第三講秩虧自由網(wǎng)平差

1、第三講第三講 秩虧自由網(wǎng)平差秩虧自由網(wǎng)平差n 上節(jié)廣義最小二乘準則： 1、基本模型為：2、平差準則：,xxxvxl pvbxl p12000 xxxvlbvxvlidpd mintv pv u以上即為極大驗后估計的等價解法！以上即為極大驗后估計的等價解法！minttxxxv pvv pv,xxxvxl pvbxl pminttxxxv pvv pv()()0220()()0()()0ttxxxttxxtxxttxxxv pvv pvxxv p bv pb p bxlp xlb p bp xb p lp l12000 xxxvlbvxvlidpd mintv pv 120112200()2200

2、0()0000000tttttxxttxxxbv pvvv pv pixxbi pvldbbixldilddbbixbilddi n秩虧自由網(wǎng)平差n所介紹的秩虧自由網(wǎng)平差應(yīng)用于：“自由網(wǎng)自由網(wǎng)”的平差；的平差；觀測方程的系數(shù)陣是列虧的觀測方程的系數(shù)陣是列虧的(即：不需假定必即：不需假定必要起算數(shù)據(jù)要起算數(shù)據(jù))；不考慮參數(shù)的先驗統(tǒng)計特性。不考慮參數(shù)的先驗統(tǒng)計特性。一、問題的提出自由網(wǎng)：自由網(wǎng)： 當控制網(wǎng)中沒有必要的起算數(shù)據(jù)時，通常稱為自由網(wǎng)。附合網(wǎng)、獨立網(wǎng)：附合網(wǎng)、獨立網(wǎng)： 當控制網(wǎng)中除必要起算數(shù)據(jù)時外，還有多余的起算數(shù)據(jù)的網(wǎng)，稱為附合網(wǎng)；等于必要起算數(shù)據(jù)，稱獨立網(wǎng)。自由網(wǎng)平差方法分為：自由網(wǎng)平

3、差方法分為： 經(jīng)典自由網(wǎng)平差和秩虧自由網(wǎng)平差兩種。v一些特殊用途的控制網(wǎng)，如變形觀測網(wǎng)、沉降監(jiān)測一些特殊用途的控制網(wǎng)，如變形觀測網(wǎng)、沉降監(jiān)測網(wǎng)等，一般為自由網(wǎng)。網(wǎng)等，一般為自由網(wǎng)。1、經(jīng)典自由網(wǎng)平差、經(jīng)典自由網(wǎng)平差例：選定選定x3x3的高程為已知，則可列出誤差方程的高程為已知，則可列出誤差方程為：為：11122233101101vlxvlxvl 法方程： 系數(shù)陣的行列式不為零，即r（n）=2，非奇異，方程有唯一解：u經(jīng)典平差法的條件：經(jīng)典平差法的條件： 是在控制網(wǎng)中必需設(shè)定設(shè)定足夠的坐標起算數(shù)據(jù)；12123221012llxllx1212322112llxllxu也可設(shè)定各點的高程近似值時，取

4、x3的已知高程為近似值，但 。（即設(shè)一點的高程為已知）其函數(shù)模型為：u這就成為附有條件的間接平差了。30 x 111222333310111 001 10vxlvxlvxlx 2、秩虧自由網(wǎng)平差秩虧自由網(wǎng)平差如果不假設(shè)起始高程，設(shè)如果不假設(shè)起始高程，設(shè)網(wǎng)中全部待定點為參數(shù)，則網(wǎng)中全部待定點為參數(shù)，則誤差方程為：誤差方程為：11122233310111 001 1vxlvxlvxl 組法方程：組法方程：法方程系數(shù)陣：法方程系數(shù)陣：可見，系數(shù)陣的行列式等于零可見，系數(shù)陣的行列式等于零, ,即是一個奇異陣，即是一個奇異陣，方程有無窮多組解。方程有無窮多組解。產(chǎn)生秩虧的原因：產(chǎn)生秩虧的原因：就是平差網(wǎng)

