小學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)材料：算術(shù)應(yīng)用題的本質(zhì)是數(shù)學(xué)建模

1、 小學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)材料：算術(shù)應(yīng)用題的本質(zhì)是數(shù)學(xué)建模摘要 數(shù)學(xué)有純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)兩大部分。 小學(xué)數(shù)學(xué)有數(shù)與數(shù)的運(yùn)算法則以及數(shù)學(xué)應(yīng)用兩大部分。小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題是相對獨(dú)立的， 其本質(zhì)是數(shù)學(xué)模型的建立?！皢栴}解決”的內(nèi)容比較寬泛，它具有理念改革的指導(dǎo)意義， 卻不能代替數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)。小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題要有類型的區(qū)分， 但不能“類型化”。兒童有豐富的想象力，模擬情景往往比真實(shí)情景更真切。應(yīng)用題能夠貼近學(xué)生生活的只能是少數(shù)，更多的是科學(xué)實(shí)踐型、模擬情景型的題目。但是， 我們應(yīng)該更多開拓一些新型的應(yīng)用題。 本文提供了一些參考題。引言應(yīng)用題的出現(xiàn)淵遠(yuǎn)流長。古埃及的紙草書、中國的算數(shù)書等古代數(shù)學(xué)典籍， 都是應(yīng)用題

2、的匯編。從有歷史的記載來看，算術(shù)應(yīng)用題一向是初等教育中的重要內(nèi)容。 直到第二次世界大戰(zhàn)爆發(fā)前的1930年代， 世界各國的小學(xué)數(shù)學(xué)課程，大多包括算術(shù)應(yīng)用題， 并且成為小學(xué)數(shù)學(xué)最難學(xué)習(xí)的部分之一。 20世紀(jì)中葉以后， 小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)出現(xiàn)了兩個(gè)重大的變化。 首先是代數(shù)方法逐漸取代算術(shù)應(yīng)用題。中學(xué)里學(xué)習(xí)的代數(shù)方法，較之笨重的算術(shù)方法，簡單而有效，于是代數(shù)思想方法不斷地滲透到小學(xué)數(shù)學(xué)中來， 應(yīng)用題的算術(shù)解法有所淡化。 其次是問題解決口號的提出。1980年， 美國提出“問題解決(problem solving)”的口號， 認(rèn)為解決非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，培育創(chuàng)新精神， 是數(shù)學(xué)教育的主要追求， 應(yīng)該貫穿到數(shù)學(xué)

3、教育的每一個(gè)環(huán)節(jié)之中。 小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的僵化模式， 成為改革的目標(biāo)之一。 1949年建國以來， 我國大陸地區(qū)的小學(xué)數(shù)學(xué)課程一直把小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題的教學(xué)放在重要位置。 但是， 整體上也隨著上述的兩股思潮而發(fā)生漸進(jìn)式的變化。 在21世紀(jì)初實(shí)行的全日制中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）中， “數(shù)與代數(shù)“成為小學(xué)數(shù)學(xué)的基本學(xué)習(xí)領(lǐng)域。代數(shù)，從此正式進(jìn)入小學(xué)數(shù)學(xué)范疇，數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)也大量滲入代數(shù)方法。同時(shí)，應(yīng)用題則不再成為獨(dú)立的教學(xué)板塊，而是貫穿在“數(shù)與代數(shù)”“空間與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”各個(gè)領(lǐng)域之中。但是，用代數(shù)方法完全取代算術(shù)方法是不可取、也不可能的。 算術(shù)方法有它獨(dú)特的實(shí)用價(jià)值和思維訓(xùn)練價(jià)值。 數(shù)學(xué)問題的算

4、術(shù)模型和代數(shù)模型， 各有所長， 應(yīng)該相互融合， 而不是彼此排斥。同時(shí)，“問題解決”是一個(gè)寬泛的口號， 整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)都是在“解決問題”。如果用“問題解決”來取代“算術(shù)應(yīng)用題”， 似乎偏離了“應(yīng)用”的 本意。回避“應(yīng)用題”帶來的 問題， 并不利于“應(yīng)用題”的教學(xué)改革。小學(xué)數(shù)學(xué)中文字型應(yīng)用題的求解有其特殊的規(guī)律，適當(dāng)?shù)募薪虒W(xué)， 是不可缺少的。時(shí)至今日， 用建立數(shù)學(xué)模型的觀點(diǎn)加以詮釋，是改革小學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的根本出路。一、 什么是 “小學(xué)應(yīng)用題”數(shù)學(xué)的發(fā)展有兩個(gè)原動(dòng)力， 一是要解決大自然和社會(huì)現(xiàn)實(shí)提出的數(shù)學(xué)問題，二是要解決數(shù)學(xué)內(nèi)部生成的數(shù)學(xué)問題。 前者的研究成果是應(yīng)用數(shù)學(xué)， 后者的研究成果成為純粹數(shù)學(xué)

5、。這二者相輔相成，相互滲透， 共同發(fā)展。 不過，歸根結(jié)底，社會(huì)生產(chǎn)力和文化發(fā)展的現(xiàn)實(shí)需要是數(shù)學(xué)成長的本源。 小學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)的擴(kuò)展以及相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)則， 屬于純粹數(shù)學(xué)范圍， 將這些規(guī)則和現(xiàn)實(shí)相聯(lián)系， 并應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)， 則是小學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)的范圍。數(shù)學(xué)是由問題驅(qū)動(dòng)的。小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)， 體現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生與此相關(guān)的數(shù)學(xué)思維模式。 小學(xué)的“數(shù)學(xué)應(yīng)用題”， 可以理解為：用算術(shù)方法求解的、用自然語言表達(dá)的復(fù)雜情景問題。 這里有三個(gè)要素：1. 算術(shù)方法求解（包括一些簡易代數(shù)的思考）；數(shù)學(xué)應(yīng)用是一個(gè)很大的學(xué)術(shù)領(lǐng)域。這里只研究用小學(xué)數(shù)學(xué)方法可以求解的數(shù)學(xué)問題。解小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題主要是用算術(shù)方法，目前也使用一

