常見線性遞推數(shù)列通項的求法精品.doc

1、文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版.word版本可編輯，有幫助歡迎下載支持. 【關(guān)鍵字】思路、方法、條件、問題、統(tǒng)一、發(fā)現(xiàn)、特點、熱點、結(jié)構(gòu)、關(guān)系、借鑒、滿足常見線性遞推數(shù)列通項的求法對于由遞推式所確立的數(shù)列通項公式問題，往往將遞推關(guān)系式變形轉(zhuǎn)化為我們熟知的等差數(shù)列或等比 數(shù)列，從而使問題簡單明了。這類問題是高考數(shù)列命題的熱點題型，下面介紹常見線性遞推數(shù)列求通項的 基本求法。一、一階遞推數(shù)列1、“”+i = P5 + 0 型形如n+I =pan+q (工1且q為不等于0的常數(shù))的數(shù)列，可令an+x = p(an+x)即心+1 = Pan +(P -小與心+1 = Pn + 口比較得X = ,從而

2、構(gòu)造一個以1 + 為首項以為公 P -1p-1、比的等比數(shù)列-1J例 1.在數(shù)列“中，ax = l,an+1 =3a-l,求心.解：在an+ =3a-1 的兩邊同加待定數(shù)兄,得+1 + 2 = 3-1 + 2 = 3-(an+ (21) /3),令2 = 0工得2 =a,. -1 = 3- (a 一丄).數(shù)列心-是公比為3的等比數(shù)列，32222心一丄二丄3心，an =丄(3心+1).2 2 22、”+1 =c “”+()型(l)c = 1時：解題思路：利用累羌迭加法，將a”=g( 1) , ”_i “_2 = g( 2),， 勺- = g，各式相加,正負(fù)抵消,即得”.例2.在數(shù)列?！敝?，q =

3、0且=匕+2”一 1 ,求通項縱.解：依題意得，5=0,勺一勺=1衛(wèi)3 一勺=3,a” 一勺一=2(幾一1)一1 = 2”一3 ,把以上各式 相加，得【評注】由遞推關(guān)系得，若g()是一常數(shù)，即第一種類型，直接可得是一等差數(shù)列：若心+|-a”非 常數(shù)，而是關(guān)于”的一個解析式，可以肯能數(shù)列不是等差數(shù)列，將遞推式中的分別用 n-l,/?-2,-,4,3,2代入得/?-1個等式相加，目的是為了能使左邊相互抵消得 ,而右邊往往可以轉(zhuǎn)化 為一個或幾個特殊數(shù)列的和。(2) CH1 時：例3.在數(shù)列勺中,再=1,%嚴(yán)3暫+滬，求通項陽.解：作新數(shù)列“,使 bn=an-(An2+Bn + C an =bn+(A

4、n2 + Bn + C (A, B, C 為待定 常數(shù))。由 =3心 +可得：仇+ + A(n + I)2 +B(n + 1) + C=3(j + An2 +Bn + C) + n2,所以，bn = 3blt + (2A + l)n2 + (2B-2A)n + 2C-A-B,設(shè) 2A+l=0, 2B-2A=0, 2C-A-B=0,可文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版word版本可編輯，有幫助歡迎下載支持. 得：A=B=C=l/2, .仇+| =3,妬=勺一(A + A3+C) = ,所以是公比為3的等比數(shù)列，/. bn = x 3/|_|, /. tz = x 3,_1 - (/r + ” +1

5、)。2 2 2當(dāng)一個數(shù)列是一階遞推或二階遞推齊次數(shù)列時，可通過線性代換把問題化為等差或等比數(shù)列，本題是 設(shè) a -A(n +1)2 +1) + C=3a -(An2+Bn + C),用待定系數(shù)法求 A、B、C 即可?！驹u注】求遞推數(shù)列的通項的主要思路是通過轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新的熟知數(shù)列，使問題化陌生為熟悉.我們要 根據(jù)不同的遞推關(guān)系式,采取不同的變形手段，從而達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的.例4.在數(shù)列a中,=I,%】=3an + 2n,求通項an.解：設(shè)n+1 -k -2)= 3(a-k-2n),%】=3a -2,又v % = 3a” + 2,= -1,dn+1 + 2n+l =3(+2), :.an+22是以3為

