大學(xué)微積分入門PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1大學(xué)微積分入門大學(xué)微積分入門abxyo? A曲邊梯形由連續(xù)曲線曲邊梯形由連續(xù)曲線實例實例1 1 （求曲邊梯形的面積）（求曲邊梯形的面積）)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成.)(xfy 第1頁/共98頁abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積（四個小矩形）（四個小矩形）（九個小矩形）（九個小矩形）第2頁/共98頁曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形如圖所示，,1210bxxxxxabann 個分點，個分點，內(nèi)插入若干內(nèi)插入

2、若干在區(qū)間在區(qū)間abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba長度為長度為，個小區(qū)間個小區(qū)間分成分成把區(qū)間把區(qū)間，上任取一點上任取一點在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間iiixx ,1 iiixfA )( 為高的小矩形面積為為高的小矩形面積為為底，為底，以以)(,1iiifxx 第3頁/共98頁iniixfA )(1 曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積的近似值為iniixfA )(lim10 12,()max,(00)nxxxxxx當(dāng)分割無限加細(xì) 記小區(qū)間的最大長度或者趨近于零或者時，曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為第4頁/共98頁實例實例2 2 （求變速直線運(yùn)動的路程）（求變速

3、直線運(yùn)動的路程）思路思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細(xì)得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值分過程求得路程的精確值第5頁/共98頁（1）分割）分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某時刻的速度某時刻的速度（2）求和）求和iinitvs )(1 （3）取極限）取極限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精確值路程的精確值第6頁/共98頁設(shè)

4、設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，如如果果不不論論對對,ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干個個分分點點bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個個小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一一點點i （iix ），作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( i并作和并作和iinixfS )(1 ，定義定義第7頁/共98頁怎怎樣樣的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積分區(qū)間積分區(qū)間,ba也也不不論

5、論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點點i 怎樣的取法，怎樣的取法，和和S總趨于總趨于確定的極限確定的極限I，在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和第8頁/共98頁注意：注意：（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關(guān)關(guān)， badxxf)( badttf)( baduuf)(（3 3）當(dāng)函數(shù)）當(dāng)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的定積分存在時，上的定積分存在時，而而與與積積分分變變量量的的字字母母無無關(guān)關(guān).稱稱)(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上上可積可積.第9頁/共98頁 當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)

6、續(xù)時時，定理定理1 1定理定理2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上有界，上有界，稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. .且且 只只 有有 有有 限限 個個 第第 一一 類類 的的間間 斷斷 點點 ， 則則)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. .第10頁/共98頁, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值的負(fù)值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 第11頁/共98頁幾何意義：幾何意義：積取負(fù)號積取負(fù)號軸下方的面軸下方的面在在軸上方的面積取正號；軸上方的面積取正號；在在數(shù)

7、和數(shù)和之間的各部分面積的代之間的各部分面積的代直線直線的圖形及兩條的圖形及兩條軸、函數(shù)軸、函數(shù)它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)( 第12頁/共98頁例例1 1 利用定義計算定積分利用定義計算定積分.102dxx 解解將將1 , 0n等等分分，分分點點為為nixi ，(ni, 2 , 1 )小區(qū)間小區(qū)間,1iixx 的長度的長度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx 第13頁/共98頁nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn0 xn dxx 102ii

8、nix 210lim nnn121161lim.31 第14頁/共98頁第15頁/共98頁證證 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）性質(zhì)性質(zhì)1 1第16頁/共98頁 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù)).證證 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )

9、(lim10 .)( badxxfk性質(zhì)性質(zhì)2 2第17頁/共98頁 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.補(bǔ)充補(bǔ)充：不論：不論 的相對位置如何的相對位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）則則假設(shè)假設(shè)bca 性質(zhì)性質(zhì)3 3第18頁/共98頁dxba 1dxba ab .則則0)( dxxfba. . )(ba 證證, 0)( xf, 0)( if), 2

10、, 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性質(zhì)性質(zhì)4 4性質(zhì)性質(zhì)5 5如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)( xf，第19頁/共98頁例例 1 1 比較積分值比較積分值dxex 20和和dxx 20的大小的大小.解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 可以直接作出答案可以直接作出答案第20頁/共98頁性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論的推論：證證),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba,

