn)算處理, 所以滿足: ()交換律： + + = + + () 結(jié)合律: ( + + )+ + = + +( + + ) () +0+0= () +( )=0 0 () 1 = () 數(shù)的分配律： (k+l) =k +l

3、 () 矩陣的分配律： k( + + )=k +k . . () 結(jié)合律：(kl) =k(l ) 所有n維列(行)向量的全體, 對(duì)其上所定義的加法和乘數(shù)兩種運(yùn)算, 構(gòu)成了一個(gè)n維線性空間, 或稱向量空間.線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩2 2 線線 性性 關(guān)關(guān) 系系 若干個(gè)同維數(shù)的列向量(或行向量)組成的集合叫做向量組. 如:mn 矩陣A=A=(aij)對(duì)應(yīng)n 個(gè)m 維列向量112111maaa122222,maaa12,nnnmnaaa向量組 1, 2, , n稱為A A的列向量組. 即A A=( 1, 2, , n). mn 矩陣A=A=(aij)也對(duì)應(yīng)m 個(gè)n 維行向量111121naaa2

4、21222naaa 線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩12mmmmnaaa向量組 1, 2, m, 稱為矩陣A A的行向量組.反之, 由有限個(gè)向量組成的向量組也可構(gòu)成一個(gè)矩陣. . 線性方程組Ax=bAx=b也可以用向量表示成: x1 1+x2 2+ +xn n= 定義定義3.2 3.2 給定向量組: 1, 2, , m, 若存在一組數(shù)k1,k2 , ,km , 使: =k1 1+k2 2+ +km m , 則稱向量 可由向量組可由向量組 1, 2, , m線性表示線性表示, , 也稱向量向量 是向量組是向量組 1, 2, , m的線性組合線性組合. . 12,mA即線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩 例

5、例1 1 設(shè) T T=(2,1,0,1), 1T=(1,1,0,0), 2T=(0,1,0,1), 3T=(1, 0, 0, 1), 問(wèn) 能否由向量組 1, 2, 3線性表示. 解 設(shè) =k1 1+k2 2+k3 3 , 即 (2,1,0,1)=(k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)于是有解得: k1=1, k2=2, k3=1. 即 = 12 2 3 131223211kkkkkk 所以向量 可由向量組 , 2, 3線性表示. 表示式也可寫成 31)2112 = ( , ,10-121110-1 2=000010-111即線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩 一般地, 對(duì)列向量, =k1 1+

6、k2 2+ks s 可寫成 12sskkk12 = , ,對(duì)行向量, =k1 1+k2 2+ks s 可寫成 ssk kk1212 =, 定義定義3.3 3.3 若存在一組不全為零的數(shù)k1,k2 , ,ks, 使: k1 1+k2 2+ +ks s=0 0則稱向量組向量組 1, 2, , s線性相關(guān)線性相關(guān), , 否則稱線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān). .線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩只有當(dāng)k1,k2 , ,ks全為零時(shí)才成立. k1 1+k2 2+ +ks s=0 0 可見向量組 1, 2, , s線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是: 例例2 2 討論向量組 1T=(1,1,0,0), 2T=(0,1,0,1), 3

7、T= (1, 0, 0, 1)的線性相關(guān)性. 解 設(shè) k1 1+k2 2+k3 3=0 0 , 即 (k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)=(0,0,0,0)解得: k1=k2=k3=0. 131223000kkkkkk 所以 1, 2, 3線性無(wú)關(guān).線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩 例例3 3 討論向量組 1T=(1,1,2), 2T=(0,1, 1), 3T= (2, 3, 3)的線性相關(guān)性. 解 設(shè) k1 1+k2 2+k3 3=0 0 , 即 (k1+2k3, k1+k2+3k3, 2k1k2+3k3)=(0,0,0)解得: k1=2k2=2k3. 比如取k1=2, 則有2 1+ 2

8、 3=0 0 13123123+20+3k02k30kkkkkk 所以 1, 2, 3線性相關(guān). 顯然, 一個(gè)向量 組成的向量組線性相關(guān) =0 0 向量組 1, 2, , s線性相關(guān) x1 1+x2 2+xs s=0 0有非零解.線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩 (稱此向量組為n n 維標(biāo)準(zhǔn)單位向量組維標(biāo)準(zhǔn)單位向量組)例例4 4 討論n 維向量組0011e201,.,0 e100ne的線性相關(guān)性. 解解 設(shè)k1e e1+k2e e2+ +kne en=0 0, 即所以, 向量組 e e1,e e2, ,e en線性無(wú)關(guān). (k1, , k2, , ,kn)=0 0, 所以 k1=k2=kn=0 n

