模型中的特殊解釋變量虛擬變量經(jīng)濟(jì)

1、第第8 8章章 模型中的特殊解釋變量模型中的特殊解釋變量8.3 8.3 虛擬變量模型虛擬變量模型 8.3 8.3 虛擬變量虛擬變量（重點(diǎn)掌握）（重點(diǎn)掌握） 許多經(jīng)濟(jì)變量是可以定量度量的，許多經(jīng)濟(jì)變量是可以定量度量的，如：如：商品需求量、商品需求量、價(jià)格、收入、產(chǎn)量等。但也有一些影響經(jīng)濟(jì)變量的價(jià)格、收入、產(chǎn)量等。但也有一些影響經(jīng)濟(jì)變量的因素因素?zé)o法定量度量無法定量度量，如：如：職業(yè)、性別對收入的影響；職業(yè)、性別對收入的影響；戰(zhàn)爭、自然災(zāi)害對戰(zhàn)爭、自然災(zāi)害對gdp的影響；季節(jié)對某些產(chǎn)品的影響；季節(jié)對某些產(chǎn)品（如冷飲）銷售的影響等等。（如冷飲）銷售的影響等等。為了在模型中能夠反映這些因素的影響，并提

2、高模為了在模型中能夠反映這些因素的影響，并提高模型的精度，需要將它們型的精度，需要將它們“量化量化”。 這種這種“量化量化”通常是通過引入通常是通過引入“虛擬變量虛擬變量”來完成的。根據(jù)這些因素的屬性類型，構(gòu)造來完成的。根據(jù)這些因素的屬性類型，構(gòu)造只取只取“0”或或“1”的人工變量，通常稱為的人工變量，通常稱為虛虛擬變量擬變量（dummy variables），記為），記為d。 例如例如，反映文程度的虛擬變量可取為，反映文程度的虛擬變量可取為： 1， 本科學(xué)歷本科學(xué)歷 d= 0， 非本科學(xué)歷非本科學(xué)歷注意：注意：(1) 當(dāng)定性變量含有當(dāng)定性變量含有m個(gè)類別時(shí)個(gè)類別時(shí)，模型不能引入，模型不能引入

3、m個(gè)虛個(gè)虛擬變量。擬變量。最多只能引入最多只能引入m -1個(gè)虛擬變量個(gè)虛擬變量，否則當(dāng)模型中存在，否則當(dāng)模型中存在截距項(xiàng)時(shí)就會產(chǎn)生完全多重共線性，無法估計(jì)回歸參數(shù)。截距項(xiàng)時(shí)就會產(chǎn)生完全多重共線性，無法估計(jì)回歸參數(shù)。(2) 把虛擬變量取值為把虛擬變量取值為0所對應(yīng)的類別稱作所對應(yīng)的類別稱作基礎(chǔ)類別基礎(chǔ)類別。(3) 當(dāng)定性變量含有當(dāng)定性變量含有m個(gè)類別時(shí)，不能把虛擬變量的值設(shè)成如個(gè)類別時(shí)，不能把虛擬變量的值設(shè)成如下形式。下形式。個(gè)類別第個(gè)類別第個(gè)類別第mmd,1,2,11,0這種賦值法在一般情形下與虛擬變量賦值是完全不同的兩這種賦值法在一般情形下與虛擬變量賦值是完全不同的兩回事?；厥隆?4) 回歸

4、模型可以只用虛擬變量作解釋變量，也可以用定回歸模型可以只用虛擬變量作解釋變量，也可以用定量變量和虛擬變量一起做解釋變量。量變量和虛擬變量一起做解釋變量。 （第（第3版教材第版教材第189頁）頁）1. 用虛擬變量測量截距變動用虛擬變量測量截距變動設(shè)有模型，設(shè)有模型， yt = 0 + 1 xt + 2d + ut ,其中其中yt，xt為定量變量；為定量變量；d為定性變量。為定性變量。當(dāng)當(dāng)d = 0 或或1時(shí)，上述模型可表達(dá)為，時(shí)，上述模型可表達(dá)為，1)(0 12010duxduxyttttt02040600204060xyd = 1或或0表示某種特征的有無。反映在數(shù)學(xué)上是截距不同的兩個(gè)函數(shù)。表示

