幾何發(fā)展簡史

1、幾何發(fā)展簡史論文：數(shù)學的發(fā)展簡史作者：學號：班級：指導教師： 日期：幾何學發(fā)展簡史幾何，英文為Geometry ，是由希臘文演變而來，其原意是土地測量?！耙罁?jù)很多的實證，幾何是埃及人創(chuàng)造的，并且產(chǎn)生于土地測量。由于尼羅河泛濫，經(jīng)常沖毀界限，這樣測量變成了必要的工作。無可置疑的，這類科學和其它科學一樣，都發(fā)生于人類的需要?！保ㄒ?）。明代徐光啟（15621633）和天主教耶酥會傳教士利瑪竇（Matteo Ricci，15521610）翻譯歐幾里得的幾何原本時將Geometry一詞譯為幾何學。幾何學是研究形的科學，以視覺思維為主導，培養(yǎng)人的觀察能力、空間想象能力與空間洞察力。幾何學最先發(fā)展起來的

2、是歐幾里得幾何。到17世紀的文藝復興時期，幾何學上第一個重要成果是法國數(shù)學家笛卡兒(R.descartes， 15961650）和費馬（P.de Fermat，16011665）的解析幾何。他們把代數(shù)方法應(yīng)用于幾何學，實現(xiàn)了數(shù)與形的相互結(jié)合與溝通。隨著透視畫的出現(xiàn)，又誕生了一門全新的幾何學射影幾何學。到19世紀上半葉，非歐幾何誕生了。人們的思想得到很大的解放，各種非歐幾何、微分幾何、拓撲學都相繼誕生，幾何學進入一個空前繁榮的時期。1 從歐幾里得幾何到非歐幾何歐幾里得（Euclid，約公元前330275）的幾何原本是一部劃時代的著作，其偉大的歷史意義在于它是用公理方法建立起演繹體系的典范。公元7

3、世紀以前的所謂幾何學，都只限于一些具體問題的解答，并且是十分粗糙的、零碎的、片段的和單憑經(jīng)驗的。當積累起來的幾何知識相當豐富時，把這一領(lǐng)域的材料系統(tǒng)地整理，并闡明它們的關(guān)系，就顯得十分必要了。由于幾何學本來的對象是圖形，研究它必然要借助與空間的直觀性。但是直觀性也有不可靠的時候，因而在明確地規(guī)定了定義和公理的基礎(chǔ)上，排除直觀性，建立合乎邏輯的幾何學體系的思想在古希臘時代就已經(jīng)開始。歐幾里得就是在這種思想的基礎(chǔ)上，編著完成了他的幾何原本。幾何原本的第一卷是全書邏輯推理的基礎(chǔ)，給出全書最初出現(xiàn)的23個定義，5條公設(shè)，5條公理：定義（1） 點沒有部分。（2） 線有長度，而沒有寬度。（3） 線的界限是

4、點（注：幾何原本中沒有伸展到無窮的線）。（4） 直線是同其中各點看齊的線。（5） 面只有長度和寬度。（6） 面的界限是線。（7） 平面是與其上的直線看齊的面。（8） 平面上的角是在一個平面上的兩條相交直線的相互傾斜度。（9） 當形成一角的兩線是一直線時，這個角叫做平角。（10） （22）（略）（是關(guān)于直角、銳角、鈍角、圓、三角形、四邊形等的定義）。（23）平行直線是在同一個平面內(nèi)，而且往兩個方向無限延長后，在這兩個方向上都不會相交的直線。關(guān)于幾何的基本規(guī)定的5條公設(shè)：（1） 從每個點到每個其它的點必定可以引直線。（2） 每條直線都可以無限延伸。（3） 以任意點作中心，通過任何給定的點另一點，可

5、以作一個圓。（4） 所有的直角都相等。（5） 同平面內(nèi)如有一條直線與另兩條直線相交，且在前一條直線的某一側(cè)所交的兩內(nèi)角之和小于兩直角，則后兩條直線無限延長后必在這一側(cè)相交。關(guān)于量的基本規(guī)定的5條公理：（1） 等于同量的量相等；（2） 等量加等量，總量相等；（3） 等量減等量，余量相等；（4） 彼此重合的量是全等的；（5） 整體大于部分。歐幾里得在此基礎(chǔ)上運用邏輯推理，導出了許許多多的命題（在幾何原本中包含了465個命題），從而構(gòu)成了歐幾里得幾何學。由前三個公設(shè)限定了用圓規(guī)和無刻度的直尺可以完成哪些作圖，因此這兩件儀器被稱為歐幾里得工具，使用它們可以完成的作圖稱為歐幾里得作圖，即尺規(guī)作圖。這種作