6、些簡易的代數(shù)思想。2. 用自然語言表達(dá)， 即用文字?jǐn)⑹龅膯栴}。這是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的主要特點(diǎn)。西方有時(shí)把小學(xué)應(yīng)用題稱作“word problem”， 即用自然語言表達(dá)的數(shù)學(xué)問題。 3. 具有復(fù)雜的情景。應(yīng)用題必須表達(dá)一種具體“情景”， 無論是體現(xiàn)生活實(shí)際的，或者合理地虛擬編制的，都必須反映一種生動(dòng)的具體情境， 不能是純粹的數(shù)學(xué)問題。情境往往有一些特定的常識性規(guī)律， 在解題時(shí)需要加以剖析和運(yùn)用。作為一種具有較高思維價(jià)值的問題，“應(yīng)用題”所呈現(xiàn)的情境， 應(yīng)當(dāng)具有挑戰(zhàn)性，不同于課本引進(jìn)新內(nèi)容時(shí)所呈現(xiàn)的簡單情景。 例如，5個(gè)學(xué)生每人有3本書，一共有幾本書？ 答案只要寫出 5 3 = 15 就是。 這也是

7、應(yīng)用性問題，卻不是我們要研究的數(shù)學(xué)應(yīng)用題。二、數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模是 20世紀(jì)下半葉， 隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展而形成的數(shù)學(xué)思想方法。 目前已經(jīng)成為數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本模式。數(shù)學(xué)模型，一般地說， 乃是針對或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)符號和語言，概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。就許多小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容來說， 本身就是一種數(shù)學(xué)模型：l 自然數(shù)是表述有限集合“數(shù)數(shù)”過程的 數(shù)學(xué)模型。l 分?jǐn)?shù)是平均分派物品的數(shù)學(xué)模型；l 元角分的計(jì)算模型是小數(shù)的運(yùn)算。l 500人的學(xué)校里一定有兩個(gè)人一起過生日， 其數(shù)學(xué)模型叫做抽屜原理。l 雞兔同籠問題的數(shù)學(xué)模型是二元一次整數(shù)方程；

8、等等。更進(jìn)一步，數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)， 則是對一種比較復(fù)雜的特定情景給出一個(gè)具體的模型。例如， 二元一次聯(lián)立方程， 是雞兔同籠問題的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的本質(zhì)是“數(shù)學(xué)建模”。以下我們就建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟， 與求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的過程做一個(gè)比較。 數(shù)學(xué)建模步驟解應(yīng)用題步驟以行程問題為例背景考察搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特征 審題 對問題設(shè)置的情景仔細(xì)揣摩體察。弄清問題的目標(biāo)。知道速度， 位移，時(shí)間的關(guān)系；適度簡化 ：如假定為勻速行駛在直線 型的道路上，等。構(gòu)作模型根據(jù)所作的假設(shè)分析對象的因果關(guān)系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個(gè)量間的等式關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。列式將問題中用自然

9、語言表述的情景，翻譯成數(shù)學(xué)語言，借助數(shù)學(xué)符號、圖象、邏輯等手段， 構(gòu)成可以反映問題本質(zhì)的算式。根據(jù)情景，尋找數(shù)量規(guī)律。 例如找出一些不變量，借以構(gòu)成數(shù)學(xué)等式。根據(jù)問題內(nèi)容，如相向而行， 還是相對而行之類概念，例如 同時(shí)啟動(dòng)相對而行時(shí)，二者相 遇時(shí)所用的時(shí)間相同等。據(jù)此列出等式：ax+bc=d。模型求解采用各種數(shù)學(xué)方法，求得滿足模型的解答。 求解對算式進(jìn)行變換和計(jì)算，求得結(jié)果。用算術(shù)方法或者代數(shù)方法， 進(jìn)行變換， 依照計(jì)算程序獲得結(jié)果， 求得解答。 如 x = (d-bc)/a。答案分析檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠裾_， 解答是否符合實(shí)際。 驗(yàn)證驗(yàn)證解答是否正確， 能否符合題意。 將x 代入原式進(jìn)行驗(yàn)算。模型改

10、進(jìn)對模型解答進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析， 反思考察解題過程中使用的 數(shù)學(xué)思想方法 總結(jié)本題的思考方法， 對行程問題的 關(guān)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行反思， 尤其是弄清在行駛變化過程中，哪些是變化的，那些是不變的。每一道小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教育價(jià)值， 在于能將情景“數(shù)學(xué)化”；即將文字的表述， 轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)符號或圖像的表示； 將蘊(yùn)藏在情景內(nèi)的數(shù)量關(guān)系列為算式；用數(shù)學(xué)演算求得算式的答案，最終通過檢驗(yàn)肯定“解答”的適切性。這些數(shù)學(xué)活動(dòng)， 為日后學(xué)習(xí)更復(fù)雜的 “數(shù)學(xué)建?！?，做好必要的準(zhǔn)備 。因此，可以說，小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)， 乃是學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)建模”的基礎(chǔ)。三、 “問題解決”與應(yīng)用題教學(xué)改革1960年代的美國新數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)，到1970年代歸于失敗

11、。當(dāng)時(shí)提出的 口號叫做“回到基礎(chǔ)”。 又過了10年，美國數(shù)學(xué)教育界覺得僅僅強(qiáng)調(diào)“打基礎(chǔ)”是不夠的，因而在1980年提出了“問題解決”的口號，意在提倡“探究”性的思考，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思考的能力。2008年， 美國總統(tǒng)授命組成的 “數(shù)學(xué)咨詢委員會(huì)”， 又提出“成功需要基礎(chǔ)（foundations for success）”的口號。這是美國式的“折騰”。 因此，“問題解決”， 是一個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)教育的導(dǎo)向性口號，并非針對應(yīng)用題改革而提出。說起來很簡單，所謂“問題解決”， 專指解決“非常規(guī)問題”。 目的是為了培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和創(chuàng)新精神。在學(xué)生的認(rèn)知水平上， 要解決非常規(guī)問題，沒有現(xiàn)成數(shù)學(xué)問題求解模式可以模

12、仿，需要獨(dú)立思考， 通過自己的探索獲得解決問題的途徑。這是具有一定創(chuàng)新意義的數(shù)學(xué)思維過程。但是，問題解決并不神秘。實(shí)際上，數(shù)學(xué)是問題驅(qū)動(dòng)的， 問題是數(shù)學(xué)的心臟，解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本組成部分，學(xué)生要解題練習(xí)， 考試用考題呈現(xiàn)，這些本來都是常識。常規(guī)問題也是重要的。沒有常規(guī)， 哪里來非常規(guī)？不會(huì)解常規(guī)題， 怎會(huì)解非常規(guī)題？ 為了打基礎(chǔ)， 不得不多次重復(fù)一些看起來簡單的問題。所有的學(xué)問都有基本功。 例如學(xué)英文， 要背單詞；彈鋼琴， 要先學(xué)練習(xí)曲；學(xué)舞蹈，要練功； 要當(dāng)兵， 先得會(huì)立正、稍息、走步。 輕視常規(guī)問題， 想一步登天，是不切實(shí)際的幻想。 求解常規(guī)問題和非常規(guī)問題， 要同樣重視。 以為解常

