概率初步全章復(fù)習(xí)測(cè)試

1、概率全章復(fù)習(xí)與鞏固【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.2.會(huì)用互斥事件的概率加法公式求互斥事件的概率.3.理解古典概型及其概率計(jì)算公式，會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件發(fā)生的概率.4.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率，初步體會(huì)幾何概型的意義.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：隨機(jī)事件的概率1.隨機(jī)事件的概念在一定的條件下所出現(xiàn)的某種結(jié)果叫做事件.(1)隨機(jī)事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件；(2)必然事件：在一定條件下必然要發(fā)生的事件；(3)不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件.2.隨機(jī)事件的概率事件A的概率：在大量重復(fù)進(jìn)行同一試

2、驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總接近于某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A).由定義可知0P(A)1，顯然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.3.事件間的關(guān)系(1)互斥事件：不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件.(2)對(duì)立事件：不能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做對(duì)立事件.(3)包含：事件A發(fā)生時(shí)事件B一定發(fā)生，稱(chēng)事件A包含于事件B(或事件B包含事件A).要點(diǎn)詮釋?zhuān)?.隨機(jī)事件是指在一定條件下出現(xiàn)的某種結(jié)果，隨著條件的改變其結(jié)果也會(huì)不同，因此強(qiáng)調(diào)同一事件必須在相同的條件下進(jìn)行研究.隨機(jī)事件可以重復(fù)地進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn)，每次的實(shí)驗(yàn)結(jié)果不一定相同，但隨著實(shí)驗(yàn)的重復(fù)進(jìn)行，

3、其結(jié)果呈現(xiàn)規(guī)律性.2.頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：概率從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小.頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可以近似地作為這個(gè)事件的概率.3.從集合角度理解互斥事件為兩事件交集為空，對(duì)立事件為兩事件互補(bǔ).若兩事件A與B對(duì)立，則A與B必為互斥事件，而若事件A與B互斥，則不一定是對(duì)立事件.要點(diǎn)二：古典概型1.基本事件：試驗(yàn)結(jié)果中不能再分的最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件稱(chēng)為基本事件.基本事件的特點(diǎn)：(1)每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的.(2)因?yàn)樵囼?yàn)結(jié)果是有限個(gè)，所以基本事件也只有有限個(gè).(3)任意兩個(gè)基本事件都是互斥的，一次試驗(yàn)只能出現(xiàn)一個(gè)結(jié)果，即產(chǎn)生一個(gè)基本事件.(4)基本事件是試驗(yàn)中不能再分的最簡(jiǎn)

4、單的隨機(jī)事件，其他事件都可以用基本事件的和的形式來(lái)表示.2.古典概型的定義：(1)有限性：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等；我們把具有上述兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱(chēng)為古典概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)古典概型.3.計(jì)算古典概型的概率的基本步驟為：(1)計(jì)算所求事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；(2)計(jì)算基本事件的總數(shù)n；(3)應(yīng)用公式計(jì)算概率.4.古典概型的概率公式：.應(yīng)用公式的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確計(jì)算事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù)和基本事件的總數(shù).要點(diǎn)詮釋?zhuān)汗诺涓判偷呐袛啵喝绻粋€(gè)概率模型是古典概型，則其必須滿(mǎn)足以上兩個(gè)條件，有一條不滿(mǎn)足則必不是古典概型.如“擲均勻的骰子和硬幣

5、”問(wèn)題滿(mǎn)足以上兩個(gè)條件，所以是古典概型問(wèn)題；若骰子或硬幣不均勻，則每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性不同，從而不是古典概型問(wèn)題；“在線(xiàn)段AB上任取一點(diǎn)C，求ACBC的概率”問(wèn)題，因?yàn)榛臼录闊o(wú)限個(gè)，所以也不是古典概型問(wèn)題.要點(diǎn)三：幾何概型1.幾何概型的概念：對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn).這里的區(qū)域可以是線(xiàn)段，平面圖形，立體圖形等.用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱(chēng)為幾何概型.2.幾何概型的基本特點(diǎn)：(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè)；(2)每個(gè)