6、首項，3為公比的等比數(shù)列，a” + 2” = 3 x 3心=3”，二 a = 3 - 2。3、“”+1 = /(/ 型解題思路：利用累乘法，將出=/(一1),仏丄=/(_2),皺=/(1)各式相乘得，61 6-2 Cl = /(-!)/(W-2)- /(1),即得叫.5-2例5在數(shù)列仏中，6=1, = 9求通項心. 八+ 1解：由條件等式也=得，匕.1 = -1 =丄，得an=.心 ” + 1心-2 a n -12 nn【評注】此題亦可構(gòu)造特殊的數(shù)列，由經(jīng) = !一得，+ 嘰 =1,則數(shù)列加是以為首項，山 +1叫以1為公比的等比數(shù)列， 心=5廣 =11 = 1得 =丄n4、S”與“”關(guān)系型(求

7、差法)數(shù)列有形如/(Sn，S”J = g(a”)的關(guān)系(非遞推關(guān)系)，可考慮用求差S”S_=a”后，再用英它初等方法求得例6. (94年全國高考試題)設(shè)”是正數(shù)組成的數(shù)列，英前川項和為S“，并且對于所有的自然數(shù)兒“”與2的等差中項等于S”與2的等比中項:文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版.word版本可編輯，有幫助歡迎下載支持.（1）寫出數(shù)列”的前3項： （2）求數(shù)列%的通項公式.出題者的意圖是：通過（1）問求岀數(shù)列前3項再猜想岀通項公式：（2）再用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正 確.實際上用求差法求通項公式更簡單.解：（1）略0,陽一 = 4.a）是公差為4的等差數(shù)列,5、5+1 mJ（4C&為非零常數(shù)

8、）型c“” +（1）b = 0時，上式可化為： = -x + 1,即轉(zhuǎn)化為第一種類型可求解。幾 C例6設(shè)數(shù)列滿足G| = 2, % =a,1 (n e N),求備+3解:原條件變形為%S+3昭=兩邊同乘以一!一得1 + 3丄=15+13(丄+丄)=丄+丄,.丄+丄=3(tn 2心+2 UfJ 2“+】”一122x3心 一1（2） bO時，等式兩邊同加參數(shù)f,a t衛(wèi)+山貝+ f = + /?- +t = (a + ct)c+dcJ+d令t = l2L 即 ct2 +a-d)t-b = O. a + ct記此方程的兩根為rHr2,（l）若“HQ,將GO分別代入式可得仃W5）牛7a + /十+8=

9、以上兩式相除得“+1 + L = G + 宀1 .心 + 人5+1 +t2 Cl + Ct2 Cln +t2于是得到為等比數(shù)列，其公比為a + cta + ct數(shù)列的通項心可由（2）若/=/_ 將代入式可得+ /, = （a + ct） C，n +t cdZ考慮到上式結(jié)構(gòu)特點，兩邊取倒數(shù)得1_1c（5+g） + d -c.U + f 】Q + cfi J + 由于r,= r2時方程的兩根滿足2=c于是式可變形為=+利+人 + Ctx an + tAan +t為等差數(shù)列，其公差為一a + ct數(shù)列仏的通項心可由=+ （舁一1）一求得.an + f a +ta + ct這樣，利用上述方法，我們可以

10、把分式線性遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列，從而求得其通項。 如果我們引入分式線性遞推數(shù)列。胡= 5 +1）的特征方程為”=竺上2,即 c an + acx + d（一 G）X b = O,此特征方程的兩根恰好是方程兩根的相反數(shù)，于是我們又有如下結(jié)論:分式線性遞推數(shù)列q屮a an + b其特征方程為x = 3凹cx + dex2 + （ 一 a）x-b = 0,（1）若方程有兩相異根兒、,貝*巴二巳成等比數(shù)列，其公比為（2）若方程有兩等根5, =5, 貝嘰 成等差數(shù)列,其公差為例7.設(shè)數(shù)列仏滿足5=2,%_ 5 色 + 42+7解：對等式兩端同加參數(shù)得2心+7 + 5+7/ + 427二+7/

11、 + 4an +牯解之可得2,代入如+ /二+ 5)得終州】“2 = 9霸，嘶朋心+ 2是首項霽冷公比為訥等比數(shù)列,甘”,解得43心+ 2431-1二. 二階線性遞推數(shù)列1設(shè)遞推公式為4小=pan + qg,其特征方程為x2 = px + q即X - “x - q = 0 ,（1）若方程有兩相異根A. B,則=c.An+c2Bn（2）若方程有兩等根A = B.則色=（q+M2）A其中C?可由初始條件確定。很明顯，如果將以上結(jié)論作為此類問題的統(tǒng)一解法直接呈現(xiàn)出來，學(xué)生是難以接受的，也是不負(fù) 責(zé)任的。下而我們結(jié)合求一階線性遞推數(shù)列的參數(shù)法，探討上述結(jié)論的“來源”。設(shè) % 一 tan = 一 則G

