第3章 恒定電流的電場和磁場

1、第三章 恒定電流的電場和磁場 第三章 恒定電流的電場和磁場 3.1 恒定電流的電場恒定電流的電場 3.2 磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度 3.3 恒定磁場的基本方程恒定磁場的基本方程 3.4 矢量磁位矢量磁位 3.5 磁偶極子磁偶極子 3.6 磁介質(zhì)中的場方程磁介質(zhì)中的場方程 3.7 恒定磁場的邊界條件恒定磁場的邊界條件 3.8 標(biāo)量磁位標(biāo)量磁位 3.9 互感和自感互感和自感 3.10 磁場能量磁場能量 3.11 磁場力磁場力 第三章 恒定電流的電場和磁場 3.1 恒定電流的電場恒定電流的電場 3.1.1 電流密度電流密度 圖 3-1 電流密度 第三章 恒定電流的電場和磁場 設(shè)通過S的電流為I，則該點(diǎn)處

2、的電流密度 J為 n dS dI n S I J S 0 lim 電流密度的單位是安培/米3(A/m3)。導(dǎo)體內(nèi)每一點(diǎn)都有一個 電流密度，因而構(gòu)成一個矢量場。我們稱這一矢量場為電流場。 電流場的矢量線叫做電流線。 可以從電流密度J求出流過任意面積S的電流強(qiáng)度。一般情況下， 電流密度J和面積元dS的方向并不相同。此時，通過面積S的電 流就等于電流密度J在S上的通量，即 SS dSJdSJIcos 第三章 恒定電流的電場和磁場 圖 3-2 面電流密度 n dl dI n l I J S S 0 lim vJ 第三章 恒定電流的電場和磁場 3.1.2 電荷守恒定律電荷守恒定律 VS dV dt d

3、dt dq dSJ dV t dSJ VS 0 dV t J V 第三章 恒定電流的電場和磁場 要使這個積分對任意的體積V均成立，必須使被積函數(shù)為零，即 0 t J 0 t 0 J S dSJ0 第三章 恒定電流的電場和磁場 3.1.3 歐姆定律的微分形式歐姆定律的微分形式 EJ 材 料 電導(dǎo)率/(S/m) 鐵(99.98%) 107 黃銅 1.46107 鋁 3.54107 金 3.10107 鉛 4.55107 銅 5.80107 銀 6.2010 硅 1.5610-3 表表 3-1 常用材料的電導(dǎo)率常用材料的電導(dǎo)率 第三章 恒定電流的電場和磁場 圖 3-3 電動勢 第三章 恒定電流的電場

4、和磁場 A B dlE l dlE0 l A B dlEEdlE) ( 第三章 恒定電流的電場和磁場 3.1.4 焦耳定律焦耳定律 當(dāng)導(dǎo)體兩端的電壓為U，流過的電流為I時，則在單位時間 內(nèi)電場力對電荷所作的功，即功率是 UIP 在導(dǎo)體中，沿電流線方向取一長度為l、截面為S的體積 元，該體積元內(nèi)消耗的功率為 VEJSlEJIlEIUP 第三章 恒定電流的電場和磁場 當(dāng)V0，取P/V的極限，就得出導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)的熱功 率密度，表示為 2 0 limEEJ V P p V 或 EJp 此式就是焦耳定律的微分形式。 應(yīng)該指出，焦耳定律不適應(yīng)于運(yùn)流電流。因?yàn)閷τ谶\(yùn)流電 流而言，電場力對電荷所作的功轉(zhuǎn)變?yōu)殡?/p>

5、荷的動能，而不是轉(zhuǎn) 變?yōu)殡姾膳c晶格碰撞的熱能。 第三章 恒定電流的電場和磁場 3.1.5 恒定電流場的基本方程恒定電流場的基本方程 0 0 E J l S dlE dSJ 0 0 我們將電源外部導(dǎo)體中恒定電場的基本方程歸納如下： 與其相應(yīng)的積分形式為 第三章 恒定電流的電場和磁場 電流密度J與電場強(qiáng)度E之間滿足歐姆定律J=E。 以上的電場是指庫侖場， 因?yàn)樵陔娫赐獾膶?dǎo)體中， 非庫 侖場為零。 由于恒定電場的旋度為零，因而可以引入電位, E=-。 在均勻?qū)w內(nèi)部(電導(dǎo)率為常數(shù))，有 0)( 2 E 第三章 恒定電流的電場和磁場 3.1.6 恒定電流場的邊界條件恒定電流場的邊界條件 圖 3-4 邊