6、圖增加了幾何學的趣味性。人們花費大量的精力去解決古希臘的幾何三大難題：（1） 倍立方問題：求作一個立方體，使體積為已知立方體的二倍；（2） 三等分角問題：三等分一個（任意的）已知角；（3） 化圓為方問題：求作一個正方形，使其面積為已知圓的面積。盡管是徒勞的，但從各方面推動了數(shù)學的發(fā)展。將公設(shè)、公理分開是從亞里士多德開始的，現(xiàn)代數(shù)學將公設(shè)、公理都叫做公理。第五條公設(shè)與“在平面內(nèi)過已知直線外一點，只有一條直線與已知直線不相交（平行）”相等價。現(xiàn)在把后一個命題叫做歐幾里得平行公理。自幾何原本問世以來，直到19世紀大半段以前，數(shù)學家一般都把歐幾里得的著作看成是嚴格性方面的典范，但也有少數(shù)數(shù)學家看出了其

7、中的嚴重缺點，并設(shè)法糾正。首先，歐幾里得的定義不能成為一種數(shù)學定義，完全不是在邏輯意義下的定義，有的不過是幾何對象的直觀描述（比如點，線，面等），有的含混不清。這些定義在后面的論證中根本是無用的。其次，歐幾里得的公設(shè)和公理是遠不夠的。因而在幾何原本中許多命題的證明不得不借助直觀，或者無形中引用了歐幾里得的5個公理之外的公設(shè)或公理的東西。針對歐氏幾何的上述缺陷，數(shù)學家們做了大量工作來彌補這些缺陷。到19世紀末，德國數(shù)學家希爾伯特（D. Hilbert，18621943）于1899年發(fā)表了幾何基礎(chǔ)，書中成功地建立了歐幾里得幾何的一套完整的公理系統(tǒng)。首先他提出了8個基本概念，其中三個是基本對象：點、

8、直線、面；5個是基本關(guān)系：點屬于（或關(guān)聯(lián)）直線，點屬于（或關(guān)聯(lián)）平面，一點在兩點之間，兩線段合同，兩角合同。這些基本概念應(yīng)服從5組公理：關(guān)聯(lián)公理；順序公理；合同公理；連續(xù)公理；平行公理。（參見2或3）。另外，人們注意到歐幾里得平行公理是否與其它公理獨立的問題，即平行公理可否能用其它公理推導出來。雖然有很多學者（包括一些很有名的數(shù)學家）曾宣稱已經(jīng)證明平行公理能用其它公理推導出來，但最后發(fā)現(xiàn)這些論證都是不正確的。于是從意大利數(shù)學家Saccheri（1733）開始，人們就轉(zhuǎn)而猜平行公理與其它公理是獨立的，即它不能從其它公理推導出來。羅巴切夫斯基（,.，17921856）和波爾約（J，Bolyai，

9、18021860）分別在1829年和1832年獨立地用平行公理的反命題，即用“過給定直線外一點，存在著至少兩條直線與給定的直線不相交”來代替歐幾里得平行公理，并由這套新的體系演繹出一套與歐幾里得幾何迥然不同的命題，但并沒有導致任何的矛盾，非歐幾何就這樣產(chǎn)生了。但是要人們真正信服這種純理性的幾何體系，還是應(yīng)該將這種“虛”的幾何學真正地構(gòu)造出來，即提供這種“虛”幾何的現(xiàn)實模型。19世紀70年代，德國數(shù)學家克萊因（F. Klein， 18491925）提出了Klein模型，龐加萊（JHPoincare， 18541912）提出了上半平面Poincare模型。這些模型都能將非歐幾何學在人們已經(jīng)習慣的歐

10、氏空間中實現(xiàn)出來。這樣的非歐幾何叫做雙曲幾何。 另一種非歐幾何的發(fā)現(xiàn)者是德國數(shù)學家黎曼（G.F.B. Riemann, 18261866）。那是他在1854年討論無界和無限概念時得到的成果。歐幾里得的第二條公設(shè)說：直線可以無限延長。但是，并不定蘊涵著直線就長短而言是無限的，只不過是說它是無端的或無界的。例如，連接球面上兩點的大圓的弧可被沿著該大圓無限延長，使得延長了的弧無端，但確實就長短而言它不是無限的。將歐幾里得的公設(shè)（1），（2）和（5）作如下的修正：（1）兩個不同的點至少確定一條直線；（2）直線是無界的；（3）平面上任何兩條都相交。就可得到一種相容的幾何學，稱為黎曼的非歐幾何（橢圓幾何）