6、基本事件出現(xiàn)的可能性相等.3.幾何概型的概率：一般地，在幾何區(qū)域中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域內(nèi)為事件，則事件發(fā)生的概率.說(shuō)明：(1)的測(cè)度不為；(2)其中測(cè)度的意義依確定，當(dāng)分別是線(xiàn)段，平面圖形，立體圖形時(shí)，相應(yīng)的測(cè)度分別是長(zhǎng)度，面積和體積；(3)區(qū)域?yàn)殚_(kāi)區(qū)域；(4)區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)是指：該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的測(cè)度成正比而與其形狀位置無(wú)關(guān).要點(diǎn)詮釋?zhuān)簬追N常見(jiàn)的幾何概型(1)設(shè)線(xiàn)段是線(xiàn)段L的一部分，向線(xiàn)段L上任投一點(diǎn)，若落在線(xiàn)段上的點(diǎn)數(shù)與線(xiàn)段的長(zhǎng)度成正比，而與線(xiàn)段在線(xiàn)段L上的相對(duì)位置無(wú)關(guān)，則點(diǎn)落在線(xiàn)段上的概率為：P=的長(zhǎng)度/L的長(zhǎng)度

7、(2)設(shè)平面區(qū)域g是平面區(qū)域G的一部分，向區(qū)域G上任投一點(diǎn)，若落在區(qū)域g上的點(diǎn)數(shù)與區(qū)域g的面積成正比，而與區(qū)域g在區(qū)域G上的相對(duì)位置無(wú)關(guān)，則點(diǎn)落在區(qū)域g上概率為：P=g的面積/G的面積(3)設(shè)空間區(qū)域上v是空間區(qū)域V的一部分，向區(qū)域V上任投一點(diǎn)，若落在區(qū)域v上的點(diǎn)數(shù)與區(qū)域v的體積成正比，而與區(qū)域v在區(qū)域V上的相對(duì)位置無(wú)關(guān)，則點(diǎn)落在區(qū)域v上的概率為：P=v的體積/V的體積要點(diǎn)四：隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生1.隨機(jī)數(shù)的概念 隨機(jī)數(shù)是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個(gè)范圍內(nèi)任何一個(gè)數(shù)的機(jī)會(huì)是均等的.它可以幫助我們模擬隨機(jī)試驗(yàn)，特別是一些成本高、時(shí)間長(zhǎng)的試驗(yàn)，用隨機(jī)模擬的方法可以起到降低成本，縮短時(shí)間的作用.2

8、.隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法：一般用試驗(yàn)的方法，如把數(shù)字標(biāo)在小球上，攪拌均勻，用統(tǒng)計(jì)中的抽簽法等抽樣方法，可以產(chǎn)生某個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù).在計(jì)算器或計(jì)算機(jī)中可以應(yīng)用隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生某個(gè)范圍的偽隨機(jī)數(shù)，當(dāng)作隨機(jī)數(shù)來(lái)應(yīng)用.3.隨機(jī)模擬法(蒙特卡羅法)：用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)的方法，具體步驟如下：(1)用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，并賦予每個(gè)隨機(jī)數(shù)一定的意義；(2)統(tǒng)計(jì)代表某意義的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)M和總的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N；(3)計(jì)算頻率作為所求概率的近似值.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?.對(duì)于抽簽法等抽樣方法試驗(yàn)，如果親手做大量重復(fù)試驗(yàn)的話(huà)，花費(fèi)的時(shí)間太多，因此利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器做隨機(jī)模擬試驗(yàn)可以大大節(jié)省時(shí)間.2.隨機(jī)函數(shù)RAND

9、BETWEEN(a，b)產(chǎn)生從整數(shù)a到整數(shù)b的取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù).3. 隨機(jī)數(shù)具有廣泛的應(yīng)用，可以幫助我們安排和模擬一些試驗(yàn)，這樣可以代替我們自己做大量重復(fù)試驗(yàn)，比如現(xiàn)在很多城市的重要考試采用產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法把考生分配到各個(gè)考場(chǎng)中.4.在區(qū)間a，b上的均勻隨機(jī)數(shù)與整數(shù)值隨機(jī)數(shù)的共同點(diǎn)都是等可能取值，不同點(diǎn)是均勻隨機(jī)數(shù)可以取區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)實(shí)數(shù)，整數(shù)值隨機(jī)數(shù)只取區(qū)間內(nèi)的整數(shù).5.利用幾何概型的概率公式，結(jié)合隨機(jī)模擬試驗(yàn)，可以解決求概率、面積、參數(shù)值等一系列問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值.6.用隨機(jī)模擬試驗(yàn)不規(guī)則圖形的面積的基本思想是，構(gòu)造一個(gè)包含這個(gè)圖形的規(guī)則圖形作為參照，通過(guò)計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某區(qū)間內(nèi)的