13、規(guī)題的教學(xué)可以不必花力氣的想法是不對的。 下面， 用數(shù)學(xué)問題解決的觀念， 來分析我國的應(yīng)用題教學(xué)。我國在常規(guī)應(yīng)用題的教學(xué)上， 成績很好。 例如用分?jǐn)?shù)求解一些現(xiàn)實(shí)生活中“平均分配物品”的問題，加減乘除四則運(yùn)算的一步或兩步應(yīng)用題， 掌握得很不錯(cuò)。但是， 在提出問題， 發(fā)展問題， 靈活地處理應(yīng)用性問題上面， 比起歐美諸國的教學(xué)， 有一些弱點(diǎn)【2】。在非常規(guī)的應(yīng)用問題教學(xué)上，我國積累了一些按照問題情景分類的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。例如行程問題、工程問題等等， 有專門的訓(xùn)練， 基本面也是好的。 但是， 總體上較窄、較難， 較偏。 總之，“問題解決”作為一種數(shù)學(xué)教育理念， 有助于應(yīng)用題教學(xué)的改革。 但是， 用“問題解決

14、”取代“應(yīng)用題教學(xué)”， 就會(huì)失于偏頗。 正如， 學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)， 有助于理解自然數(shù)。 但是不能用分?jǐn)?shù)教學(xué)取代自然數(shù)教學(xué)， 道理是 一樣的。在 “問題解決”口號的 推動(dòng)下，國外有許多好的數(shù)學(xué)應(yīng)用題。例如，弗賴登塔爾就有一個(gè)經(jīng)典的“巨人手印問題”：“昨夜外星人訪問我校， 留下了一個(gè)巨大的手印， 今夜他還要來，試問： 我們給他坐的椅子應(yīng)該有多高？他用的新鉛筆應(yīng)該要多長？ 這個(gè)題目好懂、有趣自不必言， 尤其是體現(xiàn)比例的思想， 通過測量兩只手大小的比值， 將比值用于設(shè)計(jì)椅子高度和鉛筆長度， 這是比、比例、相似等數(shù)學(xué)本質(zhì)的體現(xiàn)。問題要求學(xué)生進(jìn)行操作， 測量， 更是一個(gè)絕好的數(shù)學(xué)活動(dòng)。這樣的問題， 我們還設(shè)計(jì)得

15、太少。 僅僅停留在行程問題等類別上， 我們的應(yīng)用題范圍就太窄了。新的課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施以來， 在這方面有許多改進(jìn)， 應(yīng)該繼續(xù)努力。下文還會(huì)涉及。四、應(yīng)用題要有類型， 但是不要“類型化”小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題可以有三種分類。1. 按數(shù)學(xué)模型分類； 隨機(jī)模型， 統(tǒng)計(jì)模型；四則運(yùn)算模型； 分?jǐn)?shù)、小數(shù)模型，一元一次方程模型；二元一次整數(shù)方程模型等等。2. 按情景熟悉程度分類。 如日常生活情景模型， 模擬現(xiàn)實(shí)情景模型，科學(xué)技術(shù)模型等等3. 按特定情境的數(shù)量關(guān)系分類。如行程問題， 工程問題， 流水問題，折扣問題等等，第一、第二兩種分類待后文涉及。這一段， 我們只討論第三種分類。長期以來，為了強(qiáng)調(diào)某種數(shù)量關(guān)系的理解，我們

16、常常強(qiáng)化某種類型問題的解題方法。行程問題，工程問題等等，弄得非常復(fù)雜，一直是小學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)， 也一直為大家所詬病。近年來， 則索性一刀砍掉，全盤否定。不過，進(jìn)行這樣的分類是正常現(xiàn)象。 在微積分課程里要討論瞬時(shí)速度問題， 切線問題， 曲邊梯形問題； 微分方程課程里有熱傳導(dǎo)方程， 電磁波方程； 中學(xué)數(shù)學(xué)也要研究拋物問題、等周問題，投影問題， 擲骰子問題等。 將一類情景中發(fā)生的問題給以特殊的名稱。 未嘗不可。 但是， 作為一個(gè)研究領(lǐng)域來說，上述的問題， 都只是一個(gè)名詞， 便于稱呼而已， 并非一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域。比如行程問題， 盡管題目花樣翻新， 也可以出得很難，但不過就是 s = vt 這樣的數(shù)

17、量關(guān)系的各種不同的變式而已。宏觀地看， 沒有單獨(dú)設(shè)立一個(gè)數(shù)學(xué)課題的必要。淡化這樣的分類， 是必然的趨勢。但是也不能走向另一個(gè)極端：不講類型。有的地方不準(zhǔn)叫“應(yīng)用題”， 今天學(xué)“鉛筆有幾枝”，明天學(xué)“燕子飛走了”， 不做一些基本的分類和概括， 實(shí)際上是作繭自縛， 矯枉過正的表現(xiàn)。實(shí)行社會(huì)主義市場經(jīng)濟(jì)模式是中國的國策， 讓孩子們了解經(jīng)濟(jì)學(xué)的一些初級術(shù)語和規(guī)律，是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的有機(jī)組成部分。諸如什么是利息、利潤、速度、效率等概念，是小學(xué)數(shù)學(xué)的任務(wù)，責(zé)無旁貸。無論如何， 以下的7種類型是必須進(jìn)行正面提出，讓學(xué)生認(rèn)真學(xué)習(xí)的 r. mayer: frequency norms and structural