6、界條件 第三章 恒定電流的電場和磁場 0)( 0)( 12 12 JJn EEn 或 tt nn EE JJ 21 21 恒定電流場的邊界條件為 第三章 恒定電流的電場和磁場 在恒定電場中， 用電位表示的邊界條件為 21 nn 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 12 nnnnnS JJJDD 式中，Jn=J1n=J2n, 當(dāng) 時， 分界面上的面電荷密度為零。 1 1 2 2 第三章 恒定電流的電場和磁場 應(yīng)用邊界條件，可得 2 1 2 1 tan tan 可以看出，當(dāng)12，即第一種媒質(zhì)為良導(dǎo)體時，第二種 媒質(zhì)為不良導(dǎo)體時， 只要1/2, 20，即在不良導(dǎo)體中， 電 力線近

7、似地與界面垂直。這樣，可以將良導(dǎo)體的表面看作等位 面。 第三章 恒定電流的電場和磁場 例例 3-1 設(shè)同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a, 外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)、 外導(dǎo)體間填充電導(dǎo)率為的導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖 3-5 所示，求同軸線 單位長度的漏電電導(dǎo)。 圖 3-5 同軸線橫截面 第三章 恒定電流的電場和磁場 解：解：媒質(zhì)內(nèi)的漏電電流沿徑向從內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體， 設(shè) 流過半徑為r的任一同心球面的漏電電流為I，則媒質(zhì)內(nèi)任一 點(diǎn)的電流密度和電場為 r r e r E e r J 2 2 4 1 4 1 內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為 ba I EdrU b a 11 4 第三章 恒定電流的電場和磁場 漏電電導(dǎo)為 ab ab U

8、 G 41 也可以通過計(jì)算媒質(zhì)內(nèi)的焦耳損耗功率，并由P=I2R求出漏 電電阻R： baI P R ba I drr r I EdVJP V b a 11 4 1 11 4 4 )4( 2 2 2 2 2 第三章 恒定電流的電場和磁場 3.1.7 恒定電流場與靜電場的比擬恒定電流場與靜電場的比擬 表表 3-2 恒定電場與靜電場的比較恒定電場與靜電場的比較 第三章 恒定電流的電場和磁場 圖 3-6 兩極板間的電場 第三章 恒定電流的電場和磁場 2 1 dlE dSE U q C S 2 1 1 dlE dSD U G S a ad nC 1 a ad nG 1 第三章 恒定電流的電場和磁場 例例

9、3-3 計(jì)算深埋地下半徑為a的導(dǎo)體球的接地電阻(如圖 3-7 所示)。設(shè)土壤的電導(dǎo)率為0。 圖 3-7 例 3-3 用圖 第三章 恒定電流的電場和磁場 解：解：導(dǎo)體球的電導(dǎo)率一般總是遠(yuǎn)大于土壤的電導(dǎo)率， 可將 導(dǎo)體球看作等位體。用靜電比擬法，位于電介質(zhì)中的半徑為a的 導(dǎo)體球的電容為 aC4 所以導(dǎo)體球的接地電導(dǎo)為 aG4 接地電阻為 aG R 4 11 第三章 恒定電流的電場和磁場 3.2 磁磁 感感 應(yīng)應(yīng) 強(qiáng)強(qiáng) 度度 圖 3-8 安培定律 第三章 恒定電流的電場和磁場 安培定律指出：在真空中載有電流I1的回路C1上任一線元dl1 對另一載有電流I2的回路C2上任一線元dl2的作用力表示為 3

10、 11220 12 )( 4R RdlIdlI dF 3 11220 12 )( 4 21R RdlIdlI F CC 3 120 2212 124R RdlIu dlIF CC 第三章 恒定電流的電場和磁場 令 1 3 110 4 C R RdlI B 若電流不是線電流，而是具有體分布的電流J，則式(3-29)改為 (3-29) ) ( 4 )( 3 0 dV R RrJ rB V ) ( 4 )( 3 0 dS R RrJ rB S S BIdldF 第三章 恒定電流的電場和磁場 可以用上式計(jì)算各種形狀的載流回路在外磁場中受到的力 和力矩。對以速度v運(yùn)動的點(diǎn)電荷q，其在外磁場B中受的力是

