清華大學微積分(高等數(shù)學)課件第20講定積分的應用(二)

1、2021-10-131作作 業(yè)業(yè)p218 綜合題綜合題 6. 7. 13. 16. 復習復習: p198218預習預習: p2202352021-10-132 第二十講第二十講 定積分的應用定積分的應用（二）（二）一、幾何應用一、幾何應用(續(xù)續(xù))二、物理應用二、物理應用2021-10-133xdxx mtxabyo)(xfy （五）旋轉體的側面積（五）旋轉體的側面積用切線用切線mt繞繞x軸軸旋轉所得圓臺的旋轉所得圓臺的側面積近似側面積近似2021-10-134dldyydldldyyy 2)(圓圓臺臺側側面面積積得得側側面面積積微微元元：略略去去！時時當當),(,0dxodldydx dxyy

2、ydlds2122 badxyys212 側側面面積積2021-10-135)0(.)()()(8222basxabyx 面積面積表表的的環(huán)體環(huán)體旋轉體旋轉體軸旋轉所得軸旋轉所得繞繞求圓求圓例例xya aob上上半半圓圓方方程程221xaby 下下半半圓圓方方程程222xaby 22222221xaxyyy 2221xaay 解解2021-10-136故故側側面面積積之之和和軸軸旋旋轉轉的的繞繞所所求求面面積積為為上上、下下半半圓圓,x aadxyydxyyss02220211114142 dxxaaxabxaba2202222 )()(4 axadxab0228 abaxaba204arcs

3、in8| 2021-10-137遵遵循循萬萬有有引引力力定定律律兩兩質質點點之之間間的的引引力力 ,221rmmkf 二、物理應用二、物理應用（一）引力問題（一）引力問題.,.,2,1famml引引力力求求細細桿桿對對質質點點的的與與桿桿的的近近端端的的距距離離為為位位于于細細桿桿所所在在直直線線上上的的質質點點一一質質量量為為另另有有質質量量為為長長為為設設有有一一均均勻勻細細桿桿例例aal 2ommxxdxx 解解2021-10-1382,laa 分分割割區(qū)區(qū)間間dxlmdxxx2:,質質量量視視為為質質點點取取小小區(qū)區(qū)間間 dxxlkmmxdxmkdflm22212)( 得得到到細細桿桿

4、對對質質點點的的引引力力求求積積分分到到從從,2laa laadxxlkmmf2212|2)1(2laaxlkmm )2(laakmm 2021-10-139.,. 12fa求求細細桿桿對對質質點點的的引引力力距距桿桿的的中中心心為為的的垂垂直直平平分分線線上上質質點點位位于于細細桿桿細細桿桿、質質點點同同例例例例xyoll adf 向量加法向量加法xdfydfxdxx 解解13b b2021-10-1310,yxfff 設設引引力力., 0,yxff只只須須求求故故對對稱稱性性有有質質點點關關于于細細桿桿的的位位置置具具由由于于細細桿桿均均勻勻 ,ll 分分割割區(qū)區(qū)間間dxlmdxxx2:,

5、質質量量視視為為質質點點取取小小區(qū)區(qū)間間 dxaxlkmmaxdxmkfdlm2222212)( cosfddfy dxaxlkmma2322)(12 2021-10-1311 llydxaxlkmmaf2322)(1222alakmm 22,0alakmmf線線并并指指向向細細桿桿方方向向沿沿細細桿桿的的垂垂直直平平分分引引力力大大小小為為22alakmmf 2021-10-1312abxxdxx dxxfdw)( badxxfw)(所所做做的的功功變變力力移移到到求求物物體體從從問問題題)(:xfbxax （二）變力做功問題（二）變力做功問題功的微元功的微元2021-10-1313,ba分

6、分割割區(qū)區(qū)間間視視為為常常力力做做功功取取小小區(qū)區(qū)間間,dyyy 功功的的微微元元dyyfdwy)( babayylydykmmdyyfw22)(lnln2222allabllblkmm 解解.23wba引引力力所所做做的的功功求求克克服服處處處處移移至至距距桿桿的的中中心心為為中中心心為為由由距距桿桿的的中中的的質質點點沿沿垂垂直直平平分分線線將將例例例例9知知由由例例22021-10-13141a3anaia2aixiyxyo)(imiiiymxa軸軸的的靜靜力力矩矩對對質質點點iiixmya軸軸的的靜靜力力矩矩對對質質點點（三）靜力矩和質心（三）靜力矩和質心1. 質點系的質心質點系的質心

7、2021-10-1315 niiixymmx1軸軸的的靜靜力力矩矩：質質點點系系對對 niimm1質質點點系系總總質質量量： niiiyxmmy1軸軸的的靜靜力力矩矩：質質點點系系對對),(yx設設質質心心為為：xmmymmyx ,由由靜靜力力矩矩定定律律知知mxmmmxniiiy 1mymmmyniiix 12021-10-1316)(質質量量均均勻勻分分布布常常數(shù)數(shù)設設線線密密度度 dlyyxxo,0l分分割割弧弧長長區(qū)區(qū)間間任任取取一一小小區(qū)區(qū)間間),(yx視視為為質質點點：,dlll dldm ab質量微元質量微元2. 平面曲線的質心平面曲線的質心2021-10-1317靜靜力力矩矩微

8、微元元：dlxdmdlydmyx ,于于是是得得,00 llxydldlym ldldlmll 00 llydlxdlxm00 質質心心坐坐標標lxdllxdlmmxlly 00 lydllydlmmyllx 00 2021-10-1318xdxx xyo)(xfy ab常常數(shù)數(shù)設設面面密密度度 2y3. 平面薄板的質心平面薄板的質心2021-10-1319靜靜力力矩矩：,212 baxdxym bayxydxm baydxm 質質量量：質質心心坐坐標標：, babaydxxydxx babaydxdxyy2212021-10-1320.2323,sin1圖圖形形的的重重心心坐坐標標所所夾夾區(qū)

9、區(qū)域域軸軸、直直線線部部分分與與上上的的在在區(qū)區(qū)間間求求曲曲線線例例 xxxyxysin xyo 23解解2021-10-1321 23)sin( dxxxmy1sin23 xdxm 2323coscos| xdxxx1 232sin21 xdxmx 23)2cos1 (41 dxx8)2sin21(41|23 xx2021-10-13221 mmxy8 mmyx重重心心坐坐標標：)8, 1( 2021-10-1323.)cos1(2圖圖形形的的重重心心坐坐標標所所圍圍區(qū)區(qū)域域求求心心臟臟線線例例 a 022)cos1(212dam 2042cos8 tdta 0422cos4da223a 由由對對稱稱性性知知0 y