10、均勻隨機(jī)數(shù)，再利用兩個(gè)圖形的面積之比近似等于分別落在這兩個(gè)圖形區(qū)域內(nèi)的均勻隨機(jī)點(diǎn)的個(gè)數(shù)之比來(lái)解決.7.利用計(jì)算機(jī)和線(xiàn)性變換Y=X*(b-a)a，可以產(chǎn)生任意區(qū)間a，b上的均勻隨機(jī)數(shù).要點(diǎn)五：求解概率問(wèn)題應(yīng)當(dāng)注意的問(wèn)題1.求解概率問(wèn)題應(yīng)首先分清是哪類(lèi)概率問(wèn)題，針對(duì)不同的概型靈活選擇相應(yīng)的方法及公式.2.求解概率的應(yīng)用問(wèn)題一般可分為三步：用字母恰當(dāng)?shù)乇硎鞠嚓P(guān)事件；明確事件之間的關(guān)系，如互斥、對(duì)立、獨(dú)立等；運(yùn)用正確的計(jì)算公式.3.對(duì)于稍微復(fù)雜的事件的概率求解時(shí)，通常有兩種方法，一是將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件的和，二是先求出此事件的對(duì)立事件(適用于“至多”“至少”型的事件概率)的概率.4.幾何概型

11、問(wèn)題時(shí)常借助圖形的直觀(guān)幫助分析.【典型例題】要點(diǎn)一：隨機(jī)事件與概率例1某射手在相同條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下： (1)問(wèn)該射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少? (2)假設(shè)該射手射擊了300次，估計(jì)擊中靶心的次數(shù)是多少? 【思路點(diǎn)撥】弄清頻率和概率的含義及它們之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵 【解析】(1)由表可知概率約為0.9； (2)估計(jì)擊中靶心的次數(shù)為3000.9270(次)【總結(jié)升華】本題中利用概率知識(shí)估計(jì)擊中靶心的次數(shù)是一種非?？茖W(xué)的決策方法舉一反三：【變式1】若在同等條件下進(jìn)行次重復(fù)試驗(yàn)得到某個(gè)事件A發(fā)生的頻率，則隨著的逐漸增大，有( )A.與某個(gè)常數(shù)相等 B.與某個(gè)常數(shù)的差逐漸減小C.與某個(gè)

12、常數(shù)的差的絕對(duì)值逐漸減小 D.與某個(gè)常數(shù)的附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定【答案】本題選D，根據(jù)概率的定義.要點(diǎn)二：互斥事件與對(duì)立事件例2經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率是多少?(2)至少3人排隊(duì)等候的概率是多少?【思路點(diǎn)撥】利用互斥事件概率加法公式計(jì)算【解析】記“等候的人數(shù)為0”為事件A，“1人等候”為事件B，“2人等候”為事件C，“3人等候”為事件D，“4人等候”為事件E，“5人及5人以上等候”為事件F，則易知A、B、C、D、E、F互斥 (1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事件G，則GABC， P(G)P(A+B+C)P(A)+P(B)+P(C) 0.1+0

13、.16+0.30.56 (2)記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則HDEF， P(H)P(D+E+F)P(D)+P(E)+P(F)0.3+0.1+0.040.44【總結(jié)升華】第(2)問(wèn)也可以這樣解：因?yàn)镚與H是對(duì)立事件，所以P(H)1P(G)10.560.44舉一反三：【變式1】某地區(qū)的年降水量在下列范圍內(nèi)的概率如下表所示：年降水量(單位：mm)概率0.120.250.160.14(1)求年降水量在內(nèi)的概率；(2)求年降水量在內(nèi)的概率.【答案】（1）（2）【解析】(1)記這個(gè)地區(qū)的年降水量在、范圍內(nèi)分別為事件，這4個(gè)事件是彼此互斥的，根據(jù)互斥事件的概率加法公式，年降水量在范圍內(nèi)的概率是年降水量在

14、范圍內(nèi)的概率是.(2)年降水量在范圍內(nèi)的概率是年降水量在范圍內(nèi)的概率是.要點(diǎn)三：古典概型例35張獎(jiǎng)券中有2張是中獎(jiǎng)的，首先由甲抽一張，然后由乙抽一張，求： (1)甲中獎(jiǎng)的概率P(A)； (2)甲、乙都中獎(jiǎng)的概率P(B)； (3)只有乙中獎(jiǎng)的概率P(C)； (4)乙中獎(jiǎng)的概率P(D) 【思路點(diǎn)撥】先確定事件總數(shù)，再確定四個(gè)事件中包含的基本事件個(gè)數(shù)，用古典概率公式求解【解析】甲、乙兩人按順序各抽一張，5張獎(jiǎng)券分別為A1，A2，B1，B2，B3，其中A1，A2為中獎(jiǎng)券，則基本事件為(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，