11、BqvF 如果空間還存在外電場E，電荷q受到的力還要加上電場力。 這樣，就得到帶電q以速度v運(yùn)動的點(diǎn)電荷在外電磁場(E，B)中受 到的電磁力為 )(BvEqF 上式稱為洛侖茲力公式。 第三章 恒定電流的電場和磁場 例例 3 - 4 求載流I的有限長直導(dǎo)線(參見圖 3 - 9)外任一點(diǎn)的 磁場。 圖 3-9 例 3 - 4 用圖 第三章 恒定電流的電場和磁場 解：解： 取直導(dǎo)線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，導(dǎo)線和z軸重合，在圓 柱坐標(biāo)中計(jì)算。 C R RIdl rB 3 0 4 )( 從對稱關(guān)系能夠看出磁場與坐標(biāo)無關(guān)。不失一般性，將場點(diǎn) 取在 =0， 即場點(diǎn)坐標(biāo)為(r, 0, z)， 源點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0，z

12、)。 sec sec sec,tan , 2 2 rR redzedl rdzrzz rrRezrzerer zz zzr 第三章 恒定電流的電場和磁場 22 sec ) ( rerdze ezzredzeRdl zrz 所以 )sin(sin 4 cos 4 4 21 0 0 2/ 2/ 3 0 2 1 rr I e d r I e R RdlI B l l 第三章 恒定電流的電場和磁場 式中： 22 2 22 1 )2/( 2/ sin )2/( 2/ sin lzz lz lzz lz 對于無限長直導(dǎo)線(l)，1=/2, 2=-/2，其產(chǎn)生的磁場為 r I eB 2 0 第三章 恒定電流

13、的電場和磁場 3.3 恒定磁場的基本方程恒定磁場的基本方程 3.3.1 磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理 磁感應(yīng)強(qiáng)度在有向曲面上的通量簡稱為磁通量(或磁通)， 單位是Wb(韋伯)，用表示： s dSB 如S是一個閉曲面， 則 S dSB 第三章 恒定電流的電場和磁場 SCCSS R dSRIdl dS R RIdl dSB 3 0 3 0 4 4 上式中， ，故可將其改寫為 RR R1 3 SSC dS R Idl dSB 1 4 0 由矢量恒定式 VS dSAAdV 第三章 恒定電流的電場和磁場 則有 dV R Idl dSB VSC 1 4 0 而梯度場是無旋的， 0 1 R 所以 S dSB

14、0 第三章 恒定電流的電場和磁場 使用散度定理， 得到 SV BdVdSB0 由于上式中積分區(qū)域V是任意的， 所以對空間的各點(diǎn)， 有 0 B 上式是磁通連續(xù)性原理的微分形式，它表明磁感應(yīng)強(qiáng)度B 是一個無源(指散度源)場。 第三章 恒定電流的電場和磁場 3.2.2 安培環(huán)路定律安培環(huán)路定律 圖 3-10 環(huán)路定律 第三章 恒定電流的電場和磁場 3 0 3 0 ) ( 4 4 C C dldl R RI dl R RdlI dlB 假設(shè)回路C對P點(diǎn)的立體角為，同時P點(diǎn)位移dl引起的立體角增量 為d，那么P點(diǎn)固定而回路C位移dl所引起的立體角增量也為d。 -dldl是dl位移-dl所形成的有向面積。

15、注意到R=r-r， 這個立體 角為 。 把其對回路C積分，就得到P點(diǎn)對 回路C移動dl時所掃過的面積張的立體角，記其為d， 則以上的 磁場環(huán)量可以表示為 3 )() ( R Rdldl d 第三章 恒定電流的電場和磁場 CC d I dlB 4 0 可以證明，當(dāng)載流回路C和積分回路C相交鏈時，有 4 C d 當(dāng)載流回路C和積分回路C不交鏈時，有 0 C d 這樣當(dāng)積分回路C和電流I相交鏈時，可得 IdlB C 0 (3 - 36) 第三章 恒定電流的電場和磁場 當(dāng)穿過積分回路C的電流是幾個電流時， 可以將式(3 - 36) 改寫為一般形式： IdlB C 0 根據(jù)斯托克斯定理，可以導(dǎo)出安培回路

