2021-2021版高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.1.2演繹推理學(xué)案新人教B版選修2-2

1、2. 1.2 演繹推理【明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.理解演繹推理的意義.2.掌握演繹推理的根本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理.3. 了解合情推理和演繹推理之間的區(qū)別和聯(lián)系.填要點(diǎn)記疑點(diǎn)1演繹推理由概念的定義或一些真命題，依照一定的邏輯規(guī)那么得到正確結(jié)論的過程,通常叫做演繹推理.2演繹推理的特征當(dāng)前提為真時(shí)，結(jié)論必然為真.3.三段論推理，三段論的一般表示M是P, S是M所以，S是P.探要點(diǎn)究所然情境導(dǎo)學(xué)小明是一名高二年級(jí)的學(xué)生，17歲，迷戀上網(wǎng)絡(luò)，沉迷于虛擬的世界當(dāng)中.由于每月的零花錢不夠用，便向親戚鄰人要錢，但這仍然滿足不了需求，于是就產(chǎn)生了歹念，強(qiáng)行向路人 搶取錢財(cái).但小明卻說我是未成年人而且就搶

2、了50元，這應(yīng)該不會(huì)很嚴(yán)重吧？如果你是法官，你會(huì)如何判決呢？小明到底是不是犯罪呢？探究點(diǎn)一演繹推理與三段論思考1分析下面幾個(gè)推理，找出它們的共同點(diǎn).(1) 所有的金屬都能導(dǎo)電，鈾是金屬，所以鈾能夠?qū)щ?；一切奇?shù)都不能被2整除，(2 1+ 1)是奇數(shù)，所以(2 100 + 1)不能被2整除； 三角函數(shù)都是周期函數(shù)，tan a是三角函數(shù)，因此tan a是周期函數(shù)； 兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).如果/A與/ B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，那么/A+/ B= 180.答 思考1中的推理都是從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論.思考2 演繹推理有什么特點(diǎn)？演繹推理的結(jié)論一定正確嗎？答演繹推理是從一

3、般到特殊的推理.演繹推理的前提是一般性原理，結(jié)論是蘊(yùn)含于前提之中的個(gè)別、特殊事實(shí).在演繹推理中，前提和結(jié)論之間存在必然的聯(lián)系，只要前提是真實(shí)的，推理形式是正確的， 結(jié)論必定是正確的.思考 3 演繹推理一般是怎樣的模式？答 “三段論是演繹推理的一般模式，它包括：(1) 大前提的一般原理； (2) 小前提所研究的特殊情況； (3) 結(jié)論根據(jù)一般 原理，對(duì)特殊情況做出的判斷例 1 將以下演繹推理寫成三段論的形式(1) 平行四邊形的對(duì)角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對(duì)角線互相平分；(2) 等腰三角形的兩底角相等，/A, / B是等腰三角形的底角，那么/A=Z B; 通項(xiàng)公式為an= 2n +

4、 3的數(shù)列an為等差數(shù)列.解 (1) 平行四邊形的對(duì)角線互相平分,大前提菱形是平行四邊形,小前提 菱形的對(duì)角線互相平分結(jié)論(2) 等腰三角形的兩底角相等,大前提/ A, / B是等腰三角形的底角，小前提/ A=/ B.結(jié)論 數(shù)列an中，如果當(dāng)n?2時(shí)，an an1為常數(shù)，那么an為等差數(shù)列，大前提通項(xiàng)公式為an= 2n+ 3時(shí)，假設(shè)n?2,那么 an an1= 2n+ 3 2( n 1) + 3 = 2(常數(shù))，小前提通項(xiàng)公式為an= 2n+ 3的數(shù)列a.為等差數(shù)列結(jié)論反思與感悟 用三段論寫推理過程時(shí), 關(guān)鍵是明確大、 小前提, 三段論中的大前提提供了一 個(gè)一般性的原理, 小前提指出了一種特殊

5、情況, 兩個(gè)命題結(jié)合起來, 揭示了一般原理與特殊 情況的內(nèi)在聯(lián)系.有時(shí)可省略小前提， 有時(shí)甚至也可把大前提與小前提都省略，在尋找大前提時(shí)，可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提.跟蹤訓(xùn)練 1 把以下推斷寫成三段論的形式：(1) 因?yàn)?ABC三邊的長(zhǎng)依次為 3,4,5，所以 ABC是直角三角形；(2) 函數(shù) y= 2x 5 的圖象是一條直線;y = sin x(x R)是周期函數(shù).解 (1) 一條邊的平方等于其他兩條邊平方和的三角形是直角三角形,大前提 ABC三邊的長(zhǎng)依次為 3,4,5，而32+ 42= 52,小前提 ABC是直角三角形.結(jié)論(2) 一次函數(shù)y= kx+ b(k豐0)的圖象是一條

6、直線，大前提函數(shù) y= 2x5 是一次函數(shù),小前提函數(shù) y= 2x5 的圖象是一條直線.結(jié)論(3) 三角函數(shù)是周期函數(shù),大前提y= sin x(x R) 是三角函數(shù),小前提y= sin x(x R)是周期函數(shù).結(jié)論探究點(diǎn)二三段論推理中的易錯(cuò)點(diǎn)例2指出以下推理中的錯(cuò)誤，并分析產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因：(1) 整數(shù)是自然數(shù)，大前提3是整數(shù)，小前提3是自然數(shù).結(jié)論常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為 0,大前提函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為0，小前提f(x)為常數(shù)函數(shù).結(jié)論(3) 無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，大前提1(0.333 33)是無限不循環(huán)小數(shù)，小前提3是無理數(shù).結(jié)論解(1)結(jié)論是錯(cuò)誤的，原因是大前提錯(cuò)誤.自然數(shù)是非負(fù)整數(shù).(2)