18、 analysis of algebra story problems into families, categories and templates. . 1981. 10. 135-175. 轉(zhuǎn)引自郭兆明等：代數(shù)應(yīng)用題涂飾研究概述。 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)2007年第四期。行程問題 路程 = 速度時(shí)間工程問題 工作量 = 工作時(shí)間 工作效率價(jià)格問題 總價(jià)格 = 單價(jià) 數(shù)量利息問題 利息 = 本金 利率利潤問題 利潤 = 成本 利潤率折扣問題 金額 = 價(jià)格 折扣率百分?jǐn)?shù)問題 數(shù)量 = 總量 百分比我們的小學(xué)應(yīng)用題， 必須講解這些類型。 這些概念，是生活需要的常識， 又是語文、社會(huì)等其他學(xué)科不會(huì)詳細(xì)涉

19、及的。 一種異化的做法是，按照問題情景，把應(yīng)用題類型固化， 專對一類情景歸納公式， 而且憑強(qiáng)記、快做爭取考試成績， 就把路走歪了。例如，當(dāng)學(xué)習(xí)完“梨樹有20棵，蘋果樹比梨樹多8棵，蘋果樹有多少棵？”，老師強(qiáng)調(diào)：看到“多”就想到“加”，于是，當(dāng)學(xué)生看到“梨樹有20棵，比蘋果樹多8棵，蘋果樹有多少棵？”學(xué)生總是先想到“加法”，結(jié)果錯(cuò)了。當(dāng)學(xué)習(xí)完“科技書有20本，故事書比科技書的2倍還多2本，故事書有多少本”，老師強(qiáng)調(diào)：看到“倍”想到“乘”，看到“多”想到“加”。于是，當(dāng)學(xué)生看到“科技書有20本，比故事書的2倍還多2本，故事書有多少本”時(shí)，學(xué)生總是先想到用“乘加”，結(jié)果又錯(cuò)了。以上是簡單的錯(cuò)誤，都來

20、自固化數(shù)學(xué)的某種模型。講死了，思維變得機(jī)械了。要類型， 但是不要“類型化”。這就是我們的結(jié)論。五、關(guān)于應(yīng)用題教學(xué)與聯(lián)系學(xué)生生活實(shí)際 顧名思義，數(shù)學(xué)應(yīng)用題要有用， 自然要聯(lián)系實(shí)際情境。能把學(xué)生自己的生活體驗(yàn)融進(jìn)數(shù)學(xué)課堂， 是大家的共同追求。問題在于，學(xué)生的生活情境畢竟是有限的。應(yīng)用題中能夠直接和學(xué)生的生活相聯(lián)系的只能是少數(shù)。 應(yīng)用題教學(xué)中， 大量使用的是科學(xué)模型，例如，行程問題中速度、時(shí)間路程之間的關(guān)系， 乃是物體運(yùn)動(dòng)的物理模型。另一種是模擬現(xiàn)實(shí)模型。比如雞兔同籠問題， 完全是一種假想的模擬情景。兒童有豐富的想象力，模擬情景往往比真實(shí)情景更真切。一個(gè)不爭的事實(shí)是， 現(xiàn)在的孩子愛看動(dòng)畫片， 那里出

21、現(xiàn)的都是模擬的假想的情景。“孫悟空”、“大灰狼”、“圣誕老人”、“白雪公主”等等都是虛擬的。數(shù)學(xué)應(yīng)用題中，著名的雞兔同籠問題就是虛擬情境，比有些矯揉造作的 “現(xiàn)實(shí)情境”要高明得多。記得1930年代， 任何小學(xué)數(shù)學(xué)教材里都有和尚饅頭問題：“一共有100個(gè)和尚和100個(gè)饅頭。 大和尚一人吃三個(gè)饅頭， 小和尚三個(gè)人吃一個(gè)饅頭， 問各有大小和尚幾人”。這是很有童趣的問題，現(xiàn)在卻不見了。 很是遺憾。相聲演員把小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)現(xiàn)狀編成段子：有一個(gè)水池，打開進(jìn)水管注滿水池要3小時(shí)，打開出水管放出整池水要2小時(shí)，現(xiàn)在同時(shí)打開進(jìn)水管和出水管，要多少時(shí)間才能把一池水放完？日常生活中那會(huì)同時(shí)打開出水管和進(jìn)水管（除

22、非忘記了），相聲諷刺就是這種情形。但是作為一種數(shù)學(xué)模型，在現(xiàn)實(shí)生活中還是相當(dāng)多的，如：飛機(jī)的能源消耗與補(bǔ)充、排隊(duì)進(jìn)場與出場、草場里草的生長與割去、人體的新陳代謝、社會(huì)人口的增減、湖泊的污染與治理，家庭的收入與支出等等，這些現(xiàn)象都是正、反兩個(gè)方面同時(shí)進(jìn)行著的，都類似于水池同時(shí)進(jìn)水與出水的情景。 這種數(shù)學(xué)模型反映了一種動(dòng)態(tài)平衡的問題。 小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題，能夠和學(xué)生生活情境相聯(lián)系的多半涉及 “買賣關(guān)系”。我們應(yīng)該充分利用。 此外， 也應(yīng)努力開辟一些小學(xué)生喜聞樂見的現(xiàn)實(shí)情景，本文的最后部分將介紹一些國內(nèi)外的一些優(yōu)秀實(shí)例。六、小學(xué)數(shù)學(xué)中的算術(shù)模型與代數(shù)模型 小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的求解， 可以用算術(shù)方法和代數(shù)方法

23、分別建立問題的算術(shù)模型和代數(shù)模型。從算術(shù)向代數(shù)過渡，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中極為重要的轉(zhuǎn)變階段算術(shù)中的基本對象是數(shù)，包括數(shù)的表示、數(shù)的意義、數(shù)之間的關(guān)系、數(shù)的運(yùn)算等。算術(shù)模型是一串“數(shù)字”的運(yùn)算流程。代數(shù)中的基本對象除了數(shù)，還出現(xiàn)了更具廣泛意義的基本對象：符號。代數(shù)模型是方程或函數(shù)， 包含未知數(shù)符號的等式關(guān)系。 代數(shù)建模的核心思想是“文字參與運(yùn)算”。 一個(gè)習(xí)慣的說法是：“代數(shù)就是用文字代表數(shù)”。 其實(shí)不然。 小學(xué)里講乘法的交換律， 就寫了ab =ba, 這里， 用a,b代表任意的自然數(shù)， 可是和代數(shù)無關(guān)。代數(shù)的實(shí)質(zhì)是用文字代表未知數(shù)，而且由文字代表的“未知數(shù)”和已知數(shù)可以進(jìn)行運(yùn)算，即進(jìn)行“式”的運(yùn)