16、定律的微分形式： CC dSBdlB)( 由于 S dSJI 第三章 恒定電流的電場和磁場 SS dSJdSB 0 )( 因積分區(qū)域S是任意的， 因而有 JB 0 上式是安培環(huán)路定律的微分形式，它說明磁場的渦旋源是 電流。我們可用此式從磁場求電流分布。對于對稱分布的電 流， 我們可以用安培環(huán)路定律的積分形式，從電流求出磁場。 第三章 恒定電流的電場和磁場 例例3-5 半徑為a的無限長直導(dǎo)線，載有電流I，計(jì)算導(dǎo)體內(nèi)、 外的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 解解: SC dSJrBdlB 0 2 在導(dǎo)線內(nèi)電流均勻分布， 導(dǎo)線外電流為零， 0 2 a I e J z r a ra 第三章 恒定電流的電場和磁場 當(dāng)ra時

17、， 積分回路包圍的電流為I； 當(dāng)ra時，包圍電流為 Ir2/a2。 所以當(dāng)ra時， 2 0 2 2 0 2 2 a Ir B a Ir rB 當(dāng)ra時， r I B IrB 2 2 0 0 寫成矢量形式為 r I e a Ir e B 2 2 0 2 0 r a ra 第三章 恒定電流的電場和磁場 3.4 矢矢 量量 磁磁 位位 可以令 AB 稱式中的A為矢量磁位(簡稱磁矢位)，其單位是Tm(特斯 拉米)或Wb/m(韋伯/米)。矢量磁位是一個輔助量。式(3 - 40)僅僅 規(guī)定了磁矢位A的旋度，而A的散度可以任意假定。因?yàn)槿?B=A，另一矢量A=A+ ，其中是一個任意標(biāo)量函數(shù)，則 BAAA 0

18、 A 第三章 恒定電流的電場和磁場 JA 0 使用矢量恒等式 AAA 2 JA 0 2 上式是磁矢位滿足的微分方程，稱為磁矢位的泊松方程。對無 源區(qū)(J=0)，磁矢位滿足矢量拉普拉斯方程，即 0 2 A zzyyxx AeAeAeA 2222 第三章 恒定電流的電場和磁場 zz yy xx JA JA JA 0 2 0 2 0 2 V z z V y y V x x dV R J A dV R J A dV R J A 4 4 4 0 0 0 第三章 恒定電流的電場和磁場 將其寫成矢量形式為 V dV R J A 4 0 若磁場由面電流JS產(chǎn)生，容易寫出其磁矢位為 S S dS R J A 4

19、 0 同理，線電流產(chǎn)生的磁矢位為 l R Idl A 4 0 磁通的計(jì)算也可以通過磁矢位表示： SCS dlAdSAdSB)( 第三章 恒定電流的電場和磁場 例例 3 - 6 求長度為l 的載流直導(dǎo)線的磁矢位。 圖 3-11 直導(dǎo)線磁矢位 第三章 恒定電流的電場和磁場 解解 : 2 / 122 2 / 122 0 2 / 2 / 2 / 122 0 2 /)2 / ( 2 / )2 / ( 1 4 ) ( 4 rzlzl rzlzl n I zzr dzI A l l z 當(dāng)lz時，有 2 / 122 2 / 122 0 ) 2 /(2 / ) 2 /(2 / 1 4rlzl rll n I

20、A z 上式中，若再取lr, 則有 r n I r n I A z 1 1 4 1 1 4 0 2 0 第三章 恒定電流的電場和磁場 當(dāng)電流分布在無限區(qū)域時，一般指定一個磁矢位的參考點(diǎn)， 就可以使磁矢位不為無窮大。當(dāng)指定r=r0處為磁矢位的零點(diǎn)時， 可以得出 r r n I Az 00 1 2 從上式， 用圓柱坐標(biāo)的旋度公式，可求出 r I e r A eAB x 2 0 第三章 恒定電流的電場和磁場 例例 3 7 用磁矢位重新計(jì)算載流直導(dǎo)線的磁場。 解：解： 0 2 a I e J z r a ra 從電流分布可以知道磁矢位僅僅有z分量，而且它只是坐 標(biāo)r的函數(shù)，即 )(rAeA z 設(shè)在導(dǎo)