9、 維標(biāo)準(zhǔn)單位向量組 e e1,e e2, ,e en是線性無(wú)關(guān)的, 而且對(duì)任意n維向量 T=(a1,a2,an), 都有 =a1e e1+a2e e2+ane en線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩例例5 5 k1( 1+ 2)+k2( 2+ 3)+k3( 3+ 1)=0 0就是 (k1+k3) 1+(k1+k2) 2+(k2+k3) 3=0 0所以所以向量組 1, 2, 3線性無(wú)關(guān). 解得: k1=k2=k3=0 已知向量組 1, 2, 3線性無(wú)關(guān), 1= 1+ 2, 2= 2+ 3, 3= 3+ 1, 討論向量組 1, 2, 3 的線性相關(guān)性. 解 設(shè) k1 1+k2 2+k3 3=0 0 ,

10、即131223+0+00kkkkkk線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩 定理定理3.1 3.1 若向量組有一個(gè)部分組線性相關(guān), 則此向量組線性相關(guān).所以有: k1 1+k2 2+ +kr r+0 r+1+ +0 s =0 0 推論推論1 1 含有零向量的向量組必線性相關(guān). 證明 不妨設(shè) 1, 2, , r, , s中 1, 2, , r線性相關(guān),存在不全為零的數(shù)k1,k2 , ,kr, 使: k1 1+k2 2+ +kr r=0.0.而k1,k2 , ,kr,0,0不全為零, 所以 1, 2, , s線性相關(guān). 推論推論2 2 線性無(wú)關(guān)向量組的任一部分組也線性無(wú)關(guān).線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩不妨設(shè)

11、k10, 則有: 證明證明 必要性: 設(shè) 1, 2, , s線性相關(guān), 則存在不全為零的數(shù)k1,k2 , ,ks, 使: k1 1+k2 2+ +ks s=0.0. 充分性:不妨設(shè) 1可由 2, , s線性表示, 即存在一組數(shù)k2,ks使: 1=k2 2+ +ks s , 于是有 定理定理3.23.2 向量組 1, 2, , s(s2)線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有一個(gè)向量可被其余向量線性表示.32111skkkskkk 123 1+k2 2+ +ks s =0這里 1 1, k2 , ,ks不全為零, 所以 1, 2, , s線性相關(guān).兩個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義是這兩向量共線;三個(gè)向量線

12、性相關(guān)的幾何意義是這三向量共面;n個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義是它們?cè)谝粋€(gè)n-1維空間.線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩 定理定理3.33.3 設(shè)向量組 1, 2, , r線性無(wú)關(guān), 而向量組 1, 2, , r, 線性相關(guān), 則 可由 1, 2, , r線性表示,且表示式唯一. 證明證明 由已知, , 存在不全為零的數(shù)k1,k2 , ,kr, l ,使 k1 1+k2 2+ +kr r+l =0 0若l =0, 則k1 1+k2 2+ +kr r=0 0, 矛盾. 所以l 0, 于是若有: =k1 1+k2 2+ +kr r=l1 1+l2 2+ +lr r即, 表示式是唯一的.1212rkkkrl

13、ll 則有: (k1 l1) 1+(k2 l2) 2+ +(kr l1) r=0 0所以: k1 l1=k2 l2= =kr l1=0線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩 設(shè)向量組 1, 2, s稱為向量組 1, 2, , s的加長(zhǎng)向量組.11211122221212,sssnnsnaaaaaaaaa1112121222121212,ssssnnnsaaaaaaaaabbb線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩 前面加長(zhǎng)向量組的概念中只加了一個(gè)分量, 而且加在了最后一個(gè)分量. 也可以加多個(gè)分量, 分量也可以加在任何位置, 都稱為原向量組的加長(zhǎng)向量組. 定理定理3.4 3.4 線性無(wú)關(guān)向量組的加長(zhǎng)向量組也線性無(wú)關(guān)

14、. 證明 只證明在最后加一個(gè)分量的情況, 其它類似.所以有: k1 1+k2 2+ +ks s=0, 故 k1=k2= =kr=0 設(shè) k1 1+k2 2+ks s=0 0 , 即11 1122121 122221 1221 1220000ssssnnnssssa ka ka ka ka ka ka ka ka kbkb kb k所以 1, 2, s 線性無(wú)關(guān).線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩3 3 向量組的秩向量組的秩 向量組間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì): 設(shè)有兩個(gè)向量組分別為: (): : 1, 2, , r ; (): : 1, 2, s. 定義定義3.4 3.4 若向量組()中的每個(gè)向量都可以