24、算。學(xué)生從“數(shù)的運(yùn)算”過渡到“式的運(yùn)算”， 好象人發(fā)明了汽車那樣，運(yùn)行速度大幅提高。 代數(shù)運(yùn)算的通性通法， 取得了極高的思維效率。但是， 人不能每時(shí)每刻都在坐車， 走路仍然是必須的、 基本的。這就是說，算術(shù)方法依然有其重要的存在價(jià)值。1. 算術(shù)建模與代數(shù)建模的區(qū)別在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，用列方程的方法解應(yīng)用題和用算術(shù)方法解應(yīng)用題，都以四則運(yùn)算和常見的數(shù)量關(guān)系為基礎(chǔ)，都需要分析題里的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)四則運(yùn)算的意義解答，這是它們的共同之處。但用代數(shù)的方法解決問題和用算術(shù)的方法是不同的建模過程。讓我們看下面的例子：例1 用100元錢買8元一本的書和4元一本的書共17本，你知道兩種書各有多少本嗎？（1）利用算

25、術(shù)的方法：解法一：(817100)(84)=364=9，17-9=8解法二：(100417)(8-4)=324=8，17-8=9解法三：若100元錢都買4元一本的書，可以買1004=25（本）少買2本4元的書，就可以買一本8元的書，因此可以列出如表1所示的數(shù)目與價(jià)值關(guān)系表只有買4元的書9本，8元的書8本才合題意（2）利用代數(shù)的方法，可以設(shè)買8元一本的書x本，4元一本的書y本，列方程組利用消元法，解得x=8，y=9這兩種方法是有區(qū)別的：（1）用算術(shù)的方法尋求問題的結(jié)果，是從具體問題的已知數(shù)出發(fā)，通過對已知數(shù)或計(jì)算產(chǎn)生的中間數(shù)進(jìn)行一系列的計(jì)算而達(dá)到問題的解，并不將問題形式化這里，“=”用來表示計(jì)算

26、結(jié)果利用算術(shù)的方法，思考的過程往往是從已知數(shù)出發(fā)，最后達(dá)到未知數(shù)。算術(shù)方法建立在數(shù)的運(yùn)算之上。（2）用方程的方法，則是從設(shè)立未知數(shù)出發(fā)， 根據(jù)未知數(shù)所應(yīng)滿足的條件，把問題表示為含有未知量的等式關(guān)系（建立數(shù)學(xué)模型）。然后利用等式的性質(zhì)對方程進(jìn)行恒等變形，在變化的過程中始終保持方程兩端對稱的等量關(guān)系，利用程序化的方法求得x=8從表示等量關(guān)系、保持等量關(guān)系，到求得方程的解，體現(xiàn)了方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)用方程的方法解決問題，建立在“式”的運(yùn)算之上。打個(gè)比方， 如果未知數(shù)在對岸， 那么算術(shù)方法， 好象摸著石頭過河找到未知數(shù)， 代數(shù)方法好象用繩索將對岸的未知數(shù)捆好拉過河來， 二者的思考方向剛好相反。（3）從解決問

27、題方法多樣性的角度來看，算術(shù)的方法、列表的方法都不失為解決問題的途徑但是從思維發(fā)展的角度來說，代數(shù)的思考是在抽象層面上的思考，代數(shù)的方法具有一般性，是通性通法，屬于較高層次的思維按照維果茨基（vygotsky，1962）的說法，代數(shù)對算術(shù)就像書面語言對口頭語言因此，我們的教學(xué)應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從算術(shù)的思考逐步地過渡到代數(shù)的思考，逐步地從非形式化的水平上升到形式化的水平。2 算術(shù)方法在應(yīng)用題求解中的獨(dú)特作用在面對現(xiàn)實(shí)問題時(shí)， 我們首先使用算術(shù)方法思維。 簡單的問題用算術(shù)模型就解決了。 例如我們到商場購物，自然用算術(shù)方法計(jì)算付款找零。這是一切數(shù)學(xué)問題求解的基礎(chǔ)。 對于比較復(fù)雜的應(yīng)用性問題，代數(shù)方法開始顯

28、示優(yōu)勢， 但是算術(shù)方法在訓(xùn)練學(xué)生獨(dú)特思維，承擔(dān)分析數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)方法上，其作用仍然不可替代。以大家熟悉的我國古代數(shù)學(xué)名題“雞兔同籠”為例來說明?！敖裼须u兔同籠，上有35頭，下有94腳，問雞兔各幾何?”這一問題的代數(shù)模型是解二元一次聯(lián)立方程。 小學(xué)生不可能用這樣高年級才能掌握數(shù)學(xué)知識來解題。 即使成人已經(jīng)掌握了求解聯(lián)立方程的知識和技能， 也喜歡用算術(shù)模型來求解。國內(nèi)外許多數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)教育家對中國的古算題雞兔同籠問題情有獨(dú)鐘。波利亞在其名著數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)中寫道：“雞兔同籠問題曾在好幾個(gè)世紀(jì)里引起了人們的興趣，今天它還會(huì)引起一些聰明小朋友的興趣”他列舉了雞兔同籠問題的四種解法，并特別欣賞“金雞獨(dú)立”這一

29、解法。金雞獨(dú)立解法的思路是，如果籠中的雞全部獨(dú)立單腳著地，做“金雞獨(dú)立”狀，而這時(shí)籠中所有兔也學(xué)雞立起前兩腳而只有后兩腳著地，那么這時(shí)，地上的腳比原先少了一半，只有47只，35個(gè)頭。為什么有47只腳在地上呢?一只雞對著一只腳著地，而這時(shí)一只兔卻對著兩只腳著地。每多一只腳，說明就有一只兔。原來有(4735=)12只兔，雞就有(3512)23只了。有種設(shè)想是， 完全拋棄算術(shù)方法解應(yīng)用題，一開始就向小學(xué)生介紹方程解法。 事實(shí)證明，這樣學(xué)習(xí)的代數(shù)將成無源之水！正如雙腳走路是基礎(chǔ)， 駕駛汽車不能取代走路。 你總不能把車停在床邊。 你總要走到車庫里去嘛！實(shí)際上，列方程時(shí)的數(shù)學(xué)思維， 主要還是用的算術(shù)方法。