12、+ 0n S%7 ,（*）（i） 若方程組（引有兩組不同的解（5/）,（心）， 則終州】一/“r =6（4r 一耳4一1），終州一嘰=（心一2終一】），由等比數(shù)列性質(zhì)可得an+l -tan =（血一殖1）厲1,% -=（。2-2“ V，J H 由上兩式消去5+1可得特別地，若方程組嚴(yán)）有一對共扼虛根廠（cos。土isin&）,通過復(fù)數(shù)三角形式運算不難求得此時數(shù)列的通項 公式為a“ = rn （q cosn + c2 sin n0 X中q、c?可由初始條件求出。Si = s、（2）若方程組（T有兩組相等的解 I，易證此時5. =/,貝IJ1心2h+I fan = S （an 一 “心-1）= $

13、（-1 一人心-2）=兒（2 一“1）兒 5151由等差數(shù)列性質(zhì)可知縷=魚+（“-1空二竺,S S所以律= Lt/r這樣，我們通過將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比（差）數(shù)列的方法，求得二階線性遞推數(shù)列的通項，若將方程 組（*）消去/ （或$）即得S? _ps_q = 0或t2-pt-q = O,此方程的兩根即為特征方程x2=px + q的 兩根，讀者不難發(fā)現(xiàn)它們的結(jié)論是完全一致的，這正是特征方程法求遞推數(shù)列通項公式的根源所在。例&斐波那契數(shù)列旳=l“+i = 5 +%“（” = 2,3,），求通項公式。解：此數(shù)列對應(yīng)特征方程為x2=x + l即疋一兀_1 = 0,解得X = 實丄，設(shè)此數(shù)列的通項公式為冷=

14、cl（）n +g（）”，由初始條件=勺=1可知, 2 2,解之得例9、已知數(shù)列q=l衛(wèi)2 =5,且a曲=4_4冷心2 2）,求通項公式a八解：此數(shù)列對應(yīng)特征方程為x2=4x一4即F4x + 4 = 0,解得x, =x2 =2,設(shè)此數(shù)列的通項公式為a” =(c, +nc2)-2n,由初始條件=1,勺=5,可知，1例10、已知數(shù)列0=0皿2=1，且| =2冷+2終求通項公式心。 解：此數(shù)列對應(yīng)特征方程為x2=2x + 2即A：? 一 2兀+ 2 = 0 ,解得x = i = a/2(c. cos sin )44設(shè)此數(shù)列的通項公式為=(運)“(q cos + c.sin),44由初始條件=0, a2

15、 =1,可知，例11、數(shù)列aj中,al = 一20衛(wèi)血+ an = 3” 一54 求通項an.解：特征方程2 + 1=0,特征根兄=1.齊次方程解=A -(-ir，設(shè)特解為a； = Bn + C代入原遞推式，B(n + ) + C + Bn + C = 3n-54得4例 12、已知數(shù)列aj滿足條件:(l)a1=a2=l, a3=2, a4=4, (2)an=an.|+an.3+aIH4(n4)求通項公式務(wù). 解：特征方程x, 2q+ =i4s-c,i，由x2-14x+1= 0得尤=74、你，_ =n(7 + 4V3)，r +b(7-4/3)n,a(7 + 4、/J) +以7一4巧)=1*$.

16、ci = b = 96/(7 + 43)2 +Z?(7-4/3)2 =42.ICfl =-(7 + 4、” +-(7-4a/3)z,觀=丄(7 + 4巧)“ + (7 4巧)+ -4442a2 +4例17、已知=1如=一,求的通項公式。4, 如-2 =與工如+2 =烏旦,.斗=(屮)2色2色2an_ 2 an - 2lg經(jīng)光%】_ 2練習(xí)：1.已知數(shù)列二=1,2 =5,且爲(wèi)4 =4心-4%i（n n 2）,求通項公式知。2. (2003年全國)已知數(shù)列仏滿足an=l9an = 3+0(/1 2),（1）求（2）證明：an = 23. （2002全國卷）數(shù)列%是首項為1的正項數(shù)列且滿足:5 + 1)/” _腫 + %囤=05 = 1,2),求數(shù)列心的通項。4. (2005 重慶卷)數(shù)列仏滿足 = 1 且一 16如 + 2an +5 = 0(n 1)記仇=一 (”ni)_2求b,b4、X的值 求數(shù)列的通項及數(shù)列cinbn的前“項和幾5. 數(shù)列“”的前n項和為S”，且山=1, S=n2a(neN,求數(shù)列e的通項公式.6. 數(shù)列心中，且=釘 心+1 = 3；* f，求數(shù)列e的通項公式.7. 設(shè)二次方程 flx2x+l=0(nGN