11、 0)()( babadxxfdxxg于是于是 dxxfba )( dxxgba )(.則則dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，（1）第21頁/共98頁dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 證證, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.說明：說明： 可積性是顯然的可積性是顯然的.|)(xf|在區(qū)間在區(qū)間,ba上的上的性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論的推論：（2）第22頁/共98頁設(shè)設(shè)M及及m分分別別是是函函數(shù)數(shù)證證,)(Mxfm ,)( baba

12、baMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）則則 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性質(zhì)性質(zhì)6 6曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 夾在兩個矩形之間夾在兩個矩形之間第23頁/共98頁解解,sin)(xxxf 22cossincos (tan )( )0 xxxx xxfxxx2,4x)(xf在在2,4 上上單單調(diào)調(diào)下下降降,例例2 不計算定積分不計算定積分 估計估計 的大小的大小dxxx 24sin2424222(),(),42,24

13、42sin22,441sin2.22Mfmfbaxdxxxdxx第24頁/共98頁如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，證證Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知則則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 7（Th5.1 Th5.1 定積分第一中值定理）定積分第一中值定理）積分中值公式積分中值公式第25頁/共98頁使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在區(qū)間在區(qū)

14、間,ba上至少存在一上至少存在一個點個點 ，即即積分中值公式的幾何解釋：積分中值公式的幾何解釋：xyoab )( f使使得得以以區(qū)區(qū)間間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為曲邊的曲邊梯形的面積為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為等于同一底邊而高為)( f的的一一個個矩矩形形的的面面積積。第26頁/共98頁Th5.2(Th5.2(推廣的積分第一中值定理）推廣的積分第一中值定理）第27頁/共98頁 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上連續(xù)，并且設(shè)上連續(xù)，并且設(shè)x為為,ba上的一點，上的一點， xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)(記記.)()( xadttfx積分

15、上限函數(shù)積分上限函數(shù) 如如果果上上限限x在在區(qū)區(qū)間間,ba上上任任意意變變動動，則則對對于于每每一一個個取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個個對對應(yīng)應(yīng)值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個個函函數(shù)數(shù)，第28頁/共98頁abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa xx 證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x.)()( xadttfx第29頁/共98

16、頁 dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由積分中值定理得由積分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )(xx第30頁/共98頁計算下列導(dǎo)數(shù)計算下列導(dǎo)數(shù)xtxtxtdtetdxddtedxddtedxdcos1211222) 3()2() 1 (第31頁/共98頁 如如果果)(tf連連續(xù)續(xù)，)(xa、)(xb可可導(dǎo)導(dǎo)，則則dttfxFxbxa )()()()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xF 為為補(bǔ)充補(bǔ)充 )()()()(xaxafxbxbf 證證 dttfxFxaxb)()(0)()

17、(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF第32頁/共98頁例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：這是這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.第33頁/共98頁定理定理2 2（原函數(shù)存在定理）（原函數(shù)存在定理） 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上

18、限的函上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一個上的一個原函數(shù)原函數(shù). .定理的重要意義：定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系間的聯(lián)系.第34頁/共98頁定理定理 3 3（微積分基本公式）（微積分基本公式）如如果果)(xF是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，則則)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù), 已知

19、已知)(xF是是)(xf的一個原函數(shù)，的一個原函數(shù)，CxxF )()(,bax 證證第35頁/共98頁令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式第36頁/共98頁)()()(aFbFdxxfba 微積分基本公式表明：微積分基本公式表明： baxF)( 一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間,ba上的定積分等于上的定積分等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間,ba上的增量上的增量.注意注意當(dāng)當(dāng)ba 時，時，)()(

20、)(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.第37頁/共98頁例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上規(guī)規(guī)定定當(dāng)當(dāng)1 x時時，5)( xf, 102152dxxdx原式原式. 6 xyo12第38頁/共98頁例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxx

21、xxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 第39頁/共98頁, )()(, ,)(xfxFbaCxf且設(shè)則有1. 微積分基本公式xxfbad)(積分中值定理)(abF)()(aFbF微分中值定理)(abf牛頓 萊布尼茨公式第40頁/共98頁定理定理 假假設(shè)設(shè)（1 1）)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)；（3 3）當(dāng)）當(dāng)t在區(qū)間在區(qū)間, 上變化時，上變化時，)(tx 的值的值在在,ba上變化，且上變化，且a )( 、b )( ， 則則 有有dtttfdxxfba )()()(. .第41頁/共98頁證證設(shè)設(shè))(xF是是)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，)

22、,()()(aFbFdxxfba ),()(tFt dtdxdxdFt )()()(txf ),()(ttf ),()()()( dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一個個原原函函數(shù)數(shù).第42頁/共98頁a )( 、b )( ,)()( )()( FF ),()(aFbF )()()(aFbFdxxfba )()( .)()(dtttf 注意注意 當(dāng)當(dāng) 時，換元公式仍成立時，換元公式仍成立.第43頁/共98頁應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意:（1）（2）第44頁/共98頁250cossin.xxdx例例1 1 計算計算.ln43eexxdx例例2 2 計算計算第45頁/共98頁

23、例例1 1 計算計算.sincos205 xdxx222550060cossincos( cos )cos11(0).666xxdxxdxx 解湊微分是第一類換元積分法，特點是不要明顯地?fù)Q元，也就不要更換積分的上下限。第46頁/共98頁例例2 2 計算計算解解原式原式)2143(2ln2lnlnln434343eeeeeexxxdxxdx.ln43eexxdx第47頁/共98頁例例3 3 計算計算解解23xdx第48頁/共98頁第49頁/共98頁例例4 4 計算計算解解12122.11dxxx令令,sintx 1x,2t21x6 t,costdtdx 原式原式22222666coscotsin

24、cossin(cotcot)(03)326tdtdttttt 明顯換元第50頁/共98頁證證,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx ,第51頁/共98頁 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 在在 0)(adxxf中中令令tx ,第52頁/共98頁奇函數(shù)奇函數(shù)例例6 6 計算計算解解.11cos21122

25、 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積第53頁/共98頁總結(jié)：總結(jié)： 1、定積分公式、定積分公式2、定積分計算方法（直接代入，湊微分，、定積分計算方法（直接代入，湊微分，根式代換，三角代換）根式代換，三角代換）3、根式和三角代換為明顯的代換，所以換、根式和三角代換為明顯的代換，所以換元要換上下限元要換上下限4、 介紹了積分上限函數(shù)介紹了積分上限函數(shù)5、積分上限函數(shù)是原函數(shù)、積分上限函數(shù)是原函數(shù)6、計算上限函數(shù)的

26、導(dǎo)數(shù)、計算上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第54頁/共98頁例例 7 7 若若)(xf在在 1 , 0上連續(xù)，證明上連續(xù)，證明 （1） 2200)(cos)(sindxxfdxxf; （2） 00)(sin2)(sindxxfdxxxf. 由此計算由此計算 02cos1sindxxxx. 證證（1）設(shè)設(shè)tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t第55頁/共98頁 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxftx 2第56頁/共98頁（2）tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 d

27、ttft 由此計算由此計算 00)(sin2)(sindxxfdxxxf 02cos1sindxxxx設(shè)設(shè)第57頁/共98頁 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf第58頁/共98頁 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xu、)(xv在在區(qū)區(qū)間間 ba,上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則有有 bababavduuvudv. .定積分的分部積分公式定積

28、分的分部積分公式推導(dǎo)推導(dǎo) ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv第59頁/共98頁例例 計算計算解解.ln1exdx第60頁/共98頁例例2 2 計算計算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 則則第61頁/共98頁例例3 3 計算計算解解dxxex10例例4 4 計算計算dxxx10cos第62頁/共98頁例例5 5

