太原理工大學(xué)卓越班高數(shù)上第三節(jié) 任意項級數(shù)

1、高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)主講教師主講教師 數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院 魏毅強魏毅強 教授教授聯(lián)系電話聯(lián)系電話Email : Yiqiang Wei 2統(tǒng)計學(xué)統(tǒng)計學(xué)第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) Yiqiang Wei 4v 7.1 常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)v 7.2 正項級數(shù)正項級數(shù)v 7.3 任意項級數(shù)任意項級數(shù)v 7.4 冪級數(shù)冪級數(shù)v 7.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)v 7.6 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用v 7.7 函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性及一致收斂級數(shù)的函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性及一致收斂級數(shù)的 基本性質(zhì)基本性質(zhì)v 7.8 傅里葉級數(shù)

2、傅里葉級數(shù)v 7.9 正弦級數(shù)與余弦級數(shù)正弦級數(shù)與余弦級數(shù)v 7.10 以以2l為周期的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)為周期的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)目錄目錄 Yiqiang Wei 5學(xué)習(xí)的基本要求和預(yù)期目標(biāo)學(xué)習(xí)的基本要求和預(yù)期目標(biāo)v 1）理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散的概念及，理解無窮級數(shù)和）理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散的概念及，理解無窮級數(shù)和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。v 2）熟悉幾何級數(shù)與級數(shù)的收斂性。）熟悉幾何級數(shù)與級數(shù)的收斂性。v 3）掌握正項級數(shù)的比較審斂法，掌握正項級數(shù)的比值審）掌握正項級數(shù)的比較審斂法，掌握正項級數(shù)的比值審斂法，斂法，會會用根式

3、審斂法。用根式審斂法。v 4）掌握交錯級數(shù)的萊布尼茲定理。）掌握交錯級數(shù)的萊布尼茲定理。v 5）了解級數(shù)絕對收斂和條件收斂的概念，以及絕對收斂）了解級數(shù)絕對收斂和條件收斂的概念，以及絕對收斂和收斂的關(guān)系。和收斂的關(guān)系。v 6）了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。）了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。v 7）理解冪級數(shù)收斂半徑的概念，掌握冪級數(shù)的收斂半徑、）理解冪級數(shù)收斂半徑的概念，掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。收斂區(qū)間及收斂域的求法。Yiqiang Wei 6學(xué)習(xí)的基本要求和預(yù)期目標(biāo)學(xué)習(xí)的基本要求和預(yù)期目標(biāo)v 8）了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)，會求一）了解冪級數(shù)在

4、其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)，會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和。級數(shù)的和。v 9）了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的必要條件和充分條件。）了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的必要條件和充分條件。v 10）掌握的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)展）掌握的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)展開為冪級數(shù)。開為冪級數(shù)。v 11) 了解冪級數(shù)在近似計算中的簡單應(yīng)用。了解冪級數(shù)在近似計算中的簡單應(yīng)用。v 12）理解付氏級數(shù)的概念，狄利克雷定理，函數(shù)展開為付）理解付氏級數(shù)的概念，狄利克雷定理，函數(shù)展開為付氏級數(shù)的充分條件，會將定義在上的函數(shù)

5、展開為付氏級數(shù)，氏級數(shù)的充分條件，會將定義在上的函數(shù)展開為付氏級數(shù)，會將定義在上的函數(shù)展開為正弦和余弦級數(shù)，會寫出付氏會將定義在上的函數(shù)展開為正弦和余弦級數(shù)，會寫出付氏級數(shù)和函數(shù)的表達(dá)式。級數(shù)和函數(shù)的表達(dá)式。Yiqiang Wei 77.3.1 交錯項級數(shù)交錯項級數(shù)7.3.3 絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂7.3 任意項級數(shù)任意項級數(shù)7.3.2 交錯項級數(shù)審斂法（萊布尼茨審斂法）交錯項級數(shù)審斂法（萊布尼茨審斂法）7.3.4 絕對收斂的性質(zhì)絕對收斂的性質(zhì)Yiqiang Wei 87.3.1 交錯項級數(shù)交錯項級數(shù)定義定義3.1 如果如果 ui0，i=1，2， ，n， ，則則u1 1- -u2

6、 u3 - (-1)n-1 un 稱為稱為交錯交錯項級數(shù)項級數(shù)。注：注：有時候我們也將正、負(fù)項交替出現(xiàn)的級數(shù)歸入交錯有時候我們也將正、負(fù)項交替出現(xiàn)的級數(shù)歸入交錯項級數(shù)中討論。項級數(shù)中討論。7.3 任意項級數(shù)任意項級數(shù)Yiqiang Wei 97.3.2 交錯項級數(shù)審斂法交錯項級數(shù)審斂法(萊布尼茨審斂法萊布尼茨審斂法)7.3 任意項級數(shù)任意項級數(shù)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨1646年年1716年年定理定理3.1 如果序列如果序列 un 單調(diào)遞減趨于零，單調(diào)遞減趨于零，即即11) 1(nnnu則級數(shù)則級數(shù) 收斂，且其余項收斂，且其余項rn的絕對的絕對值值|rn | un 1, 2 , 1,

