正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

1、一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1.3 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列有界. v正項(xiàng)級(jí)數(shù) 各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù). 這是因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列sn是單調(diào)增加的, 而單調(diào)有界數(shù)列是有極限. 下頁(yè)v定理1(正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件) 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)v定理2(比較審斂法) 設(shè)1nnu和1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且 unvn (n1, 2, ). v定理3 設(shè)1nnu和1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且 unkvn(k0, nN). 若1nnv收斂, 則1nnu收斂 若1nnu發(fā)散, 則1nnv發(fā)散. 若1n

2、nv收斂, 則1nnu收斂 若1nnu發(fā)散, 則1nnv發(fā)散. 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)僅就unvn (n1, 2, )的情形證明. 簡(jiǎn)要證明 因此級(jí)數(shù)un收斂. 即部分和數(shù)列sn有界. v1v2 vns (n1, 2, ),snu1u2 un則級(jí)數(shù)un的部分和 設(shè)級(jí)數(shù)vn收斂, 其和為s, 反之, 若級(jí)數(shù)un發(fā)散, 則級(jí)數(shù)vn必發(fā)散. 由已證結(jié)論, 級(jí)數(shù)un也收斂, 矛盾. 這是因?yàn)槿绻?jí)數(shù)vn收斂,定理2(比較審斂法) 若1nnv收斂, 則1nnu收斂 反之, 若 設(shè)1nnu和1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且 unvn (n1, 2, ). 收斂 反之, 若1nnu發(fā)散, 則1nnv發(fā)散. 上

3、頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 解 下頁(yè)v定理2(比較審斂法) 例 1 討論 p級(jí)數(shù)) 0( 11pnpn的收斂性. 解 當(dāng) p1 時(shí), nnp11, 而級(jí)數(shù)所以級(jí)數(shù)pnn11也發(fā)散. nnp11, 而級(jí)數(shù)11nn發(fā)散, 設(shè)un和vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且unkvn(k0, nN). 若級(jí)數(shù)vn收斂, 則級(jí)數(shù)un收斂 若級(jí)數(shù)un發(fā)散, 則級(jí)數(shù)vn發(fā)散. 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè), 1p將級(jí)數(shù)改寫(xiě)成)1519181()71615141()3121(1ppppppppp31211)21()21(211ppp2) 若)818181()41414141()2121(1ppppppppp當(dāng)p1時(shí)，上式中的最后一個(gè)級(jí)數(shù)是

4、收斂的幾何級(jí)數(shù)，其部分和n有界，從而p-級(jí)數(shù)的部分和sn滿足,12nnnsss也即sn有界，由定理結(jié)論知，當(dāng)p1時(shí)， p-級(jí)數(shù)收斂。上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 證 因?yàn)?1) 1(1) 1(12nnnn, 設(shè)un和vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且unkvn(k0, nN). 若級(jí)數(shù)vn收斂, 則級(jí)數(shù)un收斂 若級(jí)數(shù)un發(fā)散, 則級(jí)數(shù)vn發(fā)散. vp級(jí)數(shù)的收斂性 證 下頁(yè)v定理2(比較審斂法) p級(jí)數(shù)pnn11當(dāng) p1 時(shí)收斂, 當(dāng) p1 時(shí)發(fā)散. 例 2 證明級(jí)數(shù)1) 1(1nnn是發(fā)散的. 而級(jí)數(shù)111nn發(fā)散, 故級(jí)數(shù)發(fā)散, 故級(jí)數(shù)1) 1(1nnn也發(fā)散. 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)調(diào)和級(jí)數(shù)與 p 級(jí)數(shù)是

5、用于正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷的兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù).若存在,ZN對(duì)一切,Nn ,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收斂則nnu;1發(fā)散則nnu上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)例：123425nnn提示：.125342522nnn調(diào)和級(jí)數(shù)與 p 級(jí)數(shù)是用于正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷的兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù).若存在,ZN對(duì)一切,Nn ,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收斂則nnu;1發(fā)散則nnu上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 簡(jiǎn)要證明 明 由極限的定義可知, 對(duì)l21, 存在自然數(shù) N, 當(dāng)nN時(shí), 有不等式 llvullnn2121, llvullnn2121, 即nnnlvulv2321, 再根據(jù)

6、比較審斂法, 即得所要證的結(jié)論. 設(shè)1nnu和1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), (1)如果lvunnnlim(0l), 且1nnv 收斂, 則1nnu 收斂 (2)如果lvunnnlim(0l), 且1nnv 發(fā)散, 則1nnu 發(fā)散. v定理4(比較審斂法的極限形式) 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)v定理4(比較審斂法的極限形式) 設(shè)1nnu和1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 下頁(yè) 例 3 判別級(jí)數(shù)11sinnn的收斂性. 解 因?yàn)?11sinlim nnn, 而級(jí)數(shù) 解 111sinlim nnn, 而級(jí)數(shù)11nn發(fā)散, 級(jí)數(shù)11sinnn也發(fā)散. (1)如果lvunnnlim(0l), 且1nnv 收斂, 則1nn

7、u 收斂 (3)如果lvunnnlim(0l), 且1nnv 發(fā)散, 則1nnu 發(fā)散. (2)如果0,vunnnlim 且1nnv 收斂, 則1nnu 收斂 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)下頁(yè)v定理4(比較審斂法的極限形式) 設(shè)1nnu和1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 例例3 3.1211的斂散性判斷nn解:則有令,21,121nnnnvu. 01)21(11limlimnnnnnvu (1)如果lvunnnlim(0l), 且1nnv 收斂, 則1nnu 收斂 (3)如果lvunnnlim(0l), 且1nnv 發(fā)散, 則1nnu 發(fā)散. 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)下頁(yè)v定理5(極限審斂法) .1為正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)