5、某種特征的有無。反映在數(shù)學(xué)上是截距不同的兩個(gè)函數(shù)。若若 2顯著不為零，說明截距不同；若顯著不為零，說明截距不同；若 2為零，說明這種分類無顯著性為零，說明這種分類無顯著性差異。差異。d = 1 d = 000+2例例8.3 隨機(jī)調(diào)查美國舊金山地區(qū)隨機(jī)調(diào)查美國舊金山地區(qū)20個(gè)家庭的儲蓄情況，擬建立年儲蓄額個(gè)家庭的儲蓄情況，擬建立年儲蓄額yi (千美元千美元) 對年收入對年收入xi (千美元千美元) 的回歸模型。通過對樣本點(diǎn)的分析發(fā)現(xiàn)，居的回歸模型。通過對樣本點(diǎn)的分析發(fā)現(xiàn)，居于上部的于上部的6個(gè)點(diǎn)（用小圓圈表示）都是代表自己有房子的家庭；居于下部個(gè)點(diǎn)（用小圓圈表示）都是代表自己有房子的家庭；居于下

6、部的的14個(gè)點(diǎn)（用小三角表示）都是租房住的家庭。而這兩類家庭所對應(yīng)的觀個(gè)點(diǎn)（用小三角表示）都是租房住的家庭。而這兩類家庭所對應(yīng)的觀測點(diǎn)各自都表現(xiàn)出明顯的線性關(guān)系。于是給模型加入一個(gè)定性變量測點(diǎn)各自都表現(xiàn)出明顯的線性關(guān)系。于是給模型加入一個(gè)定性變量“住房住房狀況狀況”，用，用d表示。定義如下：表示。定義如下：，（租房戶），（有房戶）01d012310203040xy（第（第3版教材第版教材第189頁）頁）例例8.3 建立回歸模型建立回歸模型yi = 0 + 1 xi + 2 di + ut 得估計(jì)結(jié)果如下，得估計(jì)結(jié)果如下，= - 0.3204 + 0.0675 xt + 0.8273 d i (

7、-5.2) (16.9) (11.0) r2 = 0.99, dw = 2.27由于回歸系數(shù)由于回歸系數(shù)0.8273顯著地不為零，說明對住房狀況不同的兩類家庭顯著地不為零，說明對住房狀況不同的兩類家庭來說，回歸函數(shù)截距項(xiàng)確實(shí)明顯不同。來說，回歸函數(shù)截距項(xiàng)確實(shí)明顯不同。當(dāng)模型不引入虛擬變量當(dāng)模型不引入虛擬變量“住房狀況住房狀況”時(shí)，得回歸方程如下，時(shí)，得回歸方程如下， = - 0.5667 + 0.0963 xi (-3.5) (11.6) r2 = 0.88, dw = 1.85比較回歸方程，前者的確定系數(shù)為比較回歸方程，前者的確定系數(shù)為0.99，后者的確定系數(shù)僅為，后者的確定系數(shù)僅為0.88

8、。說。說明該回歸模型中引入虛擬變量非常必要。明該回歸模型中引入虛擬變量非常必要。iyiy（第（第3版教材第版教材第190頁）頁） “季節(jié)季節(jié)”是在研究經(jīng)濟(jì)問題中常常遇到的定性因素。比如，酒，肉的銷量是在研究經(jīng)濟(jì)問題中常常遇到的定性因素。比如，酒，肉的銷量在冬季要超過其它季節(jié)，而飲料的銷量又以夏季為最大。當(dāng)建立這類問在冬季要超過其它季節(jié)，而飲料的銷量又以夏季為最大。當(dāng)建立這類問題的計(jì)量模型時(shí)，就要考慮把題的計(jì)量模型時(shí)，就要考慮把“季節(jié)季節(jié)”因素引入模型。由于一年有四個(gè)因素引入模型。由于一年有四個(gè)季節(jié)，所以這是一個(gè)含有四個(gè)類別的定性變量。應(yīng)該向模型引入三個(gè)虛季節(jié)，所以這是一個(gè)含有四個(gè)類別的定性變量