30、沒有算術(shù)的第一步， 就難有代數(shù)的第二步。如果使得算術(shù)與代數(shù)完全脫離，使得學(xué)生沒有對比，看不出算術(shù)的缺點(diǎn)和代數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，體會(huì)不到代數(shù)方法的優(yōu)越性，那么代數(shù)也是很難學(xué)好的。七、 小學(xué)數(shù)學(xué)里的三種基本代數(shù)模型 小學(xué)里的數(shù)學(xué)應(yīng)用題的本質(zhì)， 在于建立一類特殊的數(shù)量關(guān)系。 體現(xiàn)這些數(shù)量關(guān)系的模型， 是許多彼此類似的現(xiàn)實(shí)問題或者具體問題的數(shù)量概括。 小學(xué)里的數(shù)學(xué)知識有限， 沒有乘方、開方， 指數(shù)、對數(shù)、 三角比等概念。因此，從代數(shù)和函數(shù)的觀點(diǎn)來看， 所涉及的數(shù)學(xué)模型都是“線性關(guān)系”， 和“反比關(guān)系”。 即問題中的未知量或者自變量x都是一次的，或者是線性的正比例關(guān)系， 或者自變量x出現(xiàn)在分母上， 呈現(xiàn)反比例關(guān)系

31、。歸納起來，小學(xué)應(yīng)用題的代數(shù)型的數(shù)學(xué)模型，主要有以下三種。1 線性組合式。 ax + by = c, 其中5 個(gè)不同的量，有些已知， 有些未知， 通過各種不同的組合形成具體問題的數(shù)學(xué)模型。2 一次函數(shù)式。 s = vt 這是反映速度、時(shí)間、距離關(guān)系的行程問題， 單位產(chǎn)量、時(shí)間數(shù)、總產(chǎn)量之間關(guān)系問題等的模型。當(dāng)未知數(shù)于分母地位，y = a/x , 時(shí)引發(fā)的數(shù)量關(guān)系，是線性函數(shù)式的反用。 3 倍數(shù)比例式。數(shù)目的擴(kuò)大縮小，本質(zhì)上是乘除關(guān)系， 但是以正反比例的方式呈現(xiàn)， 如工程問題等。各種小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題所使用的數(shù)量關(guān)系， 無非是這些關(guān)系的特殊形式， 以及各種基本關(guān)系的組合和變式。 （一） 線性組合式的

32、模型 形如 ax +by =c 的模型， 運(yùn)用很廣泛。我們分成幾個(gè)層次來認(rèn)識。 1 作出乘積ax 的歸一模型看以下的三個(gè)例子：（1）一輛客車2小時(shí)行駛180千米，照這樣計(jì)算，5小時(shí)行駛多少千米？（2）3瓶飲料27元，5瓶這樣的飲料要多少元？（3）旅游紀(jì)念品廠3小時(shí)生產(chǎn)60個(gè)產(chǎn)品，照這樣計(jì)算，8小時(shí)可以生產(chǎn)多少個(gè)產(chǎn)品？此例通過先后安排三個(gè)不同問題的解決，試圖引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)各個(gè)問題之間的異同，不同的數(shù)量關(guān)系，（分別從單價(jià)數(shù)量總價(jià)、速度時(shí)間路程和工作效率工作時(shí)間工作總量來描述）卻有相同的問題結(jié)構(gòu)，有同樣的問題解決的策略，都要先求出單一量，再根據(jù)數(shù)量求出相應(yīng)的總量，也就是初步構(gòu)造一個(gè)“歸一”的模型。 這

33、三個(gè)問題的模型都是作乘積 ax ， 問題在于a怎樣確定。 三個(gè)問題的答案分別是 180/2； 27/3； 60/3。 小學(xué)生不知道“單位”時(shí)間， 單位產(chǎn)量， 單位工時(shí)的概念， 所以覺得困難。我們就要給予單獨(dú)的 “歸一”訓(xùn)練，掌握這一乘積的取得方法。應(yīng)用題分散教學(xué)必須有些小集中。復(fù)雜的歸一方法， 也用于非常規(guī)數(shù)學(xué)問題， 屬于“問題解決”的范圍。 但其模型， 仍是線性組合。問題1：小瓶飲料90克，倒進(jìn)空瓶占3格。大瓶飲料300克，倒進(jìn)空瓶（8格）裝得下嗎？ （每一格質(zhì)量相等）學(xué)生思考后，出現(xiàn)了不同的解答方法： 生1：9038240（克），2408；裝不下。生3：300903（倍）30（克）；339

34、（格），98；裝不下。教師引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)解決方法的共同點(diǎn)：通過不同的方法，得到了相同的結(jié)果，雖然方法不同，但都是先求出每格裝多少？也就是都是應(yīng)用了歸一的模型方法。即便是：最后一種方法沒有求出一格是多少，但實(shí)質(zhì)上思考過程中學(xué)生把三格當(dāng)作一份來思考了。某種意義上來說也是“歸一”。問題2：組織課外實(shí)踐活動(dòng)：怎樣能知道打開一個(gè)水龍頭1個(gè)小時(shí)會(huì)流出多少水？教師引導(dǎo)：總不能在家里放1小時(shí)水然后進(jìn)行測量吧，有學(xué)生迫不及待：開1秒鐘就夠了。生補(bǔ)充：那么快，來得及嗎？生：先放1分鐘，然后測量出有多少克水，然后再求出1小時(shí)的水量；生：15秒也可以，先求出每秒鐘放多少克水，或者乘4先求出1分鐘的水量，然后求出1小時(shí)的水量

35、；生：我們家附近有游泳池，他們本來就要放水的，并且一次可能有很多水籠頭開著，還要放幾小時(shí)呢，我去問一下，如果知道2小時(shí)放多少，那也能知道1小時(shí)的水量。學(xué)生在解決問題的過程中，對于歸一的理解就比較靈活了。根據(jù)實(shí)際情況1可能是1秒，是1分，是1時(shí)，也可能是15秒不變的是歸一模型。2 兩積之和的模型 小學(xué)數(shù)學(xué)里， 大量出現(xiàn) ax + by 的模型。 到商場購物， 買兩樣?xùn)|西， 單價(jià)為 x,y. 數(shù)量分別是 a,b 那么總付款數(shù)就是ax + by。 雞兔同籠里的代數(shù)關(guān)系也是 （x,y分別是雞數(shù)和兔數(shù)） 2 x + 4y = 總腳數(shù) x+y = 總頭數(shù) 在高等數(shù)學(xué)中， 向量的數(shù)量積也是這樣的形式。3兩商