5、形中缺少的必要起就是平差網(wǎng)形中缺少的必要起算數(shù)據(jù)個數(shù)。算數(shù)據(jù)個數(shù)。秩虧數(shù)秩虧數(shù)d d：就是秩虧自由網(wǎng)中的基準虧損數(shù)，就是秩虧自由網(wǎng)中的基準虧損數(shù)， d=rd=r（b b）-r-r（b b）（ rr（b b）是）是b b的列滿秩數(shù)，的列滿秩數(shù)，r r（b b）是實際秩數(shù)。）是實際秩數(shù)。）211121112tb pb 0ttb pbxb pl秩虧自由網(wǎng)平差：秩虧自由網(wǎng)平差： 如果網(wǎng)中不設(shè)起始數(shù)據(jù)或沒有必要的起算數(shù)如果網(wǎng)中不設(shè)起始數(shù)據(jù)或沒有必要的起算數(shù)據(jù)，而且又設(shè)所有網(wǎng)點坐標為參數(shù)，這樣的平據(jù)，而且又設(shè)所有網(wǎng)點坐標為參數(shù)，這樣的平差問題稱為秩虧自由網(wǎng)平差。差問題稱為秩虧自由網(wǎng)平差。思考：思考：在沒有

6、起算數(shù)據(jù)的網(wǎng)中，秩虧數(shù)和什么個數(shù)在沒有起算數(shù)據(jù)的網(wǎng)中，秩虧數(shù)和什么個數(shù) 相等？相等？水準網(wǎng)、測角網(wǎng)、測邊網(wǎng)、邊角網(wǎng)以及水準網(wǎng)、測角網(wǎng)、測邊網(wǎng)、邊角網(wǎng)以及gpsgps網(wǎng)網(wǎng)的秩虧數(shù)各是多少？的秩虧數(shù)各是多少？二、秩虧自由網(wǎng)平差原理二、秩虧自由網(wǎng)平差原理秩虧自由網(wǎng)平差的函數(shù)模型為秩虧自由網(wǎng)平差的函數(shù)模型為相應(yīng)的誤差方程為相應(yīng)的誤差方程為隨機模型為隨機模型為法方程為法方程為111nnuunlb xdvbxl22100lldqp0ttb pbxb pl問題的提出問題的提出: :在秩虧自由網(wǎng)平差中在秩虧自由網(wǎng)平差中, ,如果像經(jīng)典平差如果像經(jīng)典平差平差那樣平差那樣, ,只要求遵循最小二乘原則求未知參數(shù)的解

7、只要求遵循最小二乘原則求未知參數(shù)的解, ,將不可能取得唯一確定的估計量將不可能取得唯一確定的估計量; ;解決方法解決方法: :為了得唯一確定的估計量為了得唯一確定的估計量, ,需要在遵循最需要在遵循最小二乘原則基礎(chǔ)上小二乘原則基礎(chǔ)上附加另外條件附加另外條件; ;附加條件的前提附加條件的前提: :該條件的確定應(yīng)保證所求得的未該條件的確定應(yīng)保證所求得的未知數(shù)的估計量是最優(yōu)的知數(shù)的估計量是最優(yōu)的. .u這樣的最優(yōu)解是唯一存在的這樣的最優(yōu)解是唯一存在的, ,它就是法方程的它就是法方程的最小范最小范數(shù)解數(shù)解! ! 1、秩虧法方程的最小范數(shù)解（直接解法） 設(shè)滿足法方程的一個解為設(shè)滿足法方程的一個解為x,x

8、,取其平方和的開方為取其平方和的開方為稱為向量稱為向量x x的范數(shù)的范數(shù), ,幾何意義是向量的長度。幾何意義是向量的長度。最小范數(shù)滿足條件最小范數(shù)滿足條件, ,稱為最小范數(shù)條件稱為最小范數(shù)條件, ,其表達式為其表達式為法方程若有一解法方程若有一解x x滿足其范數(shù)最小滿足其范數(shù)最小, ,這個解就稱為最小這個解就稱為最小范數(shù)解。范數(shù)解。1222212()tnxx xxxxminmintxx x或求最小范數(shù)的法方程解過程：求最小范數(shù)的法方程解過程：即求下列數(shù)學解：即求下列數(shù)學解：得：得：0minttnxb plx x()txn nnb pl2()min2200()()tttttttttx xknxb