9、。應(yīng)該向模型引入三個(gè)虛擬變擬變量量。 例例8.4 市場用煤銷售量模型市場用煤銷售量模型。由于受取暖用煤的影響，每年第四季度的由于受取暖用煤的影響，每年第四季度的銷售量大大高于其它季度。鑒于是季節(jié)數(shù)據(jù)可設(shè)三個(gè)季節(jié)變量如下：銷售量大大高于其它季度。鑒于是季節(jié)數(shù)據(jù)可設(shè)三個(gè)季節(jié)變量如下：，（其他季度），（第四季度）011d，（其他季度），（第三季度）012d，（其他季度），（第二季度）013d （第（第2版第版第224頁）頁）（第（第3版第版第192頁）頁）以時(shí)間以時(shí)間 t 為解釋變量（為解釋變量（1982年年1季度取季度取t = 1）的煤銷售量（）的煤銷售量（yi）模型估計(jì)結(jié)）模型估計(jì)結(jié)果如下：果如

10、下： = 2431.20 + 49.00 t + 1388.09 d1 + 201.84 d2 + 85.00 d3 (26.04) (10.81) (13.43) (1.96) (0.83) r2 = 0.95, dw = 1.2, f=100.4, t=28, t0.05 (28-5) = 2.07由于由于d2，d3的系數(shù)沒有顯著性，說明第二、三季度可以歸并入基礎(chǔ)類別的系數(shù)沒有顯著性，說明第二、三季度可以歸并入基礎(chǔ)類別第一季度。于是只考慮加入一個(gè)虛擬變量第一季度。于是只考慮加入一個(gè)虛擬變量d1，把季節(jié)因素分為第四季度，把季節(jié)因素分為第四季度和第一、二、三季度兩類。從上式中剔除虛擬變量和第一

11、、二、三季度兩類。從上式中剔除虛擬變量d2，d3，得煤銷售量，得煤銷售量（yi）模型如下：）模型如下： = 2515.86 + 49.73 t + 1290.91 d1 (32.03 (10.63) (14.79) r2 = 0.94, dw = 1.4, f = 184.9, t=28, t0.05 (25) = 2.06這里第一、二、三季度為基礎(chǔ)類別。這里第一、二、三季度為基礎(chǔ)類別。例例8.4iyiy（第（第2版第版第224頁）頁）（第（第3版第版第192頁）頁）2. 測量斜率變動測量斜率變動以上介紹了用虛擬變量測量回歸函數(shù)的截距變化。實(shí)際上，也可以用虛擬以上介紹了用虛擬變量測量回歸函數(shù)的

12、截距變化。實(shí)際上，也可以用虛擬變量考察回歸函數(shù)的斜率是否發(fā)生變化。方法是在模型中加入變量考察回歸函數(shù)的斜率是否發(fā)生變化。方法是在模型中加入定量變量與定量變量與虛擬變量的乘積項(xiàng)虛擬變量的乘積項(xiàng)。設(shè)模型如下，。設(shè)模型如下，yi = 0 + 1 xi + 2 di + 3 (xi di) + ui 按按 2， 3 是否為零，回歸函數(shù)可有如下四種形式。是否為零，回歸函數(shù)可有如下四種形式。 e(yi) = 0 + 1 xi , (當(dāng)當(dāng) 2 = 3 = 0) e(yi) = ( 0 + 2) + ( 1 + 3) xi , (當(dāng)當(dāng) 2 0, 3 0) e(yi) = 0 + ( 1 + 3) xi , (

