畢業(yè)論文-無窮小的比較與應(yīng)用

1、I 摘 要 無窮小量具有很好的性質(zhì),靈活運用這些性質(zhì),無論是在求極限的運算中,還是在正項 級數(shù)的斂散性判斷中,都可取到預(yù)想不到的效果,能達到羅比塔法則所不能取代的作用.通 過舉例,對比了不同情況下無窮小量的應(yīng)用以及在應(yīng)用過程中應(yīng)注意的一些性質(zhì)條件,不 僅使這些原本復(fù)雜的問題簡單化,而且可避免出現(xiàn)錯誤地應(yīng)用無窮小量. 關(guān)鍵詞：無窮小量;極限;洛必達法則;比較審斂法;優(yōu)越性 II ABSTRACT Equivalent Infinitesimal have good characters ,both in operation of test for Limit and determine whet

2、her the positive series converges or diverges , if these quality that apply flexibly can obtain more effect , the effection can not be replace by LHospital Rule. This paper give examples and compare some instance to pay attention to condition in application of Equivalent Limit , so the question can

3、be simply and avoid error in application. Keywords: equivalent infinitesimal; limitation; lhospitals rule; comparison test; superiority. III 目目 錄錄 1 引言 .1 2 無窮小量的概念及其重要性質(zhì).1 2.1 無窮小量的概念 .1 2.2 無窮小量的重要性質(zhì).2 2.3 無窮小量性質(zhì)的推廣.2 3 無窮小量的應(yīng)用.5 3.1 求函數(shù)的極限.5 3.2 無窮小量在近似計算中的應(yīng)用.6 3.3 利用無窮小量和泰勒公式求函數(shù)極限.6 3.4 無窮小量在判斷級

4、數(shù)收斂中的應(yīng)用 .7 4 無窮小量的優(yōu)勢.8 4. 1 運用無窮小量求函數(shù)極限的優(yōu)勢.8 4. 2 無窮小量在求函數(shù)極限過程中的優(yōu)勢.9 5 結(jié) 論.12 參 考 文 獻 .13 致 謝.14 1 1 引言 無窮小量概念是微積分理論中最基本的概念之一,但在微積分理論中無窮小量的性 質(zhì)僅僅在“無窮小的比較”中出現(xiàn)過,其他地方似乎都未涉及到.其實,在判斷廣義積分、 級數(shù)的斂散性,特別是在求極限的運算過程中,無窮小具有很好的性質(zhì),掌握并充分利用 好它的性質(zhì),往往會使一些復(fù)雜的問題簡單化,可起到事半功倍的效果,反之,則會錯誤 百出,有時還很難判斷錯在什么地方.因此,有必要對無窮小量的性質(zhì)進行深刻地認識

5、和 理解,以便恰當運用,達到簡化運算的目的. 2 無窮小量的概念及其重要性質(zhì) 這部分在同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編的高等數(shù)學(xué)、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系的數(shù)學(xué)分 析、馬振明老師和呂克噗老師的微分習(xí)題類型分析、張云霞老師的高等數(shù)學(xué)教學(xué) 以及 Song QB, Shen J Y. On illegal coping and distributing detection mechanism for digital goods J. Journal of Computer Research and Development 中做了詳細的講解,下面是我對 這部分的理解與總結(jié).推廣部分的性質(zhì)在書中未做證明,根據(jù)所學(xué)的知識

6、以及數(shù)學(xué)方法我 對其進行了證明. 2.12.1 無窮小量的概念 定義定義 若函數(shù)(包括數(shù)列)在某變化過程中以零為極限,則稱該函數(shù)為這個變化過2.11 程中的無窮小量. 如函數(shù), sinx, 1- cosx, ln(1+x)均為當x0 時的無窮小量.對 2 x 于數(shù)列只有一種情形, 即n, 如數(shù)列 為n時的無窮小量或稱為無窮小數(shù) 1 n 列. 注意： 1) 絕對值非常小的數(shù)不是無窮小量, 0 是唯一的是無窮小量的數(shù); 無窮小量無限 趨近于0 而又不等于0. 2) 無窮小量是變量, 與它的變化過程密切相關(guān),且在該變化過程中以零為極限. 如函數(shù) 當x 時的無窮小量,但當x1時不是無窮小量. 1 x