7、 結(jié)論是錯(cuò)誤的，原因是推理形式錯(cuò)誤.大前提指出的一般性原理中結(jié)論為“導(dǎo)函數(shù)為0，因此演繹推理的結(jié)論也應(yīng)為“導(dǎo)函數(shù)為0.1(3) 結(jié)論是錯(cuò)誤的，原因是小前提錯(cuò)誤.孑0.333 33)是循環(huán)小數(shù)而不是無限不循環(huán)小數(shù).反思與感悟 演繹推理的結(jié)論是否正確，取決于該推理的大前提、小前提和推理形式是否全 部正確，因此，分析推理中的錯(cuò)因?qū)嵸|(zhì)就是判斷大前提、小前提和推理形式是否正確.跟蹤訓(xùn)練2指出以下推理中的錯(cuò)誤，并分析產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因：(1) 因?yàn)橹袊?guó)的大學(xué)分布在中國(guó)各地，大前提北京大學(xué)是中國(guó)的大學(xué)，小前提所以北京大學(xué)分布在中國(guó)各地.結(jié)論(2) 因?yàn)樗羞呴L(zhǎng)都相等的凸多邊形是正多邊形，大前提而菱形是所有邊長(zhǎng)都

8、相等的凸多邊形，小前提所以菱形是正多邊形.結(jié)論解(1)推理形式錯(cuò)誤.大前提中的M是“中國(guó)的大學(xué)，它表示中國(guó)的各所大學(xué)，而小前提中M雖然也是“中國(guó)的大學(xué)，但它表示中國(guó)的一所大學(xué)，二者是兩個(gè)不同的概念，故推理形式錯(cuò)誤.(2)結(jié)論是錯(cuò)誤的，原因是大前提錯(cuò)誤.因?yàn)樗羞呴L(zhǎng)都相等，內(nèi)角也都相等 的凸多邊形才是正多邊形.探究點(diǎn)三三段論的應(yīng)用例3 如圖，在銳角三角形 ABC中, ADL BC, BEL AC, D, E是垂足，求證：AB的中點(diǎn)M到 點(diǎn)D, E的距離相等.證明1因?yàn)橛幸粋€(gè)內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形，大前提在厶 ABD中, ADL BC 即/ ADB= 90，小前提所以 ABD是直角三角形結(jié)

9、論同理， AEB也是直角三角形.2因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯€等于斜邊的一半，大前提因?yàn)镈M是直角三角形 ABD斜邊上的中線，小前提所以DM= jAB結(jié)論1同理EM= jAB所以DM= EM反思與感悟 應(yīng)用三段論證明問題時(shí)， 要充分挖掘題目外在和內(nèi)在條件 小前提，根據(jù)需要 引入相關(guān)的適用的定理和性質(zhì) 大前提，并保證每一步的推理都是正確的， 嚴(yán)密的，才能得 出正確的結(jié)論如果大前提是顯然的，那么可以省略.跟蹤訓(xùn)練3：在空間四邊形 ABCD，點(diǎn)E, F分別是AB, AD的中點(diǎn)，如下圖，求 證：EF/平面BCD證明三角形的中位線平行于底邊，大前提點(diǎn)E、F分別是AB AD的中點(diǎn)，小前提所以EF/ BD結(jié)論

10、假設(shè)平面外一條直線平行于平面內(nèi)一條直線那么直線與此平面平行，大前提EF?平面BCD BD?平面BCD EF/ BD小前提EF/平面BCD結(jié)論當(dāng)堂測(cè)育疑缺1 下面幾種推理過程是演繹推理的是A. 兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果/A與/ B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，那么/ A+Z B=180B. 某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人數(shù)超過50人C. 由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四邊形的性質(zhì), 1 1D. 在數(shù)列an中ai= 1, an = an1+n?2，由此歸納出an的通項(xiàng)公式2an1答案 A解析 A是演繹推理，B、D是歸納推理，C是類比推理.2. 正方形的對(duì)角線

11、相等；矩形的對(duì)角線相等；正方形是矩形.根據(jù)“三段論推理出一個(gè)結(jié)論.那么這個(gè)結(jié)論是 .答案正方形的對(duì)角線相等解析根據(jù)演繹推理的特點(diǎn)，正方形與矩形是特殊與一般的關(guān)系，所以結(jié)論是正方形的對(duì)角線相等.3. 把“函數(shù)y= x2+ x+ 1的圖象是一條拋物線恢復(fù)成三段論，那么大前提： ;小前提：；結(jié)論：.答案 二次函數(shù)的圖象是一條拋物線函數(shù)y = x2+x + 1是二次函數(shù) 函數(shù)y = x2+ x+ 1的圖象是一條拋物線4. 如圖，在 ABC中, AOBC CD是 AB邊上的高，求證：/ ACD/ BCD證明：在厶ABC中,因?yàn)?CDL AB ACBC 所以ADBD,于是/ ACD/ BCD那么在上面證明的過程中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是 .只填序號(hào)答案解析 由AOBD得到/ ACD/ BCD勺