13、當(dāng)當(dāng) 2 = 0, 3 0) e(yi) = ( 0 + 2) + 1 xi , (當(dāng)當(dāng) 2 0, 3 = 0)截距、斜率同時(shí)發(fā)生變化的兩種情形見圖。截距、斜率同時(shí)發(fā)生變化的兩種情形見圖。0204060801000204060xy0102030405060700204060ty 3. 分段線性回歸（不講）分段線性回歸（不講） 例例8.5 中國進(jìn)出口貿(mào)易總額序列（中國進(jìn)出口貿(mào)易總額序列（19501984年）如圖。試檢驗(yàn)改革開放年）如圖。試檢驗(yàn)改革開放前后該時(shí)間序列的斜率是否發(fā)生變化。定義虛擬變量前后該時(shí)間序列的斜率是否發(fā)生變化。定義虛擬變量d如下，如下， 以時(shí)間以時(shí)間time為解釋變量，進(jìn)出口貿(mào)

14、易總額用為解釋變量，進(jìn)出口貿(mào)易總額用trade表示，估計(jì)結(jié)果如下，表示，估計(jì)結(jié)果如下， = 0.2818 + 0.0746 time - 35.8809d + 1.2559 time d (1.35) (6.2) (-8.4) (9.6) 上式說明，改革開放前后相比無論截距和上式說明，改革開放前后相比無論截距和斜率都發(fā)生了變化。進(jìn)出口貿(mào)易總額的斜率都發(fā)生了變化。進(jìn)出口貿(mào)易總額的年平均增長量擴(kuò)大了近年平均增長量擴(kuò)大了近17倍。倍。），（），（198419790197819501dtrade）（，）（19841979, 13305. 15991.3319781950, 0,0746. 02818.

15、 0dtimedtimetrade（第（第2版第版第226頁）頁）（第（第3版第版第194頁）頁）補(bǔ)充案例補(bǔ)充案例 ：香港季節(jié)：香港季節(jié)gdpgdp數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)（千億港元千億港元）的擬合）的擬合（file:dummy6file:dummy6）1.21.62.02.42.83.23.690 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02gdp19901997年香港季度年香港季度gdp呈線性增長。呈線性增長。1997年由于遭受東南亞金融危機(jī)年由于遭受東南亞金融危機(jī)的影響，經(jīng)濟(jì)發(fā)展處于停滯狀態(tài)，的影響，經(jīng)濟(jì)發(fā)展處于停滯狀態(tài)，19982002年底年底gdp總量幾乎沒有增長總量幾乎

16、沒有增長（見上圖）。對這樣一種先增長后停滯，且含有季節(jié)性周期變化的過程簡（見上圖）。對這樣一種先增長后停滯，且含有季節(jié)性周期變化的過程簡單地用一條直線去擬合顯然是不恰當(dāng)?shù)?。為區(qū)別不同季節(jié)，和不同時(shí)期，單地用一條直線去擬合顯然是不恰當(dāng)?shù)?。為區(qū)別不同季節(jié)，和不同時(shí)期，定義季節(jié)虛擬變量定義季節(jié)虛擬變量d2、d3、d4和區(qū)別不同時(shí)期的虛擬變量和區(qū)別不同時(shí)期的虛擬變量dt如下，如下，（其他季度）季度）（第，02 12d，（其他季度）季度）（第，03 13d，（其他季度）季度）（第，04 14d2002m4998m110，mmdt得估計(jì)結(jié)果如下：得估計(jì)結(jié)果如下： = 1.1573

17、+0.0668t+0.0775d2+0.2098d3+0.2349d4+1.8338dt- 0.0654dt t (50.8) (64.6) (3.7) (9.9) (11.0) (19.9) (-28.0) r2 = 0.99, dw = 0.9, s.e. = 0.05, f=1198.4, t=52, t0.05 (52-7) = 2.01對于對于1990:1 1997:4 = 1.1573 + 0.0668 t + 0.0775 d2 + 0.2098 d3 + 0.2349 d4對于對于1998:12002:4 = 2.9911 + 0.0014 t + 0.0775 d2 + 0.2098 d3 + 0.2349 d4例例3 3：香港季節(jié)：香港季節(jié)gdpgdp數(shù)據(jù)（千億港元）的擬合（數(shù)據(jù)（千億港元）的擬合（file:dummy6file:dummy6）tgdptgdptgdp 如果不采用虛擬變量擬合效果將很差。如果不采用虛擬變量擬合效果將很差。 = 1.6952 + 0.0377 t (20.6) (13.9) r2 = 0.80, dw