7、1nuunn0limnnuYiqiang Wei 10舉例舉例例例3.1 討論交錯項級數(shù)的收斂性討論交錯項級數(shù)的收斂性作差；作比；求導(dǎo)作差；作比；求導(dǎo)注；注； 判別單調(diào)性的一般方法有判別單調(diào)性的一般方法有3 3種種7.3 任意項級數(shù)任意項級數(shù)11) 1(nnn12112) 1(nnnn211) 1(nnnnYiqiang Wei 117.3 任意項級數(shù)任意項級數(shù)7.3.3 絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂（稱為絕對收斂判別法）（稱為絕對收斂判別法）注：注：條件收斂級數(shù)，收斂和與加法次序有關(guān)，當(dāng)改變加法條件收斂級數(shù)，收斂和與加法次序有關(guān)，當(dāng)改變加法次序時收斂和也會改變次序時收斂和也會改變。而

8、絕對收斂級數(shù)的收斂和不因加。而絕對收斂級數(shù)的收斂和不因加法的次序改變而改變。法的次序改變而改變。 定理定理3.2 如果如果級數(shù)級數(shù) 收斂收斂，則，則 也也收斂收斂 1|nnu1nnu1nnu1|nnu定義定義3.2 如果如果 收斂，則稱收斂，則稱 絕對收斂；絕對收斂；1nnu1|nnu如果如果 發(fā)散，發(fā)散， 收斂，則稱收斂，則稱 條件收斂。條件收斂。1nnuYiqiang Wei 127.3 任意項級數(shù)任意項級數(shù)例如例如例例3.2 判別下列級數(shù)的斂散性判別下列級數(shù)的斂散性12sinnnn2)11 () 1(11nnnnpqknqknpqknpkln212ln)2211221(101 Yiqia

9、ng Wei 137.3 任意項級數(shù)任意項級數(shù)7.3.4 絕對收斂的性質(zhì)絕對收斂的性質(zhì)定理定理3.3 絕對收斂級數(shù)的各項任意重排后構(gòu)成的級數(shù)仍然絕對收斂級數(shù)的各項任意重排后構(gòu)成的級數(shù)仍然絕對收斂，且與原級數(shù)有相同的和。絕對收斂，且與原級數(shù)有相同的和。 定理定理3.4 如果如果 絕對收斂，絕對收斂，則則 也也絕對收斂絕對收斂 。1nnu1nnv11nmmnvu1111111)(mmnnnmnmmnnmmnvuvuvu稱為柯西乘積稱為柯西乘積Yiqiang Wei 14 Yiqiang Wei 15戈特弗里德戈特弗里德威廉威廉萊布尼茨（萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，

10、1646年年1716年）年） 德國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家。第一個公開微積分方法的人，并德國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家。第一個公開微積分方法的人，并且符號被主流應(yīng)用，而牛頓是確認(rèn)早于萊布尼茨使用微且符號被主流應(yīng)用，而牛頓是確認(rèn)早于萊布尼茨使用微積分的。萊布尼茨終生未婚，但是在積分的。萊布尼茨終生未婚，但是在50歲時曾經(jīng)想要結(jié)歲時曾經(jīng)想要結(jié)婚，但是女方提出說婚，但是女方提出說需要一些時間需要一些時間“，這從而給了萊，這從而給了萊布尼茨時間去正面的思考這個問題，所以最終萊布尼茨布尼茨時間去正面的思考這個問題，所以最終萊布尼茨終生未婚。終生未婚。關(guān)于微積分創(chuàng)立的優(yōu)先權(quán)，在數(shù)學(xué)史上曾掀起了一場激烈的爭論。實際關(guān)于微積分創(chuàng)立

11、的優(yōu)先權(quán)，在數(shù)學(xué)史上曾掀起了一場激烈的爭論。實際上，牛頓在微積分方面的研究雖早于萊布尼茨，但萊布尼茨成果的發(fā)表上，牛頓在微積分方面的研究雖早于萊布尼茨，但萊布尼茨成果的發(fā)表則早于牛頓。萊布尼茨則早于牛頓。萊布尼茨1684年年10月在教師學(xué)報上發(fā)表的論文一種月在教師學(xué)報上發(fā)表的論文一種求極大極小的奇妙類型的計算，是最早的微積分文獻。這篇僅有六頁求極大極小的奇妙類型的計算，是最早的微積分文獻。這篇僅有六頁的論文，內(nèi)容并不豐富，說理也頗含糊，但卻有著劃時代的意義。的論文，內(nèi)容并不豐富，說理也頗含糊，但卻有著劃時代的意義。 返回返回Yiqiang Wei 16因此，后來人們公認(rèn)牛頓和萊布尼茨是各自獨立

12、地創(chuàng)建微積分的。因此，后來人們公認(rèn)牛頓和萊布尼茨是各自獨立地創(chuàng)建微積分的。牛頓在三年后，即牛頓在三年后，即1687年出版的年出版的自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理的第一版和第二版也寫道：的第一版和第二版也寫道：“十年前在我和最杰出的幾十年前在我和最杰出的幾何學(xué)家萊布尼茨的通信中，我表明我已經(jīng)知道確定極大何學(xué)家萊布尼茨的通信中，我表明我已經(jīng)知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法，但值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法，我在交換的信件中隱瞞了這方法，這位最卓越的科這位最卓越的科學(xué)家在回信中寫道，他也發(fā)現(xiàn)了一種同樣的方法。他并學(xué)家在回信中寫道，他也發(fā)現(xiàn)了一種同樣的方法。他并訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒有什么不同，除訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒有什么不同，除了他的措詞和符號而外了他的措詞和符號而外”（但在第三版及以后再版時，（但在第三版及以后再版時，這段話被刪掉了）。這段話被刪