15、由向量組 ()線性表示, 則稱向量組()可由向量組()線性表示; 若向量組()和向量組()可以互相線性表示, 則稱向量組()和向量組()等價(jià). ()反身性: 任何向量組都與自身等價(jià); ()傳遞性: 若()與()等價(jià), ()與()等價(jià), 則() 與()也等價(jià). ()對(duì)稱性: 若()與()等價(jià), 則()與()也等價(jià);線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩 求向量組 1=(1,0,0)T, 2=(0,1,0)T, 3=(0,0,1)T, 4=(1,1,1)T的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.例例6 6 所以 1, 2, 3就是向量組 1, 2, 3, 4的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組. 解 由于 1, 2, 3線性無(wú)關(guān), 而且 4

16、= 1+ 2+ 3 () 1, 2, , r線性無(wú)關(guān); () 1, 2, , r, 線性相關(guān)( 是向量組中任一向量). 顯然, 列向量組 1, 2, , r可由列向量組 1, 2, s線性表示的充分必要條件是: 存在sr矩陣C, 使 ( 1, 2, , r )=( 1, 2, s )C 定義定義3.5 3.5 若向量組中的某個(gè)部分組 1, 2, , r,滿足:則稱 1, 2, , r是此向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩 類似地, 1, 3, 4和 2, 3, 4都是向量組 1, 2, 3, 4的極大線性無(wú)關(guān)組. 定理定理3.5 3.5 向量組與它的任一極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)

17、. 所以 1, 2, 4也是向量組 1, 2, 3, 4的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組. 可見, 一個(gè)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組是不唯一的. 由于 1, 2, 4也線性無(wú)關(guān), 而且 3= 4 1 2則稱 1, 2, , r是此向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組. 推論推論 向量組中任意兩個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià).線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩時(shí)(其中A是矩陣), 有A A=0 0 證明 設(shè)A=(aij)rs , 則有 引理引理 若列向量組 1, 2, r線性無(wú)關(guān), 則當(dāng)由于 1, 2, r線性無(wú)關(guān), 所以aij=0, 即A A=0 0. ( 1, 2, r)A A=0 011121s21222s12r12rr1r2rsa

18、aaaaa, A= ,aaa0rrrj1jj2jjsjj=1j=1j=1a ,a ,.,a 線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩證明設(shè)向量組 1, 2, r和 1, 2, s 等價(jià)且都線性無(wú)關(guān)，則存在sr矩陣A和rs矩陣B, 使 ( 1, 2, r)=( 1, 2, s )A A 定理定理3.63.6 等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組含有相同個(gè)數(shù)的向量.由引理有： BABA=E Er , 同理有ABAB=E Es ( 1, 2, s )=( 1, 2, r)B于是有 ( 1, 2, r)= ( 1, 2, r)BA A即 ( 1, 2, r)(EBA A)=0=0所以，A A, B B是方陣，即rs線性代數(shù)第三章

19、向量線性關(guān)系秩 推論推論 一向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)是唯一的.易知，向量組 1, 2, s線性無(wú)關(guān)R 1, 2, s=s. 若一向量組的所有向量都是零向量，規(guī)定其秩為0. 向量組 1, 2, s的秩記為：R 1, 2, s 定義定義3.63.6 一向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱為向量組的秩. 或記為：rank 1, 2, s例6中向量組 1, 2, 3, 4的秩R 1, 2, 3, 4=3.線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩 定理定理3.73.7 若向量組 1, 2, s可由向量組 1, 2, t 線性表示，則 推論推論2 2 向量組 1, 2, p線性無(wú)關(guān), 且可由向量組 1

20、, 2, q 線性表示，則pq. 推論推論1 1 等價(jià)的向量組具有相等的秩R 1, 2, sR 1, 2, t 證明 記極大線性無(wú)關(guān)組為: 1, 2, p和 1, 2, q 則：向量組 1, 2, p可由 1, 2, q 線性表示，于是 1, 2, q是向量組 1, 2, p, 1, 2, q 的極大線性無(wú)關(guān)組. 再由 1, 2, p線性無(wú)關(guān)知pq.線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩 推論推論3 3 向量組 1, 2, p可由向量組 1, 2, q 線性表示，且pq, 則向量組 1, 2, p線性相關(guān). 推論推論4 4 任意n+1個(gè)n維向量線性相關(guān).線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩4 4 矩陣的秩矩陣的