9、 plxk nxn knknnkb pbknnb pbxn nnb pb 解：u廣義逆矩陣的概念廣義逆矩陣的概念1）廣義逆）廣義逆a-1、定義：、定義：設(shè)a的秩r（a）=rmin(n,m)，滿足下列矩陣方程的a-定義為a的廣義逆2、廣義逆、廣義逆a-的計算的計算a是非奇異方陣，凱利逆a-1就是a的廣義逆。a是列滿秩時a是行滿秩時a是降秩矩陣時：秩分解法、降階法。nm mn nmnma a aa11()ttlaa aa11()ttraaa au降階法：降階法： 在秩虧的方陣a中，刪去d個某一行和相應(yīng)的某一列降階求逆，刪去位置均以“0”代之，即得奇異方陣的廣義逆a-。 可見a-不唯一。 例如： 可

10、以驗證：11111001123211011111,0101110010000ar adaaa，（ ），aa aa2）廣義逆）廣義逆a+（moore-penrose廣義逆、偽逆）廣義逆、偽逆）1、定義：滿足下列四個條件，即、定義：滿足下列四個條件，即2、 a+的計算的計算 當當a為對稱方陣時：為對稱方陣時：()()ttaa aaa aaaaaaaa aa a()()aa aaa aaau值得說明的是：值得說明的是：1）因廣義逆不唯一，但可以證明，用不同的廣義）因廣義逆不唯一，但可以證明，用不同的廣義逆（逆（nn）-代入上式后，求得的代入上式后，求得的x向量卻是相同的，向量卻是相同的，故故x有唯一

11、解！有唯一解！2）以上解法又稱為）以上解法又稱為“直接解法直接解法”。精度估計精度估計參數(shù)估值的協(xié)因數(shù)陣：參數(shù)估值的協(xié)因數(shù)陣：單位權(quán)方差估值仍為：單位權(quán)方差估值仍為： ()()()()txxqn nnb pqpb nnnn nnn nnnn20( )ttv pvv pvnr anrr(a)=等于所選參數(shù)個數(shù)等于所選參數(shù)個數(shù)u-秩虧數(shù)秩虧數(shù)d2 2、附加條件法（是一種實用算法）、附加條件法（是一種實用算法）自由網(wǎng)誤差方程為自由網(wǎng)誤差方程為為消除秩虧，附加條件為消除秩虧，附加條件按最小二乘原則，作函數(shù)按最小二乘原則，作函數(shù)得法方程得法方程解法方程，得解法方程，得x解解vbxl1txuduuus p

12、 xox2()mintttv pvks p x txtxnp sa plxs pook111122122ttxtxnp sqqxa pla pls poqqkoo1 11 11 1tx xxqap lqqn q或者，整理得：或者，整理得：11120()()()()ttxtttxxxxttxnsp sb plqnsp sb pb nsp sv pvv pvfnud3. 偽觀測值法 數(shù)學模型數(shù)學模型:平差準則平差準則:mintv pv 000tgxvblvxvs pppi 11,tgxduuuudvbxl pvs p x i1()ttxxnsp sb pl按間接平差法求參數(shù)：按間接平差法求參數(shù)：1

13、、合并、合并2、法方程：、法方程：3、解參數(shù)、解參數(shù),0000000000()txtttttttxxxtttblvxbxls pppib pbxb plbbbpplxs ps ps piixb p bssb pl u可見，其與附加條件法解是等價的?？梢?，其與附加條件法解是等價的。z以上介紹可知：n 直接算法需要求廣義逆；直接算法需要求廣義逆；n 附加條件法附加條件法或或偽觀測法偽觀測法需要確定兩項：需要確定兩項：px和和s。n按平差基準不同可將自由網(wǎng)平差分為三類按平差基準不同可將自由網(wǎng)平差分為三類:1）以全部網(wǎng)點重心為基準(簡稱重心基準) 的秩虧自秩虧自由網(wǎng)平差由網(wǎng)平差；(px=e）2）以網(wǎng)中

