大學(xué)微積分的教程PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1大學(xué)微積分的教程大學(xué)微積分的教程2主要內(nèi)容 函數(shù)的單調(diào)性 曲線的凹凸性與拐點(diǎn) 工具: 一階導(dǎo)數(shù) 工具: 二階導(dǎo)數(shù)第1頁/共27頁3y = f (x)函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)減少 0 0, x (a, b), 則 f (x) 在 (a, b) 上 單調(diào)遞增;(2) 如果 f (x) 0, x (a, b), 則 f (x) 在 (a, b) 上 單調(diào)遞減.xyo)(xfy xyo)(xfy 0)( xf0)( xf第3頁/共27頁5例解1) 討論函數(shù) y = ln x 的單調(diào)性.2) 討論函數(shù) y = e xx1 的單調(diào)性.y 0時(shí), y 0,y 在 (0, +) 上單調(diào)遞增.解ln x 在

2、 (0, +) 上單調(diào)遞增.當(dāng) x 0時(shí), 第4頁/共27頁6解f (x) = 6 x218 x + 12= 6 (x1)( x 2)令 f (x) = 0 得:x1 = 1, x2 = 2當(dāng) x 0, 在 (, 1) 上單調(diào)遞增;當(dāng) 1 x 2時(shí), f (x) 0, 在 (1, 2) 上單調(diào)遞減;當(dāng) 2 x 0, 在 (2, +) 上單調(diào)遞增.求函數(shù) f (x) = 2 x3 9 x2 + 12 x 3 的增減性.例1第5頁/共27頁7求函數(shù) f (x) = 2 x3 9 x2 + 12 x 3 的增減性.解f (x) = 6 x218 x + 12= 6 (x1)( x 2)令 f (x)

3、 = 0 得:x1 = 1, x2 = 2xy y(, 1)(1, 2)(2, +)12也可用列表法討論如下:00所以, 遞增區(qū)間為: (, 1) 和 (2, +); 遞減區(qū)間為: (1, 2).例1第6頁/共27頁8求函數(shù) f (x) = (x + 2)2(x 1)3 的單調(diào)區(qū)間.例2第7頁/共27頁9求函數(shù) f (x) = (x + 2)2(x 1)3 的單調(diào)區(qū)間.解f (x) = (x + 2)(5x + 4)( x 1)2令 f (x) = 0 得:xy y(, 2)1列表討論如下:x1 = 2, x2 = , x3 = 145(1, +)1(2, )4545( , 1)450 00遞

4、增區(qū)間為: (, 2) 和 ( , +); 45遞減區(qū)間為: (2, ).45例2第8頁/共27頁10求函數(shù) y = 的單調(diào)性.解當(dāng) x 0時(shí), f (x) 0, 在 (, 0) 上單調(diào)遞減;當(dāng) 0 x 0, 在 (0, +) 上單調(diào)遞增.32x當(dāng) x = 0時(shí), 導(dǎo)數(shù)不存在.例3第9頁/共27頁11導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)注意: 區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響 區(qū)間的單調(diào)性.例如,3xy .),(上上嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)增增加加但但在在 ,032 xy y2O24224x y=x3 駐點(diǎn), 0)0( y方法: 用駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)來劃分函數(shù)的定義區(qū)間, 然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)符號.

5、總結(jié)第10頁/共27頁12利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式例4證當(dāng) x 0 時(shí), 證明 x ln(1 + x).設(shè) f (x) = x ln(1 + x)則即 x ln(1 + x).而 f (0) = 0, f (x) f (0) = 0. 當(dāng) x 0 時(shí), f (x) f (0). 在 (0, +) 上單調(diào)遞增f (x) 在 (0, +)上連續(xù), 在 (0, +) 內(nèi)可導(dǎo), 且 f (x) 0第11頁/共27頁13.0)( ,1e xxx證證明明不不等等式式例5證綜上所述, 當(dāng) x 0 時(shí), 總有 e x 1 + x令 f (x) = e x (1 + x)則 f (x) = e x1當(dāng) x 0

6、 時(shí), f (x) 0, f (x) 在 (0, +) 為增函數(shù)即 e x 1 + x f (x) f (0) = 0. 當(dāng) x 0 時(shí), f (x) 1 + x f (x) f (0) = 0. 第12頁/共27頁14利用函數(shù)的單調(diào)性討論方程的根由連續(xù)函數(shù)的介值定理知, 例6證證明方程 有且只有一個(gè)實(shí)根.設(shè)f (x) 在 (0, 1) 內(nèi)至少有一個(gè)根.又因?yàn)樗? f (x) 在 (0, 1) 內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根.f (x) 在 (0, 1) 上單調(diào)遞增.第13頁/共27頁15問題: 如何研究曲線的彎曲方向?xyoNABM第14頁/共27頁16函數(shù)曲線除了有上升和下降外, 還有什么特點(diǎn)？第1

7、5頁/共27頁17曲線凹向的定義 如果在某區(qū)間內(nèi), 曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方, 則稱曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是上凹的; 如果在某區(qū)間內(nèi), 曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方, 則稱曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是下凹的.上凹下凹第16頁/共27頁18曲線凹向的定義設(shè) f (x) 在 a, b 上連續(xù), 在 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo). 如果對(a, b) 中任意一點(diǎn) x0, 總成立:f (x) ( 0, x(a, b) 且 x x0則稱曲線在 a, b上是上 (下) 凹的. 連續(xù)曲線在上凹與下凹的分界點(diǎn), 稱為拐點(diǎn).第17頁/共27頁19拐點(diǎn)上凹下凹當(dāng)曲線是上凹的時(shí)， f (x)單調(diào)增加。當(dāng)曲線是下凹的時(shí)， f

8、 (x)單調(diào)減少。曲線上凹與下凹的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。第18頁/共27頁20 xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞減遞減)(xf 0 y定理設(shè)函數(shù) f (x) 在 a, b 上連續(xù), 在 (a, b) 內(nèi)二階可導(dǎo).則曲線 y = f (x) 在 a, b 上是上凹的;(1) 如果 (2) 如果 則曲線 y = f (x) 在 a, b 上是下凹的;第19頁/共27頁21解,32xy ,6xy 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y；為下凹的為下凹的在在曲線曲線0 ,(時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y；在在為上凹的為上凹的曲線曲線), 0 x yO3xy 求函數(shù) y

9、 = x3 的上凹、下凹區(qū)間及拐點(diǎn).拐點(diǎn)為 (0, 0). 例7第20頁/共27頁22得解求函數(shù) y = 3x 4 4 x 3 + 1的上凹、下凹區(qū)間及拐點(diǎn).x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00上凹下凹上凹拐點(diǎn)拐點(diǎn))1 , 0()2711,32(令例8第21頁/共27頁23拐點(diǎn)的求法：1. 找出二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)；2. 若它兩邊的二階導(dǎo)數(shù)值異號, 則為拐點(diǎn); 若同號, 則不是拐點(diǎn).第22頁/共27頁24求曲線 y = 的拐點(diǎn).解當(dāng) x 0 時(shí),3xx = 0 是不可導(dǎo)點(diǎn), 都不存在. 點(diǎn) (0, 0) 是曲線 的拐點(diǎn).當(dāng) x 0當(dāng) x 0 時(shí), 0例9第23頁/共27頁