36、之差的模型（1）甲車4小時(shí)行駛600千米，乙車5小時(shí)行駛500千米，甲車每小時(shí)比乙車多行駛多少千米？（60045005）（2）玩具加工車間工作時(shí)間5小時(shí)，甲車間生產(chǎn)了300個(gè)玩具，乙車間生產(chǎn)了280個(gè)玩具，甲車間每小時(shí)比乙車間要多多少個(gè)玩具？（30052805）（3）有一個(gè)皮鞋店，原來計(jì)劃12天生產(chǎn)120雙皮鞋，實(shí)際10天完成，實(shí)際每天比計(jì)劃多多少雙？（1201012012）（4）有一個(gè)煤礦，原來計(jì)劃上半年66萬噸，實(shí)際每個(gè)月比計(jì)劃多2.2萬噸，實(shí)際多少月完成？（66x6662.2）（5）有一筆錢，可以買奶糖5千克，如果買單價(jià)貴2元的棒棒糖就要少買1千克，這筆錢有多少元？ 當(dāng)看到這些應(yīng)用問題的

37、時(shí)候，要求學(xué)生能夠去除一些非本質(zhì)的屬性，觸及數(shù)量之間的基本結(jié)構(gòu)：兩商之差。無論是速度、單價(jià)、還是工作效率，上述三個(gè)問題在代數(shù)思維的訓(xùn)練基礎(chǔ)上，其數(shù)學(xué)模型都是abcdf。兩商之差的模型， 從數(shù)學(xué)上看， 依然是線性組合的樣式（系數(shù)是分?jǐn)?shù)）， 只不過求單位時(shí)用除法，比較大小時(shí)用減法而已。 （二） 一次函數(shù)式的數(shù)學(xué)模型 小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最令人頭疼的是行程問題。 但是行程問題的數(shù)學(xué)模型無非是 s = v t這樣的函數(shù)關(guān)系， 以及它們的組合。以下是一個(gè)比較復(fù)雜的行程問題。 例 甲乙兩車同時(shí)分別從東西兩站出發(fā)對開在相距中點(diǎn)6千米處相遇，巳知乙車速度是甲車速度的56求兩站相距多少千米?這道應(yīng)用題既沒有給出其中

38、一車的具體速度也沒有給出兩車的運(yùn)行時(shí)間，題中給出的兩個(gè)條件似乎沒有什么關(guān)系。 但是，用s =vt的模型表示甲乙兩車， 就可以看得比較清楚：甲車 s1 = v1 t1;乙車：s2 = v2 t2 ；在相遇處， t1 = t2 ， 所以s2/ s1= v2 / v1 = 5/6。 （*）但是 相距中點(diǎn)處相遇， 意味著甲車比乙車多走了6千米的2 倍（即 12 千米）， 于是s1 - s2 = 12 。將（*）代入得 s1 1- （5/6）= 12， 求得， s1 = 72，s2 = 60。 兩站距離為 132 千米。這種代數(shù)方法的建模， 是一種普遍適用的通性通法。現(xiàn)在再來看這種代數(shù)模型的算術(shù)解法的步

39、驟。1 根據(jù)乙車速度是甲車速度的56，那么兩車從開始行駛到相遇時(shí)行駛的時(shí)間相同，所以它們行駛的速度比就是行駛的路程比(將乙車速度是甲車速度的56轉(zhuǎn)化為5：6)；2 這樣可知甲乙相遇時(shí)，甲車行駛了全程的611，而乙車行駛了全程的511由此可知甲車比乙車多行駛了全程的(6115l1)題中相遇點(diǎn)距中點(diǎn)6千米，實(shí)際上就是甲車比乙車多行駛了(6x2)千米，如下圖可清楚的表達(dá)出來3列式為（62）（ = 132千米。對于算術(shù)解法，畫線段圖可以把問題的內(nèi)容具體化、形象化，對我們理解題意，明確數(shù)量關(guān)系，理清解題思路，十分有益。 如果比較這兩種方法， 自然是代數(shù)方法比較自然，容易理解。因此， 代數(shù)方法逐漸滲入小學(xué)

40、， 是不可阻擋的趨勢。 以小學(xué)6年級學(xué)生的認(rèn)知水平， 少量的符號運(yùn)算是不難理解的。 當(dāng)然， 把圖畫出來， 再用代數(shù)方法解， 將會(huì)更加有效。 （三） 倍數(shù)比例式模型 小學(xué)數(shù)學(xué)的乘法和除法， 其實(shí)就是倍數(shù)的問題， 乘大于1正整數(shù)是放大， 除大于1的正整數(shù)是縮小。 乘一個(gè)正分?jǐn)?shù)， 就是放大“分子”倍， 縮小“分母”倍。比例式 a/b = c/d 是普遍出現(xiàn)的形式。例1 一個(gè)工程， 甲隊(duì)工作 5天完成， 若由乙隊(duì)工作， 7天完成， 若甲乙兩隊(duì)一起工作， 幾天完成？ 這是典型的工程問題。算術(shù)解法是先用歸一法， 得到甲乙兩隊(duì)每天分別完成 1/5和1/7。 若一起合作。 每天完成（1/5+ 1/7）， 于是

41、答案是 1 （1/5 + 1/7） = 12/35 天完成。 代數(shù)模型是: 設(shè)x是合作完成天數(shù)， 則有 （1/5）x + (1/7) x = 1, 于是 x = 12/35. 兩種解法的思路相同，難易相仿。代數(shù)模型還是線性組合式， 不過用了分?jǐn)?shù)。 以下的例子則要使用比例。例2 :某班上午缺席人數(shù)是出席人數(shù)的1/7,下午因又有一人請假，故缺席人數(shù)是出席人數(shù)的1/6，此班有多少人？這一問題的代數(shù)模型是: 設(shè)x、 y 分別是上午缺席人數(shù)和出席人數(shù)， 那么我們有： x/y = 1/7， (x+1)/ (y-1) = 1/6，用y =7x 代入得 7x 1 = 6x +6， 知道 x =7, 于是 x