7、3）兩個（相同類型）無窮小量之和、差、積仍為無窮小量. 4）無窮小量與有界量的乘積為無窮小量. 無窮小量的比較無窮小量的比較2.12 2 1) 若存在正數(shù)K和L,使得在某上有,則稱與為當時的 0 () o Ux ( ) ( ) f x KL g x fg 0 xx 同階無窮小量.特別當 則稱與是同階無窮小. 0 ( ) lim(0) ( ) xx f x c c g x ( )f x( )g x 2) 若=1, 則稱與是無窮小量, 記為. ( ) lim ( ) f x g x ( )f x( )g x( )f x( )g x 3) 若= 0, 則稱是高階無窮小, 記作=. ( ) lim (

8、 ) f x g x ( )f x( )g x( )f x( ( )o g x 注: 并不是任意兩個無窮小均可比較, 如當x0 時,與 都是無窮小量, 但它 1 sinx x 2 x 們不能進行階的比較. 無窮小量的重要性質(zhì)2.2 設(shè) , 等均為同一自變量變化過程中的無窮小, 若 , 且 lim 存在,則 lim=lim （） 11111 11111 limlim(.lim.lim.limlim ） 若 ,則 . 性質(zhì)表明無窮小量量的商的極限求法.性質(zhì)表明無窮小量的傳遞性. 2.3 無窮小量性質(zhì)的推廣 , 且 lim=c(-1),則 +. 1 證明證明 因為 lim= 11 1 limlim(

9、) 11 1 11 limlim 11. cc 3 1 lim1 1 c c 所以 +. 而學(xué)生則往往在性質(zhì)(3)的應(yīng)用上忽略了“l(fā)im=c(-1)”這個條件,千篇一律認為 “,則有 + 在同一變化過程中, ,且存在,則 2( )f x( )x( )g x( )x 1 ( ) lim(1( ) x x =. 1 ( ) lim(1( ) g x f x 1 ( ) lim(1( ) x x 證明證明 因為 1 ( ) ln(1( ) lim(1( )exp(lim) ( ) g x f x f x g x = ln(1( ) ( )1 exp(limln(1( ) ln(1( ) ( )( )

10、 f xx x x g xx = ln(1( ) exp(lim) ( ) x x =. 1 ( ) lim(1( ) x x 故結(jié)論得證. 若 , 且 lim存在,則當0 且 lim存在,有 3 AB CD AB CD AB CD lim=lim. AB CD AB CD 證明證明 因為 , 11 1 AA ABBB AA AB BB 又 ,于是, , limlim1 AA BB lim(1)lim(1)0 AA BB 從而 4 =1, AB AB 即 ABAB 同理可證 .CDCD 故命題得證. 設(shè)在自變量的某一變化過程中, 、及、都是無 4 ( )f x( )g x( )h x 1( )

11、 f x 1( ) g x 1( ) h x 窮小量. 若、且存在且,則有( )f x 1( ) f x( )g x 1( ) g x 1 1 ( ) lim ( ) f x g x 1 1 ( ) lim1 ( ) f x g x .()fg 11 ()fg 若、且存在且,則有( )f x 1( ) f x( )g x 1( ) g x 1 1 ( ) lim ( ) f x g x 1 1 ( ) lim1 ( ) f x g x .()fg 11 ()fg 若、且存在且,則有( )f x 1( ) f x( )g x 1( ) g x( )h x 1( ) h x 1 1 ( ) lim

12、 ( ) f x g x 1 1 ( ) lim1 ( ) f x g x . 11 1 lim fgfg hh 證明證明 因為 =. 11 lim fg fg 11 1 1 1 lim 1 g fff g fff 1 1 1 1 (1) lim 1 (1) g ff g ff 又因為 , 1 1 limlim1 ff gg 故上式等于 1. 因為 5 =. 11 lim fg fg 11 1 1 1 lim 1 g fff g fff 1 1 1 1 (1) lim 1 (1) g ff g ff 又因為 , 1 1 limlim1 ff gg 故上式等于 1. 要證成立,只需證,因為 11