29、 計算計算解解edxxx12ln第63頁/共98頁定義定義 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間), a上連續(xù)，取上連續(xù)，取ab ，如果極限，如果極限 babdxxf)(lim存在，則稱此極存在，則稱此極限為函數(shù)限為函數(shù))(xf在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間), a上的廣義積上的廣義積分，記作分，記作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim當(dāng)極限存在時，稱廣義積分收斂；當(dāng)極限不存在當(dāng)極限存在時，稱廣義積分收斂；當(dāng)極限不存在時，稱廣義積分發(fā)散時，稱廣義積分發(fā)散. .第64頁/共98頁類似地，設(shè)函數(shù)類似地，設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(b上連續(xù)，取上連續(xù)，取ba ，如果極限，如果

30、極限 baadxxf)(lim存在，則稱此極存在，則稱此極限為函數(shù)限為函數(shù))(xf在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間,(b上的廣義積上的廣義積分，記作分，記作 bdxxf)(. . bdxxf)( baadxxf)(lim當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .第65頁/共98頁 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間),( 上上連連續(xù)續(xù), ,如如果果廣廣義義積積分分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都都收收斂斂，則則稱稱上上述述兩兩廣廣義義積積分分之之和和為為函函數(shù)數(shù))(xf在在無無窮窮區(qū)區(qū)間間),( 上上的的廣廣義義積積分分，記

31、記作作 dxxf)(. . dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim極限存在稱廣義積分收斂；否則稱廣義積分發(fā)散極限存在稱廣義積分收斂；否則稱廣義積分發(fā)散. .第66頁/共98頁例例1 1 計算廣義積分計算廣義積分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx211sinxdx21cosx100cos2cos1coslimxx)()(lim)()()()(aFxFaFFxFdxxfxaa簡記為第67頁/共98頁例例1 1 計算廣義積分計算廣義積分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx b

32、bdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 第68頁/共98頁證證, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因此當(dāng)因此當(dāng)1 p時廣義積分收斂，其值為時廣義積分收斂，其值為11 p；當(dāng)當(dāng)1 p時廣義積分發(fā)散時廣義積分發(fā)散.第69頁/共98頁第70頁/共98頁第71頁/共98頁第72頁/共98頁第73頁/共98頁第74頁/共98頁第75頁/共98頁回顧回顧 曲邊梯形求面積的問題曲邊梯形求面積的問題 badxxfA)(曲曲 邊邊

33、梯梯 形形 由由 連連 續(xù)續(xù) 曲曲 線線)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成。ab xyo)(xfy 第76頁/共98頁第77頁/共98頁第78頁/共98頁ab xyo)(xfy iinixfA )(lim10 badxxf)(.)( badxxfxdxx dA面積元素面積元素第79頁/共98頁1. 直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲則xxfAd)(dxxfAbad)(邊梯形面積為 A ,Oxbay)(xfy xxdxybxa)(2xfy )(1xfy OxxxdxxfxfAbad)()(21xxf

34、xfAd)()(d21右圖所示圖形，面積元素為第80頁/共98頁xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfxfA)()(12xxxx x 第81頁/共98頁xxfxfAbad)()(21ybxa)(2xfy )(1xfy Ocxxfxfcad )()(21xxxdxxfxfbcd )()(12yyyAdcd)()(Oxy)(yx)(yxdcyyydxxfxfAd| )()(|d21有時也會選 y 為積分變量yyyAd| )()(|d第82頁/共98頁例例 1 1 計計算算由由兩兩條條拋拋

35、物物線線xy 2和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解（1）作圖）作圖（2）求出兩曲線的交點）求出兩曲線的交點)1 , 1()0 , 0(（3） 選選 為積分變量為積分變量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx （4）代公式）代公式 badxxfxfA)()(12第83頁/共98頁解解兩曲線的交點兩曲線的交點).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAAxy22 4 xy第84頁/共98頁(2) 求出交點；(3) 選擇合適的積分變量，確定積分區(qū)間，計算。(1

36、) 畫出草圖；第85頁/共98頁ab12222byax解解: 利用對稱性 , xyAdd所圍圖形的面積 . 有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax應(yīng)用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當(dāng) a = b 時得圓面積公式xxxdxyO aaxxb02d14第86頁/共98頁設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在則對應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為xxAVbad)(xabxxxd)(xA上連續(xù),1. 已知平行截面面積函數(shù)的立體體積已知平行截面面積函數(shù)的立體體積第87頁/共98頁并與底