21、線內(nèi)磁位是A1, 導(dǎo)線外磁位是A2， ra時， 0 1 2 2 2 r A r rr A 21 2 2 0 1 1 4 CnrC a Ir A 432 1CnrCA r A eB z 第三章 恒定電流的電場和磁場 可以求出導(dǎo)線內(nèi)、 外的磁場分別為 r C eB a Ir eB 3 2 2 0 1 2 2 0 3 I C 導(dǎo)體外部的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 r Ir eB 2 0 2 第三章 恒定電流的電場和磁場 3.5 磁磁 偶偶 極極 子子 圖 3-12 磁偶極子 第三章 恒定電流的電場和磁場 d R Ia A 2 0 0 cos 4 式中： 2/1 2 2 2/122 2 1 ) 2( r rr r

22、a r rrarR ar 第三章 恒定電流的電場和磁場 如果ra，則 2 2/1 2 2/1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 11 r rr r r rr r r rr r a rR 從圖 3 - 12 可見， )sincos(),cossin( yxyx eeareerr 第三章 恒定電流的電場和磁場 所以 cossin1 11 r a rR sin 4 sin 4 2 0 2 2 0 r m r aI A)(ar 式中，m=Ia2，是圓形回路磁矩的模值。一個載流回路的磁矩是 一個矢量，其方向與環(huán)路的法線方向一致，大小等于電流乘以回 路面積，即其定義為 ISm 第三章 恒定電流的電場和磁

23、場 3 0 4r rm A )(ar )sincos2( 4 sin sin sin2 1 3 0 ee r m ArrAA r erree r AB r r r 第三章 恒定電流的電場和磁場 位于點(diǎn)r的磁矩為m的磁偶極子，在點(diǎn)r處產(chǎn)生的磁矢位為 3 0 ) ( 4 )( rr rrm rA 位于外磁場B中的磁偶極子m，會受到外磁場的作用力及 其力矩。 這里僅僅給出作用力及力矩的公式。 作用力為 BmF)( 力矩為 BmT 第三章 恒定電流的電場和磁場 3.6 磁介質(zhì)中的場方程磁介質(zhì)中的場方程 3.6.1 磁化強(qiáng)度磁化強(qiáng)度 V m M V 0 lim 式中m是分子磁矩，求和對體積元V內(nèi)的所有分

24、子進(jìn)行。磁化強(qiáng) 度M的單位是A/m(安培/米)。如在磁化介質(zhì)中的體積元V內(nèi)， 每 一個分子磁矩的大小和方向全相同(都為m)， 單位體積內(nèi)分子數(shù) 是N， 則磁化強(qiáng)度為 Nm V VmN M 第三章 恒定電流的電場和磁場 3.6.2 磁化電流磁化電流 圖 3 -13 磁化介質(zhì)的場 第三章 恒定電流的電場和磁場 3 0 ) ( 4R RVrM A 全部磁介質(zhì)在r處產(chǎn)生的磁矢位為 1 4 ) ( 4 0 3 0 dV R M dV R RrM A V V 可以將上式改寫為 4 4 00 dV R M dV R M A VV 第三章 恒定電流的電場和磁場 再用恒等式 VS dSFFdV 可將磁矢位的表示

25、式變形為 VV dV R nM dV R M A 4 4 00 nMJ MJ mS m 第三章 恒定電流的電場和磁場 圖 3-14 磁化電流示意圖 第三章 恒定電流的電場和磁場 例例 3 - 7 半徑為a、高為L的磁化介質(zhì)柱(如圖 3 -15 所示)， 磁化強(qiáng)度為M0(M0為常矢量，且與圓柱的軸線平行)，求磁化電 流Jm和磁化面電流JmS。 圖 3 15 例 3 - 7用圖 第三章 恒定電流的電場和磁場 解解：取圓柱坐標(biāo)系的z軸和磁介質(zhì)柱的中軸線重合， 磁介質(zhì) 的下底面位于z=0處，上底面位于z=L處。此時，M=M0ez，由式(3 -52)得磁化電流為 0)( 0 zm eMMJ 在界面z=0