13、 1 lim fgfg hh 1 11 lim1 hfg hfg ,fg 11 fg( )h x 1( ) h x 所以結(jié)論得證. 性質(zhì)（1）、（3）的求極限中就使無窮小量的代換有了可能性,從而大大地簡化了 計算.但要注意條件“l(fā)im =c(-1)”,“ 0”的使用. AB CD 注意 1）需要注意的是在運用無窮小替換解題時,無窮小量一般只能在對積商的某一項 做替換,和差的替換是不行的. 2）以上性質(zhì)說明我們利用無窮小量的代換性質(zhì)將無窮小的等價替換推廣到和與 差的形式,并對的不定式極限的求解作了簡化,使其適用的函數(shù)類范圍擴大,從而簡化函 數(shù)極限的運算過程,對不定式極限的求解有很大的意義. 3

14、3無窮小量的應(yīng)用 無窮小量的應(yīng)用在馮錄祥老師的關(guān)于無窮小量量代換的一個注記、王斌老師的 用羅比塔法則求未定式極限的局限性的探討、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系的數(shù)學(xué)分析、盛 祥耀老師的高等數(shù)學(xué)、馬振明老師和呂克噗老師的微分習(xí)題類型分析、 Shivakumar N, G.Molina H. SCAM: A Copy Detection Mechanism for Digital Documents A. The 2nd International Conference in Theory and Practice of Digital LibrariesC. USA Austin Texas: s. n以及

15、劉玉璉老師和傅沛仁老師的數(shù)學(xué)分析講義中都有詳細的分析 與注解,在這一部分我只是按照自己的需要從中選取內(nèi)容,再加上自己篩選例題解答例 題寫出來的.請看下面的內(nèi)容： 求函數(shù)的極限3.1 6 在求極限中經(jīng)常用到的無窮小量有xsin xarcsin xtan xtanarcx -1, , ,( 0).ln(1)x x e1 cosx 21 2 x 1 x a lnxax 例例 1 求. 2 0 2tan lim 1 cos x x x 解解 當當0 時,.x1 cosx 21 2 x 2tan x2x 原式= 2 0 2 4 1 2 lim x x x = .8 例例 2 求. 3 0 tansin

16、lim x xx x 解解 原式= 3 0 sin1 cos lim cos x xx xx = (,) 2 3 0 1 2 lim cos x xx xx sin xx1 cosx 2 1 2 x = . 1 2 此題也可用洛必達法則做,但不能用性質(zhì)做. 所以,=0,不滿足性質(zhì)的條件,否則得出錯誤結(jié)論 0. 3 0 tansin lim x xx x 3 0 lim x xx x 無窮小量在近似計算中的應(yīng)用3.2 如：利用等價無窮小，在做近似計算，有時可以起到意想不到的效果， 例例 3 3 6 65 64 求的近似值 解解 因為時,0 x .11 n x x n 所以 . 66 651 12

17、.005208 6464 7 故 6 65 62.005175 64的準確值，保留小數(shù)點后位可得為 2.0052082.005175)/ 2.0051750.000016相對誤差為（這說明計算精度已經(jīng)很高 利用無窮小量和泰勒公式求函數(shù)極限3.3 例例 4 求極限 2 22 2 0 1 11 2 lim (cos)sin x x xx xex 解解 由于函數(shù)的分母中（0）,因此只需將函數(shù)分子中的與分母 2 sin x 2 xx 2 1x 中的 cosx 和分別用佩亞諾余項的麥克勞林公式表示,即： 2 x e , 2244 11 11() 28 xxxo x , 22 1 cos1( 2 xxo x ） . 2 22 e1o() x xx 所以 . 2 22 2 0 1 11 2 lim (cos)sin x x xx xex 4444 2 00 44 2 2 11 ()() 88 limlim 3 3o() () 1x 2 2 xx xo xxo x x xo x x 1 12 例例 5 由拉格朗日中值定理,對任