42、+ y = 56。我們再看算術(shù)解法。分析：因?yàn)樯舷挛绯鱿藬?shù)起變化，解題遇到困難，對兩個(gè)關(guān)系作恒等變形：上午缺席人數(shù)是全班人數(shù)的1/（71）=1/8,下午缺席人數(shù)是全班人數(shù)的1/（61）=1/7,這樣，就能很快發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)關(guān)系：1/7和1/8的差是由于請假一人造成的，故全班人數(shù)為1(1/7-1/8)=56（人）。這里的算術(shù)解法的特殊性和技巧性都太強(qiáng)， 超出一般小學(xué)生的思維能力。簡單的分?jǐn)?shù)模型或者是簡單的比例模型，也可能演繹出一些有挑戰(zhàn)性的問題。例3 俄羅斯的古代名題：一個(gè)雇工每年的工錢是12盧布加上1件長袍，再工作7個(gè)月后，他離開的時(shí)候雇主恰好付給他1件長袍和5件盧布，這件長袍的價(jià)格是多少？（1

43、2x）7/125x，實(shí)質(zhì)就是分?jǐn)?shù)模型或者比例模型的變式。從某種角度看來，如果用數(shù)學(xué)模型的方法來解決這些問題，自然也就不難了。此外， 還有一些特殊的數(shù)學(xué)模型。例：某小組有8個(gè)同學(xué)，放假時(shí)一一握手告別，每兩人都握手一次，而且只握手一次，問共握手多少次手？符合等差數(shù)列的模型，因此可以用相應(yīng)的方法求出結(jié)果：765128次。八、 一些優(yōu)秀的新型的小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題這里， 我們介紹一些國內(nèi)外一些優(yōu)秀的數(shù)學(xué)應(yīng)用題的設(shè)計(jì)。例1 freudenthal經(jīng)典情景：巨人的手（通過“量”掌握比例的數(shù)學(xué)本質(zhì)）黑板上留下巨人的手印， 請你為巨人設(shè)計(jì)巨人使用的書籍、桌子和椅子的尺寸。 活動(dòng)設(shè)計(jì)： 1。 用自己的手和巨人的手相比

44、。 2。 定下“比值” 3。 量自己的書、桌子、椅子尺寸 4。 用比例放大 過去總是用“照片放大”、“地圖比例尺”等靜態(tài)的 觀察理解“比例”。 這里的 實(shí)例， 則用學(xué)生自己的活動(dòng)， 獲得比例的 真實(shí)感受。 不過，“外星人”依然是 虛擬的存在。 例2 （荷蘭）甲離學(xué)校10公里， 乙離甲3公里， 問乙離學(xué)校幾公里？本題訓(xùn)練學(xué)生的表示能力。首先要問，甲、乙、學(xué)校在一條直線上？如果在一條直線上， 答案有兩個(gè)。 如果不在一條直線上， 答案無限多， 但都位于一個(gè)圓上。 例3 （日本）設(shè)計(jì)一花壇， 使它的面積為矩形場地的一半。要求美觀。這是數(shù)學(xué)和藝術(shù)相結(jié)合的開放題。 開放度極大。1993年， 國際數(shù)學(xué)教育心

45、理學(xué)組織（pme）在日本舉行時(shí)，日本的一堂公開課上的就是這內(nèi)容。日本學(xué)生當(dāng)堂有13種解答。此題可以用作考題。 例如，給出不同的5種設(shè)計(jì)， 每種2分。例4 身份證、書號、超市商品號的最后一位是檢驗(yàn)碼（可以算出來）。 現(xiàn)在是 數(shù)碼時(shí)代。 學(xué)生生活實(shí)際中包括“數(shù)碼”分析。以下是身份證第18位檢驗(yàn)碼的計(jì)算方法。ai:表示第i位置上的身份證號碼數(shù)字值wi:表示第i位置上的加權(quán)因子十七位數(shù)字本體碼加權(quán)求和公式（1）s = sum(ai * wi), i = 0, . , 16 ，先對前17位數(shù)字的權(quán)求和 wi: 7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 4 2 （2）計(jì)算用11除所得

46、余數(shù)y： y = mod(s, 11) （3）通過模得到對應(yīng)的校驗(yàn)碼y:012345678910校驗(yàn)碼10x98765431 舉例如下：北京市朝陽區(qū): 11010519491231002x7+9+0+5+0+20+2+9+24+27+7+18+30+5+0+0+4=167. 167除以11， 余2， 對應(yīng) x。例5 （美國）瓷磚數(shù)。這是美國2000年數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的一個(gè)題目。已經(jīng)知道游泳池內(nèi)部的長度l和寬度w （都是自然數(shù)）， 用邊長為1的瓷磚圍成邊， 需要都少塊瓷磚？ 例6 算法設(shè)計(jì)。有一隊(duì)士兵要過河，但當(dāng)時(shí)只有一條小船，上面有兩個(gè)小孩。小船至多可以載一個(gè)士兵或者兩個(gè)小孩請問這隊(duì)士兵依照何種

47、程序才能渡過此河?可以用流程圖加以表示：那么如何在計(jì)算機(jī)上實(shí)施這一算法呢？那就需要設(shè)計(jì)程序語言，上面的士兵過河問題，就需要機(jī)械地循環(huán)操作。新課程信息課程標(biāo)準(zhǔn)要求小學(xué)高年級要學(xué)生了解賦值、條件、循環(huán)等三種語句，并盡可能在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行實(shí)際操作，親身體驗(yàn)由人指揮機(jī)器的效果。在信息時(shí)代，這是一種人人都需要具備的科學(xué)素養(yǎng)。例7 鐘面問題（浙江）。鐘面數(shù)字問題：鐘面上有12個(gè)數(shù)，請?jiān)谀承?shù)的前面添上加號或減號，使鐘面上所有數(shù)之和等于零。由于1231278，因此本題相當(dāng)于“將1，2，3，12這十二個(gè)數(shù)分成兩組，使這兩組數(shù)的和分別等于39，然后在任意一組的每個(gè)數(shù)的前面添加負(fù)號”。因此解題的關(guān)鍵在于從1，2，3，12這十二個(gè)數(shù)中取出若干個(gè)，使其和為39。為防止遺漏和重復(fù)，取數(shù)時(shí)我們遵循“由大到小”的原則。注意到這十二個(gè)數(shù)中最大的三個(gè)數(shù)。1211103339所以至少要取四個(gè)數(shù)，于是有： 四數(shù)組（12，11，10，6），（12，11，9，7），（12，10，9，8）。注意到1110983839，所以四數(shù)組中必須包含數(shù)12。每一個(gè)數(shù)組可以都添負(fù)號，也可以都不添負(fù)號