26、上，n=-ez, 0)( 0 zzmS eeMnMJ 在界面z=L上，n=ez， 0 0 zzmS eeMnMJ 在界面r=a上，n=er, eMeeMnMJ rzmS00 第三章 恒定電流的電場和磁場 3.6.3 磁場強(qiáng)度磁場強(qiáng)度 在外磁場的作用下，磁介質(zhì)內(nèi)部有磁化電流Jm。 磁化電流Jm 和外加的電流J都產(chǎn)生磁場，這時應(yīng)將真空中的安培環(huán)路定律修正 為下面的形式： dSJJIIdlB S m C m )()( 00 dlMIdlB CC 00 C IdlM B 0 第三章 恒定電流的電場和磁場 令 M B H 0 其中H稱為磁場強(qiáng)度，單位是A/m(安培/米)。于是有 C IdlH 與上式相應(yīng)

27、的微分形式是 JH 第三章 恒定電流的電場和磁場 3.6.4 磁導(dǎo)率磁導(dǎo)率 )( 0 MHB M與H間的關(guān)系為 HZM m 式中m是一個無量綱常數(shù)，稱為磁化率。非線性磁介質(zhì)的磁化率 與磁場強(qiáng)度有關(guān)，非均勻介質(zhì)的磁化率是空間位置的函數(shù)， 各向 異性介質(zhì)的M和H的方向不在同一方向上。順磁介質(zhì)的m為正， 抗磁介質(zhì)的m為負(fù)。這兩類介質(zhì)的m約為 10-5量級。 HHHxMHB rm 000 )1 ()( 第三章 恒定電流的電場和磁場 式中，r=1+m，是介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率，是一個無量綱數(shù)； =0r，是介質(zhì)的磁導(dǎo)率，單位和真空磁導(dǎo)率相同，為H/m(亨/ 米)。 鐵磁材料的B和H的關(guān)系是非線性的，并且B不是H

28、的單值 函數(shù)， 會出現(xiàn)磁滯現(xiàn)象，其磁化率m的變化范圍很大，可以 達(dá)到106量級。 第三章 恒定電流的電場和磁場 3.6.5 磁介質(zhì)中恒定磁場基本方程磁介質(zhì)中恒定磁場基本方程 HB B JH 0 SC S dSJdlH dSB0 JA 2 第三章 恒定電流的電場和磁場 例例 3 8 同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b， 外半徑為c，如圖 3 - 16 所示。設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體分別流過反向的電 流I， 兩導(dǎo)體之間介質(zhì)的磁導(dǎo)率為，求各區(qū)域的H、B、M。 圖 3-16 同軸線示意圖 第三章 恒定電流的電場和磁場 解：解： 以后如無特別聲明，對良導(dǎo)體(不包括鐵等磁性物質(zhì))一 般取其磁導(dǎo)率為0。因同軸線

29、為無限長，則其磁場沿軸線無變化， 該磁場只有分量，且其大小只是r的函數(shù)。分別在各區(qū)域使用介 質(zhì)中的安培環(huán)路定律C Hdl=S JdS，求出各區(qū)的磁場強(qiáng)度H， 然后由H求出B和M。 當(dāng)ra時， 電流I在導(dǎo)體內(nèi)均勻分布，且流向+z方向。由安培 環(huán)路定律得 2 2 a Ir eH )(ar 第三章 恒定電流的電場和磁場 考慮這一區(qū)域的磁導(dǎo)率為0，可得 0 2 2 0 M a Ir eB (r a) (r a) 當(dāng)arb時，與積分回路交鏈的電流為I，該區(qū)磁導(dǎo)率為， 可得 r I eB r eH 2 2 1 r I eM 2 0 0 (arb) 第三章 恒定電流的電場和磁場 當(dāng)bc時，這一區(qū)域的B、H、

30、M為零。 第三章 恒定電流的電場和磁場 3.7 恒定磁場的邊界條件恒定磁場的邊界條件 圖 3-17 Bn的邊界條件 第三章 恒定電流的電場和磁場 設(shè)底面和頂面的面積均等于S。將積分形式的磁通連續(xù)性 原理(即S BdS=0)應(yīng)用到此閉合面上，假設(shè)圓柱體的高度h趨于 零， 得 0 21 SnBSnB nn BB 12 寫成矢量形式為 0)( 12 BBn 第三章 恒定電流的電場和磁場 圖 3 - 18 Ht的邊界條件 第三章 恒定電流的電場和磁場 將介質(zhì)中積分形式的安培環(huán)路定律 CS dSJdlH 應(yīng)用在這一回路， 得 S dSJllHlH)( 12 若界面上的電流可以看成面電流， 則 lbJdS