8、nnu.,lim0lim) 1 (1發(fā)散則或若nnnnnnunulnu.),1(0lim)2(1收斂則若nnnpnuplun例例4 4解:.1sin1的斂散性判斷nn, 011sinlimnnn.1sin1發(fā)散所以nn上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu收斂, 能否推出12nnu收斂 ?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由比較判斂法可知12nnu收斂 .注意注意: 反之不成立. 例如,121nn收斂 ,11nn發(fā)散 .思考：上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)設(shè)級(jí)數(shù)1nnu收斂, 能否推出12nnu收斂 ?提示提示:nunn1) 1(思考：.12nun則級(jí)數(shù)收斂, 且其和su1, 其余項(xiàng)rn的

9、絕對(duì)值|rn|un1. 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)11) 1(nnnu滿足條件 v定理(萊布尼茨（ Leibnitz ）定理) (1)unun1(n1, 2, 3, ) (2)0limnnu, 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)(1)1111nnunnu(n1, 2, ), (2)這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù). 解 由萊布尼茨定理, 級(jí)數(shù)是收斂的, 且其和su11,余項(xiàng)11|1nurnn. 首頁(yè)則級(jí)數(shù)收斂, 且其和su1, 其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值|rn|un1. 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)11) 1(nnnu滿足條件 v定理7(萊布尼茨（ Leibnitz ）定理) (1)unun1(n1, 2, 3, ) (2)0limnnu, 因?yàn)榇思?jí)數(shù)滿足

10、(n1, 2, ), (2)01limlimnunnn, 例 10 證明級(jí)數(shù) 1) 1(11nnn收斂, 并估計(jì)和及余項(xiàng). 例5 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè);) 1ln(1) 1 (1nn1. 判別級(jí)數(shù)的斂散性:.1)2(1nnnn解解: (1),) 1ln(nnnn1) 1ln(111nn發(fā)散 , 故原級(jí)數(shù)發(fā)散 .(2)nlimnnn1lim111nn發(fā)散 , 故原級(jí)數(shù)發(fā)散 .nnn1n1上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)下頁(yè)v定理8(比值審斂法, 達(dá)朗貝爾審斂法) ，則，則，如果，如果對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù) nnnnnuuu11lim.1)1(1收斂收斂，則，則若若 nnu .1)2(111發(fā)散發(fā)散，則，則

11、或或若若 nnnnnuuu 證明：時(shí)有時(shí)有，當(dāng)，當(dāng)，由由NnNuunnn 00lim1 .1 nnuu上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)時(shí)有當(dāng)使取正數(shù)若NnNq, 0, 1, 0, 1) 1 (,1quunn ,221NkkNNNNNuquuququu 11,kkNkNkuuq收斂，收斂，由比較審斂法知由比較審斂法知收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù).1收斂收斂即即 nnu上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)時(shí)有當(dāng)使取正數(shù)若NnN, 0, 1, 0, 1)2(, 11 nnuu,1nnuu 也即也即, 0lim nnu從而從而.1發(fā)散發(fā)散故故 nnu,lim)3(1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) nnnuu, 1, 0, 011 MuuNnNMnn有有時(shí)時(shí)當(dāng)

12、當(dāng)存在存在取取.,11發(fā)散發(fā)散可得可得也即也即 nnnnuuu上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)，級(jí)數(shù)的收斂性如何？，級(jí)數(shù)的收斂性如何？若若正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1lim,11 nnnnnuuu提示提示:pnnu1思考：11) 1(1limlim1ppnnnnnnuu上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)散嗎？不存在，則級(jí)數(shù)一定發(fā)若正項(xiàng)級(jí)數(shù)nnnnnuuu11lim,提示提示:nnnu2) 1(5思考：12,431515212,31151521) 1(5) 1(52111knknuunnnnnnnu)21(25上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè).10!)2( ,!)1(11的斂散性的斂散性判斷級(jí)數(shù)判斷級(jí)數(shù) nnnnnnn 例10 解：.1

13、)11(1)1(!/)1()!1()1(11ennnnnnnuunnnnnn .10110!/10)!1()2(11 nnnuunnnn上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)下頁(yè)v定理9(根值審斂法, 柯西判別法) 例 8 證明級(jí)數(shù) 1 3121132 nn是收斂的. 01lim 1lim lim nnunnnnnnn所以, 根據(jù)根值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 因?yàn)?解 01lim 1lim lim nnunnnnnnn01lim 1lim lim nnunnnnnnn, .,lim1)2(., 1)1(,lim,111發(fā)散發(fā)散則則或或若若收斂收斂則則若若如果如果對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù) nnnnnnnnnnnnu

14、uuuu 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 例 9 判定級(jí)數(shù)12) 1(2nnn的收斂性. 所以, 根據(jù)根值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 因?yàn)?解 21) 1(221limlimnnnnnnu21) 1(221limlimnnnnnnu21) 1(221limlimnnnnnnu, 下頁(yè)v定理9(根值審斂法, 柯西判別法) .,lim1)2(., 1)1(,lim,111發(fā)散發(fā)散則則或或若若收斂收斂則則若若如果如果對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù) nnnnnnnnnnnnuuuuu 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)時(shí) , 級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 .1例如 , p 級(jí)數(shù) :11pnnpnnnnu1)(1n思考思考 :,1pnnu 但, 1p級(jí)數(shù)收斂 ;, 1p級(jí)數(shù)發(fā)散 .上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)v定理9(根值審斂法, 柯西判別法) .)2332(的斂散性判斷級(jí)