14、部份相對穩(wěn)定點重心為基準(簡稱擬穩(wěn)基準) 的擬穩(wěn)自由網(wǎng)平差擬穩(wěn)自由網(wǎng)平差(簡稱擬穩(wěn)平差，px1=0,px2=e,) ；3）即網(wǎng)中存在d 個起始數(shù)據(jù), 這就是固定基準下的經(jīng)經(jīng)典自由網(wǎng)平差典自由網(wǎng)平差。秩虧問題解決：秩虧問題解決：經(jīng)典平差（附加固定的基準條件）和偽逆平差（直接利用廣義逆求解 ）；優(yōu)缺點優(yōu)缺點：解法簡捷 ，但沒考慮到解法物理意義，不能反映真實情況。提出提出：擬穩(wěn)平差理論?！皵M穩(wěn)平差擬穩(wěn)平差”的基本思想的基本思想：考慮到監(jiān)測網(wǎng)中的點，處于不同的地質(zhì)構(gòu)造和地球物理環(huán)境，隨著時間的延伸，都可能發(fā)生變動，但是總存在相對變化小的，即相對穩(wěn)定的點。 4 4、自由網(wǎng)擬穩(wěn)平差、自由網(wǎng)擬穩(wěn)平差p我我國

15、周江文研究員針對變形監(jiān)測網(wǎng)提出了一種國周江文研究員針對變形監(jiān)測網(wǎng)提出了一種所謂擬穩(wěn)平差的自由網(wǎng)平差方法。所謂擬穩(wěn)平差的自由網(wǎng)平差方法。1、自由網(wǎng)擬穩(wěn)平差原理、自由網(wǎng)擬穩(wěn)平差原理 設(shè)不穩(wěn)定未知數(shù)x1，穩(wěn)定未知數(shù)為x2，則誤差方程為11221112121unnunuuxvbxlbblx u注意：注意：u u2 2大于大于d d，若，若u u2 2=d=d，則擬穩(wěn)平差轉(zhuǎn)化為經(jīng)典，則擬穩(wěn)平差轉(zhuǎn)化為經(jīng)典自由網(wǎng)平差。自由網(wǎng)平差。u值得注意的是：值得注意的是：1）在擬穩(wěn)平差中，穩(wěn)定點未知數(shù)需滿足：如：水準網(wǎng)穩(wěn)定未知數(shù)大于1，測邊網(wǎng)大于等于4等。2）如取 ，就是秩虧自由網(wǎng)平差；3）如取 ，就為經(jīng)典自由網(wǎng)平差。

16、2uud21,0ut u21,ud ur附加基準條件附加基準條件1 1122 212000,0txu utttxdududuu us p xpsssi即：只對相對穩(wěn)定的擬穩(wěn)點施以最小范數(shù)條件，以達到即：只對相對穩(wěn)定的擬穩(wěn)點施以最小范數(shù)條件，以達到消除秩虧，求解未知量的目的！消除秩虧，求解未知量的目的！t2s20x 附加基準即為：附加基準即為：按最小二乘原則得1 2()()0ttssttssxxttsxns sb plqns sggss其中：g是是s標準化矩陣標準化矩陣.p可見，自由網(wǎng)平差的方法分為可見，自由網(wǎng)平差的方法分為（1）經(jīng)典自由網(wǎng)平差；經(jīng)典自由網(wǎng)平差；（2 2）重心基準的秩虧自由網(wǎng)）重

17、心基準的秩虧自由網(wǎng); ; (3) (3)擬穩(wěn)平差擬穩(wěn)平差。 所遵循的原則是所遵循的原則是: :minmin0tttxxv pvx p xs p x等價于u隨著所選取基準隨著所選取基準px不同，平差準則也會變化。不同，平差準則也會變化。u一般地一般地, 自由網(wǎng)平差模型可概括為自由網(wǎng)平差模型可概括為: 1、式中px 為基準權(quán), 它不是x的先驗權(quán), x為非隨機參數(shù)。2、對于重心基準, px = e(單位陣) , 3、對于擬穩(wěn)基準,px2 = e4、 對于固定基準, px = 0,minminxttxvbxlp pv pvx p x22000xttpi 5 5、自由網(wǎng)、自由網(wǎng)s s的具體形式的具體形式