31、J S S lbJlHHl S )( 12 于是有 第三章 恒定電流的電場和磁場 考慮到l=bn, 得 bJHHnb S )()( 12 使用矢量恒等式 ACBCBA)()( bJbHHn S )( 12 S JHHn)( 12 第三章 恒定電流的電場和磁場 如果無面電流(JS=0)，這一邊界條件變成為 0)( 12 HHn 用下標(biāo)t表示切向分量，上式可以寫成標(biāo)量形式： tt HH 12 假設(shè)磁場B2與法向n的夾角為2, B1與n的夾角為1(如圖3-17 所示)， 則式(3 - 70)和式(3 - 66)可寫成 1122 1122 coscos sinsin BB HH 第三章 恒定電流的電場

32、和磁場 上式兩式相除， 并注意B2=2H2, B1=1H1, 得 2 1 2 1 tan tan 這表明，磁力線在分界面上通常要改變方向。若介質(zhì)1為鐵磁 材料，介質(zhì)2為空氣，此時2 1, 因而2 1，由式(3 - 66)得B2 B1。 假如1=10000, 2=0，在這種情況下，當(dāng)=87時， 2=1.09，B2/B1=0.052。由此可見，鐵磁材料內(nèi)部的磁感應(yīng) 強(qiáng)度遠(yuǎn)大于外部的磁感應(yīng)強(qiáng)度，同時外部的磁力線幾乎與鐵磁 材料表面垂直。 第三章 恒定電流的電場和磁場 3.8 3.8 標(biāo)標(biāo) 量量 磁磁 位位 根據(jù)磁介質(zhì)中恒定磁場的基本方程式(3 - 60)可知，在無自 由電流(J=0)的區(qū)域里，磁場強(qiáng)

33、度H是無旋的。此時，磁場強(qiáng)度 可以表示為一個標(biāo)量函數(shù)的負(fù)梯度， 即 m H 稱為磁場的標(biāo)量位函數(shù)(簡稱為標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位)， 單位 為A(安培)。 上式中的負(fù)號是為了與靜電位對應(yīng)而人為 加入的。 在均勻介質(zhì)中， 由式(3 - 60)和(3 - 61)可得 m 第三章 恒定電流的電場和磁場 0)(HHB 將式(3 - 72)代入到上式中，可得磁標(biāo)位滿足拉普拉斯方程，即 0 2 m 所以用微分方程求磁標(biāo)位時，也同靜電位一樣，是求拉 普拉斯方程的解。磁場的邊界條件用磁標(biāo)位表示時，為 1212 1 1 2 212 mmtt mm nn HH nn BB 磁標(biāo)位在求解永磁體的磁場問題時比較方便(因其內(nèi)無

34、自由電 流)。永磁體的磁導(dǎo)率遠(yuǎn)大于空氣的磁導(dǎo)率，因而永磁體表面是一個 等位(磁標(biāo)位)面，這時可以用靜電比擬法來計(jì)算永磁體的磁場。 第三章 恒定電流的電場和磁場 對非均勻介質(zhì)，在無源區(qū)(J=0)，引入磁荷的概念后，磁標(biāo) 位滿足泊松方程，即 mm 2 式中： M m 第三章 恒定電流的電場和磁場 3.9 互互 感感 和和 自自 感感 在線性磁介質(zhì)中，任一回路在空間產(chǎn)生的磁場與回路電流 成正比，因而穿過任意的固定回路的磁通量也是與電流成正比。 如果回路由細(xì)導(dǎo)線繞成N匝，則總磁通量是各匝的磁通之和。稱 總磁通為磁鏈，用表示。對于密繞線圈，可以近似認(rèn)為各匝的 磁通相等， 從而有=N。 第三章 恒定電流的

35、電場和磁場 一個回路的自感定義為回路的磁鏈和回路電流之比， 用L 表示， 即 I L 自感的單位是H(亨利)。自感的大小決定于回路的尺寸、形狀以 及介質(zhì)的磁導(dǎo)率。 圖 3-19 互感 第三章 恒定電流的電場和磁場 1 12 12 I M 2 21 21 I M 互感的單位與自感相同。同樣，我們可以用載流回路C2的磁場 在回路C1上產(chǎn)生的磁鏈21與電流I2的比來定義互感M21，即 互感的大小也取決于回路的尺寸、形狀以及介質(zhì)的磁導(dǎo)率和回路 的匝數(shù)。 第三章 恒定電流的電場和磁場 圖 3-20 內(nèi)自感 第三章 恒定電流的電場和磁場 當(dāng)導(dǎo)線的直徑遠(yuǎn)小于回路的尺寸而且也遠(yuǎn)小于兩個回路之 間的最近距離時，