11、。這樣的幾何可以在球面上實現(xiàn)。由于羅巴切夫斯基和黎曼的非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，幾何學從傳統(tǒng)的束縛中解放出來了，從而為大批新的、有趣的幾何的發(fā)展開辟了廣闊的道路，并有廣泛的應(yīng)用，如：在愛因斯坦發(fā)現(xiàn)的廣義相對論中，用到黎曼幾何；由1947年對視空間（從正常的有雙目視覺的人心理上看到的空間）所作的研究得出結(jié)論：這樣的空間最好用羅巴切夫斯基的雙曲幾何來描述。如果實數(shù)系是相容的，則可以證明以上幾種幾何的公理系統(tǒng)都是各自相容的、獨立的，但都不是完全的。然而奧地利數(shù)學家哥德爾（K. Godel, 19061978）證明了“對于包含自然數(shù)系的任何相容的形式體系F，存在F中的不可判定命題?！奔啊皩τ诎匀粩?shù)系的任何相

12、容的形式體系F，F(xiàn)的相容性不能在F中被證明?！币蚨胱C明數(shù)學的內(nèi)部相容性問題也就無望了。2 解析幾何的誕生歐氏幾何是一種度量幾何，研究的是與長度和角度有關(guān)的量的學科。它的方法是綜合的，沒有代數(shù)的介入，為解析幾何的發(fā)展留下了余地。解析幾何的誕生是數(shù)學史上的一個偉大的里程碑。它的創(chuàng)始人是17世紀的法國數(shù)學家笛卡兒和費馬。他們都對歐氏幾何的局限性表示不滿：古代的幾何過于抽象，過多地依賴于圖形。他們對代數(shù)也提出了批評，因為代數(shù)過于受法則和公式的約束，缺乏直觀，無益于發(fā)展思想的藝術(shù)。同時，他們認識到幾何學提供了有關(guān)真實世界的知識和真理，而代數(shù)學能用來對抽象的未知量進行推理，是一門潛在的方法科學。因此，把

13、代數(shù)學和幾何學中的精華結(jié)合起來，取長補短，一門新的學科解析幾何誕生了。解析幾何的基本思想是用代數(shù)方法研究幾何學，從而把空間的論證推進到可以進行計算的數(shù)量層面。對空間的幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化，用一個基本幾何量和它的運算來描述空間的結(jié)構(gòu)，這個基本幾何量就是向量，基本運算是指向量的加、減、數(shù)乘、內(nèi)積和外積。向量的運算就是基本幾何性質(zhì)的代數(shù)化。將幾何對象數(shù)量化需要一座橋，那就是“坐標”。在平面上引進所謂“坐標”的概念，并借助這座橋，在平面上的點和有序?qū)崝?shù)對(x,y)之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系。每一對實數(shù)(x,y)都對應(yīng)于平面上的一個點；反之，每一個點都對應(yīng)于它的坐標(x,y) 。以這種方式可以將一個代數(shù)方程f(x

14、,y)=0與平面上一條曲線對應(yīng)起來，于是幾何問題便可歸結(jié)為代數(shù)問題，并反過來通過代數(shù)問題的研究發(fā)現(xiàn)新的幾何結(jié)果。借助坐標來確定點的位置的思想古來有之，古希臘的阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga,約公元前262190）關(guān)于圓錐曲線性質(zhì)的推導；阿拉伯人通過圓錐曲線交點求解三次方程的研究，都蘊涵著這種思想。解析幾何最重要的前驅(qū)是法國數(shù)學家奧雷斯姆(N.Oreseme,1323?-1382)，他在論形態(tài)幅度這部著作中提出的形態(tài)幅度原理（或稱圖線原理），甚至接觸到函數(shù)的圖像表示，在此，他借用了“經(jīng)度”、“緯度”這兩個地理學術(shù)語來描述他的圖線，相當于橫坐標和縱坐標。到了16世紀，對運動與

15、變化的研究已變成自然科學的中心問題。這就迫切地需要一種新的數(shù)學工具，導致了變量數(shù)學即近代數(shù)學的誕生。笛卡兒1637年發(fā)表了著名的哲學著作更好地指導推理與尋求科學真理的方法論，該書有三個附錄：幾何學、折光學和氣象學，解析幾何的發(fā)明包含在幾何學這篇附錄中。笛卡兒的出發(fā)點是一個著名的希臘數(shù)學問題帕普斯問題：費馬和笛卡兒研究解析幾何的方法是大相徑庭的，表達形式也截然不同：費馬主要繼承了希臘人的思想。盡管他的工作比較全面系統(tǒng)，正確地敘述了解析幾何的基本思想，但他的研究主要是完善了阿波羅尼奧斯的工作，因此古典色彩很濃，并且沿用了韋達以字母代表數(shù)類的思想，這就要求讀者對韋達的代數(shù)知識了解甚多。而笛卡兒則是從