15、B3)，(B1，A1)，(B1，A2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，A1)，(B2，A2)，(B2，B1)，(B2，B3)，(B3，A1)，(B3，A2)，(B3，B1)，(B3，B2)，共20種(1)若“甲中獎(jiǎng)”，則有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共8種，故P(A) (2)甲、乙都中獎(jiǎng)含有的基本事件有(A1，A2)，(A2，A1)，共2種，所以P(B)(3)“只有乙中獎(jiǎng)”的基本事件有(B1，A1)，(B2，A1)，(B3，A1)，(B1，A2)，(B2，A2)，(B3，A2)，共6種

16、，故(4)“乙中獎(jiǎng)”的基本事件有(A2，A1)，(B1，A1)，(B2，A1)，(B3，A1)，(Al，A2)，(B1，A2)，(B2，A2)，(B3，A2)，共8種，故【總結(jié)升華】1、利用古典概型的計(jì)算公式時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)所有的基本事件必須是互斥的；(2)m為事件A所包含的基本事件數(shù)，求m值時(shí)，要做到不重不漏.2、古典概型解題步驟：(1)閱讀題目，搜集信息；(2)判斷是否是等可能事件，并用字母表示事件；(3)求出基本事件總數(shù)和事件所包含的結(jié)果數(shù)；(4)用公式求出概率并下結(jié)論.舉一反三：【變式1】在甲、乙兩個(gè)盒子中分別裝有標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子中各取出1個(gè)球，每個(gè)

17、小球被取出的可能性相等.()求取出的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)為相鄰整數(shù)的概率；()求取出的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)之和能被3整除的概率.【答案】() ()【解析】設(shè)從甲、乙兩個(gè)盒子中各取1個(gè)球，其數(shù)字分別為，用表示抽取結(jié)果，則所有可能有，共16種. ()所取兩個(gè)小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的結(jié)果有， ， ， ， ，共6種. 故所求概率.()所取兩個(gè)球上的數(shù)字和能被3整除的結(jié)果有， ， ， ， ，共5種. 故所求概率為.【變式2】從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率.【答案】【解析】每次取出一個(gè)，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能

18、的結(jié)果組成的基本事件有6個(gè)，即(a1，a2)和，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2).其中小括號(hào)內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)用A表示“取出的兩種中，恰好有一件次品”這一事件，則A=(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，事件A由4個(gè)基本事件組成，因而，P(A)=.要點(diǎn)四：幾何概型例4、從甲地到乙地有一班車(chē)在到到達(dá)，若某人從甲地坐該班車(chē)到乙地轉(zhuǎn)乘到出發(fā)的汽車(chē)到丙地去，問(wèn)他能趕上車(chē)的概率是多少？【思路點(diǎn)撥】此題中班車(chē)出發(fā)的時(shí)間與甲到達(dá)的時(shí)間都是隨機(jī)的，設(shè)為兩個(gè)變量. 然后把這兩個(gè)變量所滿(mǎn)足的條件寫(xiě)成

19、集合形式，并把所研究事件A的集合也分析得出. 把兩個(gè)集合用平面區(qū)域表示，特別注意不等式所表示區(qū)域.【解析】到達(dá)乙地的時(shí)間是到之間的任一時(shí)刻，某人從乙地轉(zhuǎn)乘的時(shí)間是到之間的任一時(shí)刻，如果在平面直角坐標(biāo)系中用軸表示班車(chē)到達(dá)乙地的時(shí)間，軸表示從乙地出發(fā)的時(shí)間，因?yàn)榈竭_(dá)乙地時(shí)間和從乙地出發(fā)的時(shí)間是隨機(jī)的，則試驗(yàn)的全部結(jié)果可看作是邊長(zhǎng)為0.5的正方形.設(shè)“他能趕上車(chē)”為事件，則事件的條件是，構(gòu)成事件的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分.由幾何概型公式，得，即他能趕上車(chē)的概率為0.875.【總結(jié)升華】在概率問(wèn)題中，與面積有關(guān)或可以轉(zhuǎn)化為二維空間的，可以采取幾何概型的方法去解決.直接與面積有關(guān)的，可直接計(jì)算，有時(shí)需要先進(jìn)行轉(zhuǎn)化成二維空間，然后利用幾何概型.舉一反三：【變式1】在01之間隨機(jī)選擇兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)把長(zhǎng)度為1的線(xiàn)段分成了三條線(xiàn)段，試求這三條線(xiàn)段能構(gòu)成三角形的概率 【解析】設(shè)三條線(xiàn)段的長(zhǎng)度分別為x，y，1-x-y，則即在