36、兩回路都可以用軸線的幾何回路代替。設(shè)兩 個回路都只有一匝。當(dāng)回路C1載有電流I1時，C2上的磁鏈為 212211212 22 dlAdSB SC 式中，A12為電流I1在C2上的磁矢位，即 1 110 12 4 C R dlI A 21 21 210 1 12 12 2110 12 4 4 CC CC R dldl I M R dldlI 第三章 恒定電流的電場和磁場 MMM 2112 CC R dldl L 210 4 21 210 4 CC e R dldl L 第三章 恒定電流的電場和磁場 例例 3 - 9 求無限長平行雙導(dǎo)線(如圖 3 - 21所示)單位長外自感。 圖 3-21 平行雙

37、導(dǎo)線 第三章 恒定電流的電場和磁場 解：解：設(shè)導(dǎo)線中電流為I，由無限長導(dǎo)線的磁場公式，可得兩 導(dǎo)線之間軸線所在的平面上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 )(22 00 xd I x I B 磁場的方向與導(dǎo)線回路平面垂直。單位長度上的外磁鏈為 a ad n I Bdx ad a 1 0 所以單位長外自感為 a ad nL 1 0 第三章 恒定電流的電場和磁場 3.10 磁場能量磁場能量 為簡單起見，先計(jì)算兩個分別載流I1和I2的電流回路系統(tǒng)所儲 存的磁場能量。假定回路的形狀、相對位置不變，同時忽略焦耳 熱損耗。在建立磁場的過程中，兩回路的電流分別為i1(t)和i2(t)， 最初， i1=0，i2=0，最終，i1=

38、I1, i2=I2。 在這一過程中，電源作的 功轉(zhuǎn)變成磁場能量。我們知道，系統(tǒng)的總能量只與系統(tǒng)最終的狀 態(tài)有關(guān)， 與建立狀態(tài)的方式無關(guān)。為計(jì)算這個能量，先假定回路 2 的電流為零，求出回路1中的電流i1從零增加到I1時，電源作的 功W1；其次，回路 1 中的電流I1不變，求出回路 2 中的電流從零 增加到I2時，電源作的功W2。從而得出這一過程中，電源對整個 回路系統(tǒng)作的總功Wm=W1+W2。 第三章 恒定電流的電場和磁場 當(dāng)保持回路 2 的電流i2=0時，回路1中的電流i1在dt時間內(nèi)有 一個增量di1, 周圍空間的磁場將發(fā)生改變，回路1和2 的磁通分別 有增量d11和d12，相應(yīng)地在兩個回

39、路中要產(chǎn)生感應(yīng)電勢E1=- d11/dt和E2=-d12/dt。感應(yīng)電勢的方向總是阻止電流增加。因而， 為使回路 1 中的電流得到增量di1, 必須在回路 1 中外加電壓U1=- E1；為使回路 2 電流為零，也必須在回路2 加上電壓U2=-E2。 所 以在dt時間里，電源作功為 11111111 1122111 diiLdidtiE dtiUdtiUdtiUdW 第三章 恒定電流的電場和磁場 在回路的電流從零到I1的過程中，電源作功為 2 11 0 11111 2 11 ILdiiLdWW I 計(jì)算當(dāng)回路1的電流I1保持不變時，使回路2的電流從零增 到I2，電源作的功W2。若在dt時間內(nèi)，電流i2有增量di2，這時回 路1中感應(yīng)電勢為E1=-d21/dt，回路 2 中的感應(yīng)電勢為E2=- d22/dt。 為克服感應(yīng)電勢，必須在兩個回路上加上與感應(yīng)電勢 反向的電壓。在dt時間內(nèi)，電源作功為 dW2=M21I1di2+L2i2di2 第三章 恒定電流的電場和磁場 積分得回路 1 電流保持不變時， 電源作功總量為 2 22221 0 22212