16、批判希臘的傳統(tǒng)出發(fā)，決然同這種傳統(tǒng)決裂，走的是革新古代方法的道路。他的方法更具一般性，也適用于更廣泛的超越曲線。費馬是從方程出發(fā)來研究它的軌跡；而笛卡兒則從軌跡出發(fā)建立它的方程。這正是解析幾何中一個問題的正反兩個方面的提法。但各有側(cè)重，前者是從代數(shù)到幾何，而后者是從幾何到代數(shù)。從歷史的發(fā)展來看，后者更具有突破性（見5）。解析幾何解決的主要問題是（見6）：（1）通過計算解決作圖問題。例如，分線段成已知比例。（2）求具有某種幾何性質(zhì)的曲線或曲面的方程。（3）用代數(shù)方法證明新的幾何定理。（4）用幾何方法解代數(shù)方程。例如，用拋物線與圓的交點解三次和四次代數(shù)方程。解析幾何的誕生具有以下的偉大意義（見6）

17、：（1）數(shù)學的研究方向發(fā)生了一次重大轉(zhuǎn)折：古代以幾何為主導的數(shù)學轉(zhuǎn)為以代數(shù)和分析為主導的數(shù)學。（2）以常量為主導的數(shù)學轉(zhuǎn)變?yōu)橐宰兞繛橹鲗У臄?shù)學，為微積分的誕生奠定了基礎(chǔ)。（3）使代數(shù)和幾何融合為一體，實現(xiàn)了幾何圖形的數(shù)量化。（4）代數(shù)的幾何化和幾何的代數(shù)化，使人類擺脫了現(xiàn)實的束縛，帶來了認識新空間的需要，幫助人類從現(xiàn)實世界進入虛擬世界：從3維空間進入到更高維的空間。3 十八、十九世紀的幾何 對于幾何學，十八世紀數(shù)學家們著眼于分析方法的應(yīng)用，及與此相聯(lián)系的坐標幾何的發(fā)展。雖然早先已有部分結(jié)果，但微分幾何形成為獨立的學科主要是在十八世紀。 伯努利兄弟以及歐拉、拉格朗日等在確定平面曲線曲率、拐點、漸

18、伸線、漸屈線、測地線及曲線簇包絡(luò)等方面做出許多貢獻；蒙日自1771年起發(fā)表的一系列工作，則使微分幾何在十八世紀的發(fā)展臻于高峰。解析幾何的基本課題是對稱的坐標軸概念、平面曲線的系統(tǒng)研究等。帕倫于1705年、1713年將解析幾何推廣至三維情形，該項工作被克萊羅所繼續(xù)。解析幾何突破了笛卡兒以來作為求解幾何難題的代數(shù)技巧的界限。 對綜合幾何的興趣直到十八世紀末才被重新喚起，這主要歸功于蒙日的畫法幾何學。蒙日指出畫法幾何只是投影幾何的一個方面，這促進了更一般的投影幾何學與幾何變換理論的發(fā)展。投影幾何在十九世紀整整活躍了一個世紀，而幾何變換則已成為現(xiàn)代幾何學的基本概念。十九世紀是數(shù)學史上創(chuàng)造精神和嚴格精神

19、高度發(fā)揚的時代。復變函數(shù)論的創(chuàng)立和數(shù)學分析的嚴格化，非歐幾何的問世和射影幾何的完善，群論和非交換代數(shù)的誕生，是這一世紀典型的數(shù)學成就。它們所蘊含的新思想，深刻地影響著二十世紀的數(shù)學。 十九世紀最富革命性的創(chuàng)造當屬非歐幾何。自古希臘時代始，歐氏幾何一直被認為是客觀物質(zhì)空間惟一正確的理想模型，是嚴格推理的典范。16世紀后的數(shù)學家在論證代數(shù)或分析結(jié)果的合理性時，都試圖歸之為歐氏幾何問題。 但歐氏幾何的平行公設(shè)曾引起數(shù)學家的持久的關(guān)注，以弄清它和其他公理、公設(shè)的關(guān)系。這個煩擾了數(shù)學家千百年的問題，終于被高斯、羅巴切夫斯基和波爾約各自獨立解決。高斯在1816年已認識到平行公設(shè)不可能在歐氏幾何其他公理、公設(shè)的基礎(chǔ)上證明，得到在邏輯上相容的非歐幾何，其中平行公設(shè)不成立，但由于擔心受人指責而未發(fā)表。 1825年左右，波爾約和羅巴切夫斯基分別得到同樣的結(jié)果，并推演