18、n 附加矩陣附加矩陣s s是根據(jù)保證消除秩虧前提計算的，即滿足是根據(jù)保證消除秩虧前提計算的，即滿足也就是求法方程系數(shù)陣地零特征值對應(yīng)的特征向量也就是求法方程系數(shù)陣地零特征值對應(yīng)的特征向量。1 1、水準網(wǎng)情況（、水準網(wǎng)情況（=1=1）11 11tts0ns 附加矩陣即為：附加矩陣即為：1210.0tuiuis xxxxx2 2、測邊網(wǎng)情況（、測邊網(wǎng)情況（=3,m=3,m為網(wǎng)中三角點數(shù)目）為網(wǎng)中三角點數(shù)目）（x x0 0,y,y0 0為點的近似坐標）為點的近似坐標）p詳細的附加條件為：詳細的附加條件為：3 20000001122101010010101tmmmsyxyxyx1100100()0mi

19、imiimiiiiixyy xx y3 3、測角網(wǎng)情況（、測角網(wǎng)情況（=4=4）0000004 211220000001122101010010101tmmmmmsyxyxyxxyxyxy附加條件句體形式為：附加條件句體形式為：110010010,0()0()0mmiiiimiiiiimiiiiixyy xx yx xy y4 4、邊角網(wǎng)情況（、邊角網(wǎng)情況（=3=3） 邊角自由網(wǎng)與測邊網(wǎng)的邊角自由網(wǎng)與測邊網(wǎng)的s s完全相同。完全相同。5 5、gpsgps網(wǎng)情況（網(wǎng)情況（=3=3）（與水準網(wǎng)情況類似）（與水準網(wǎng)情況類似）3 3100100100010010010001001001tms1110,

20、0,0mmmiiiiiixyz例：在下圖水準網(wǎng)中，觀測高差、距離和各待定點高例：在下圖水準網(wǎng)中，觀測高差、距離和各待定點高程近似值見表，分別進行下列自由網(wǎng)平差：程近似值見表，分別進行下列自由網(wǎng)平差：（1 1）以）以6 6號點為固定點的經(jīng)典自由網(wǎng)平差；號點為固定點的經(jīng)典自由網(wǎng)平差；（2 2）以重心基準的自由網(wǎng)平差（）以重心基準的自由網(wǎng)平差（p p=e=e）；）；（3 3）以）以1 1，2 2，5 5，6 6四個點為擬穩(wěn)基準的擬穩(wěn)平差，四個點為擬穩(wěn)基準的擬穩(wěn)平差， （p p=diag1 1 0 0 1 1).=diag1 1 0 0 1 1).已知數(shù)據(jù)如下： 三種不同的自由網(wǎng)平差方法結(jié)果：三種不同

21、的自由網(wǎng)平差方法結(jié)果：u說明：說明：1 1）最小二乘準則與未知參數(shù)附加的基準約束無關(guān)，最小二乘準則與未知參數(shù)附加的基準約束無關(guān)，即平差該證數(shù)即平差該證數(shù)v v不因所取基準約束變化。不因所取基準約束變化。u說明：說明：2 2）未知參數(shù)估值不同了；）未知參數(shù)估值不同了； 3 3）秩虧自由網(wǎng)平差參數(shù)范數(shù)比經(jīng)典自由網(wǎng)平差范數(shù)??；）秩虧自由網(wǎng)平差參數(shù)范數(shù)比經(jīng)典自由網(wǎng)平差范數(shù)?。?4 4）1 1，2 2，5 5，6 6擬穩(wěn)點的范數(shù)最小。擬穩(wěn)點的范數(shù)最小。u說明：說明：5 5）自由網(wǎng)在重心基準下參數(shù)具有最小跡）自由網(wǎng)在重心基準下參數(shù)具有最小跡29.4029.40；擬；擬穩(wěn)基準下僅擬穩(wěn)點的參數(shù)估計具有最小跡穩(wěn)