21、秩 證明證明 對(duì)矩陣進(jìn)行一次初等行變換，行向量組變成： 定義定義3.7 3.7 矩陣的行向量組的秩稱為矩陣的行秩; 矩陣列向量組的秩稱為矩陣的列秩.引理引理 初等變換不改變矩陣的行秩和列秩.11,ijijrrjimmA11,iiikrjjmmkA11ijiijrkrjjmmkaA所以，對(duì)矩陣進(jìn)行一次初等行變換，矩陣的行秩不變.線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩即 再看矩陣的列向量組，A=( 1, 2, , n), 令x1 1+x2 2+xn n=0 0 () 111122121122221122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xaxaxaxax可見，對(duì)A進(jìn)行一次初等行變換，對(duì)方程

22、組()來(lái)說(shuō)，相當(dāng)于進(jìn)行方程之間的對(duì)應(yīng)變換，顯然方程組解不變. 就是說(shuō), 對(duì)A進(jìn)行一次初等行變換, A A的列向量組的線性相關(guān)性不變，所以A A的列秩也不變.類似地, 對(duì)A進(jìn)行一次初等列變換, 其行秩,列秩也不變.線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩 定理定理3.83.8 矩陣的列秩等于矩陣的行秩.證明因?yàn)榫仃嘇可經(jīng)過(guò)初等變換變成標(biāo)準(zhǔn)形，即rE0A00而 的行向量組和列向量組分別為：所以，A的行秩和列秩都等于r.10000100,00100000 1000010000100000線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩 定義定義3.83.8 矩陣A的秩就是矩陣A的行(列)秩, 記為R(A), (或rank(A).顯

23、然，對(duì)任意矩陣A有：R(A)=R(AT)由引理還可得： 定理定理3.93.9 初等變換不改變矩陣的秩. 定理定理3.93.9若矩陣A與矩陣B等價(jià)，則R(A)=R(B). 注：注：對(duì)分塊矩陣做分塊矩陣的初等變換秩也不變. 例例7 7 證明: R(AB)R(A), R(AB)R(B). 證明1: R(AB)R(AB A), 而12cc BAB A0 A所以， R(AB)R(AB A)R(0 A)=R(A) 證明2: 由ABAB知,AB的列向量可由A的列向量表示.線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩 定義定義3.93.9 在矩陣Amn中任取k個(gè)行與l個(gè)列(kn, lm),位于這些行和列交叉點(diǎn)上的kl個(gè)元素,

24、相互位置關(guān)系不變所形成的kl階矩陣稱為A的一個(gè)子陣. 若取的是A A的第i1i2 ik行及j1j2jl列，則A A對(duì)應(yīng)的子陣記為：且稱行列式為矩陣A的一個(gè)k階子式.1212kliiiAjjj1212detkkiiiAjjj線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩 定理定理3.103.10 R(A)=r的充分必要條件是A至少有一個(gè)r階子式不為零，而且所有r1階子式(如果存在)都為零.證明 設(shè)R(A)=r, 則由于矩陣的初等行變換是可逆的，則矩陣A對(duì)應(yīng)Er的r階子式不等于零，而所有r1階子式都等于零. 反之，若矩陣A有一個(gè)r階子式不等于零，而所有r1階子式都等于零，則必有rE0A00rE0A00所以，R(A)

25、=r.線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩 定義定義3.103.10 設(shè)n階方陣A的秩等于n, 則稱A是滿秩的；否則稱方陣A是降秩的.推論推論 A是滿秩的detA0(非奇異)A可逆.如果矩陣的每一行第一個(gè)非零元素的下面的所有元素都是0，且零行都排在最下面, 則稱矩陣為階梯形矩陣. 如123021,002123021 ,0002314210032010000052314210032010021045但 不是階梯形矩陣線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩 可見，階梯形矩陣的秩等于它的非零行數(shù).任何矩陣都可以經(jīng)過(guò)初等行變換化為階梯形矩陣這就給我們提供了求一般矩陣秩的有效方法1213413210,2113218562A解解例8求R(A), 其中12134132102113218562A121340114403136064961213401144002151800215181213401144002151800000故R(A)=3線性代數(shù)第三章向量線性關(guān)系秩 的線性相關(guān)性, 并求其秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，把不屬于極大無(wú)關(guān)組的向量用極