22、基準下僅擬穩(wěn)點的參數(shù)估計具有最小跡20.4720.47。u 歸納：歸納：1)各種自由網(wǎng)平差的殘差各種自由網(wǎng)平差的殘差v 是不變量。是不變量。2) 帶基準權(quán)的參數(shù)協(xié)因數(shù)陣的跡為最小；帶基準權(quán)的參數(shù)協(xié)因數(shù)陣的跡為最小；（說明自由網(wǎng)平差參數(shù)估計具有方差最小性，即是最優(yōu)的。）說明自由網(wǎng)平差參數(shù)估計具有方差最小性，即是最優(yōu)的。）3）估計量）估計量x是有偏的，但觀測值的估計量是是有偏的，但觀測值的估計量是最有無偏的。最有無偏的。 6 6、基準變換、基準變換相似變換相似變換對于一個自由網(wǎng)對于一個自由網(wǎng), , 選擇固定基準有很多可能。選擇固定基準有很多可能。例如水準網(wǎng)例如水準網(wǎng), , 可選網(wǎng)中任一點高程為固定

23、不變；可選網(wǎng)中任一點高程為固定不變；擬穩(wěn)基準也一樣擬穩(wěn)基準也一樣, , 可任選網(wǎng)中可任選網(wǎng)中t t2 2 ( (t t t t2 2 d d ) ) 個坐個坐標為相對穩(wěn)定點坐標；標為相對穩(wěn)定點坐標；唯重心基準只有一個。唯重心基準只有一個。（基準的選擇按實際需要基準的選擇按實際需要, , 如變形分析常用擬穩(wěn)基準、了解如變形分析常用擬穩(wěn)基準、了解gpsgps網(wǎng)測量精度常用重心基準或固定基準等。）網(wǎng)測量精度常用重心基準或固定基準等。）n 不同基準下的最小二乘解具有可變換的特性。不同基準下的最小二乘解具有可變換的特性。設(shè)x1、x2分別為不同基準下的兩個解； 則有：相減：又因：故：12nxwnxw21(

24、)0n xx0ns 1112121duduuxxsdxxs d即：d稱為轉(zhuǎn)換因子向量，可根據(jù)轉(zhuǎn)換時約束條件求一階導(dǎo)數(shù)求得！稱為轉(zhuǎn)換因子向量，可根據(jù)轉(zhuǎn)換時約束條件求一階導(dǎo)數(shù)求得！n 如將最小二乘解 變換為具有基準 的最小二乘解mintxx p x px x1 ()pttpxxptxpxxpxes s p ss p x xh xqh q h120()0()ptpxptpxttxpxttxxxxsdx p xx p sds p xs p xsdds p ss p x 則，由最小二乘解變換為最小二乘最小范數(shù)解的公式： 7 7、附有約束的自由網(wǎng)平差、附有約束的自由網(wǎng)平差自由網(wǎng)平差時自由網(wǎng)平差時,有時需要

25、對參數(shù)進行部分約束有時需要對參數(shù)進行部分約束,如測角如測角網(wǎng)網(wǎng)gps網(wǎng)中固定一條基線長度網(wǎng)中固定一條基線長度,但這種約束數(shù)尚不足但這種約束數(shù)尚不足控制網(wǎng)必要起始數(shù)據(jù)個數(shù)控制網(wǎng)必要起始數(shù)據(jù)個數(shù),稱為稱為:附有約束的自由網(wǎng)平附有約束的自由網(wǎng)平差。差。分為分為:附有約束的秩虧自由網(wǎng)平差附有約束的秩虧自由網(wǎng)平差; 附有約束的經(jīng)典自由網(wǎng)平差附有約束的經(jīng)典自由網(wǎng)平差(即：附有參數(shù)的間接平差）即：附有參數(shù)的間接平差） 附有約束的擬穩(wěn)平差。附有約束的擬穩(wěn)平差。 誤差方程和約束條件： 最小二乘準則： 組法方程： 附加如下條件：0vbxlaxbmintv pv ttnxb kb plaxb minttx xk ku稱為：附有約束的秩虧自由網(wǎng)平差的最小范數(shù)準則。另外：附有約束的擬穩(wěn)平差最小范數(shù)準則：22minttx xk kn 結(jié)論：結(jié)論：1) 自由網(wǎng)平差是附有一定基準條件的最小二乘平差自