曲線積分重修PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1曲線積分重修曲線積分重修 Ldsyxf),(2.定義定義 設(shè)設(shè)L為為xOy面內(nèi)的一條光滑曲線弧，函數(shù)面內(nèi)的一條光滑曲線弧，函數(shù) f (x，y)在在L上有界。若對上有界。若對L的任意分割和對局部的任意取的任意分割和對局部的任意取點，點，乘積的和式乘積的和式 的極限總存在的極限總存在，則，則稱此極限為函數(shù)稱此極限為函數(shù)f(x,y)在曲線弧在曲線弧L上對弧長的曲線積分上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分，記作或第一類曲線積分，記作 Lniiiisfdsyxf00),(lim),( 即即其中其中f (x，y)叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)，L叫做積分弧段。叫做積分弧段。 依上定義，有依上定義，有 L

2、dsyxM),( LdsS niiiisf1),( 第1頁/共36頁3幾點說明幾點說明存在。存在。則則 Ldsyxf),(iiiniisfdszyxf ),(lim),(10 （3）如）如L是光滑的或分段光滑的簡單閉曲線，常記作是光滑的或分段光滑的簡單閉曲線，常記作： Ldsyxf),(（2）定義可推廣到空間的曲線）定義可推廣到空間的曲線上的曲線積分上的曲線積分（1）f (x，y)在在L上連續(xù)，上連續(xù)，第2頁/共36頁4對弧長的曲線積分的性質(zhì)對弧長的曲線積分的性質(zhì) LLLdsyxgkdsyxfkdsyxgkyxfk),(),(),(),(2121（1）關(guān)于被積函數(shù)的線性性質(zhì)）關(guān)于被積函數(shù)的線性

3、性質(zhì)（2）對于路徑的可加性）對于路徑的可加性 21LLLfdsfdsfds（3）無方向性）無方向性 BAABfdsfds其中其中L=L1+L2第3頁/共36頁（4）對稱性）對稱性 1) 如如L關(guān)于關(guān)于y軸對稱，軸對稱，L1是是L的右半支，則的右半支，則 1),(),( ,2),(),( , 0 ),(LLyxfyxffdsyxfyxfdsyxf若若若若當(dāng)當(dāng)L關(guān)于關(guān)于x軸對稱時有類似的結(jié)論軸對稱時有類似的結(jié)論。 第4頁/共36頁5. . 對弧長的曲線積分的計算方法對弧長的曲線積分的計算方法 1) 定理定理 設(shè)設(shè)L的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 : ),(),(tytx )( t)()()()(),()

4、,(22 dtttttfdsyxfL則則計算方法：化為對參數(shù)的定積分，計算方法：化為對參數(shù)的定積分，“一代一代”：將：將x= = (t),y= (t) , ,代入被積函數(shù)代入被積函數(shù)f (x，y)； “三定限三定限”：下限小上限大。：下限小上限大。 “二換二換”：將：將ds換成換成 dttt)()(22 “一代二換三定限一代二換三定限”第5頁/共36頁2) 幾種變形幾種變形如如L：y=y(x)，axb則則dxxyxyxfdsyxfbaL )(1)(,),(2如如L：x=x(y)， cyd則則dyyxyyxfdsyxfdcL )(1),(),(2如如 ),(ty )(tz tdttttfdszy

5、xf )()()(),(222),(:tx 第6頁/共36頁3) ) 舉例舉例 例例1. 1. 計計算算,d Lsy其中其中 L 是拋物線是拋物線2xy 與點與點 B (1,1) 之間的一段弧之間的一段弧 . 解解: :)10(:2 xxyLQ Lsy d 10 xxxd)2(12 xxxd41102 10232)41(121 x)155(121 上點上點 O (0,0)O1Lxy2xy ) 1 , 1 (B第7頁/共36頁axyxLdsyxL2:)(22222 ，其中，其中計算計算例例 202)cos1(2adaI32034| )sin(2aa 解：解： LaxdsI2 ,sin),cos1

6、(: ayaxLds=ad 20 aOxy第8頁/共36頁A(0,1,1)，B(1,3,1) ,)23(3_ ABdszyx計算計算例例解解： .2, 2 , 1 AB的方程為：的方程為：則則AB21211 zyx的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為x=t，y=1+2t，z=12t。(0t1)_ABdttttI441)21()21(2310 10)13(3dtt215233102 tt第9頁/共36頁, 134:)1(22 yxL Ldsxyyx)sin(4322 cdsyxayxL22222,:)2(為圓周為圓周已知已知例例4 填空填空 L的長度為的長度為a.1212)43(22adsdsyxLL 解解

7、(1)：, 134:22 yxL又又L關(guān)于關(guān)于x軸對稱，而軸對稱，而sin(xy)關(guān)于關(guān)于y為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，所以 Ldsxy0)sin(于是于是 I = 12a。 即即3x2+4y2=12，所以，所以2222)2(aadsdsyxcc 解解第10頁/共36頁例例5. 設(shè)設(shè) C 是下列曲線是下列曲線0,222 yxyayx所圍區(qū)域的邊界所圍區(qū)域的邊界, , 求求sICyxde22 2e)24( aa解解: : 分段積分分段積分xIaxde0 de40aa xaxd2e202 xyOa4xy 0yar ddas 第11頁/共36頁IIII、對、對坐標(biāo)的曲線積分坐標(biāo)的曲線積分 一、對坐標(biāo)的曲

8、線積分的概念與性質(zhì)一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì) 1對坐標(biāo)的曲線積分的定義對坐標(biāo)的曲線積分的定義 定義定義 設(shè)設(shè)L為為xOy面內(nèi)從點面內(nèi)從點A到點到點B的一條有向光滑曲的一條有向光滑曲線弧，函數(shù)線弧，函數(shù)P(x，y)、Q(x，y)在在L上有界。上有界。 niiiixP10),(lim 總存在，則稱此極限為函數(shù)總存在，則稱此極限為函數(shù)P(x，y)在有向曲線弧在有向曲線弧L上對坐標(biāo)上對坐標(biāo)x的曲線積分，記作的曲線積分，記作 LdxyxP),(若對若對 L 的任意分割和在局部弧段上任意取點的任意分割和在局部弧段上任意取點, 極限極限第12頁/共36頁則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)Q(x，y)在有

9、向曲線弧在有向曲線弧L上對坐標(biāo)上對坐標(biāo)y的曲線積分，記作的曲線積分，記作 總存在總存在類似地，如果極限類似地，如果極限 niiiiyQ10),(lim LdyyxQ),( niiiiLxPdxyxP10),(lim),( niiiiLyQdyyxQ10),(lim),( 即即其中其中P(x,y)、Q(x,y)叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)，L叫做積分弧段叫做積分弧段。即即 以上兩個積分也稱為第二類曲線積分。以上兩個積分也稱為第二類曲線積分。 第13頁/共36頁.,),(),(第二類曲線積分存在第二類曲線積分存在上連續(xù)時上連續(xù)時在光滑曲線弧在光滑曲線弧當(dāng)當(dāng)LyxQyxP2幾點說明幾點說明（1）可積性

10、）可積性 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(. LdsF（2）組合型）組合型 （3）可推廣到空間曲線的情形）可推廣到空間曲線的情形 空間有向曲線弧空間有向曲線弧. RdzQdyPdx變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功. LdsFw第14頁/共36頁.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP .),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 第15頁/共36頁3性質(zhì)性質(zhì) LLLdxyxgkdxyxfkdxyxfkyxfk),(),(),(),(2121（2）關(guān)于曲線積分路徑的可加性）關(guān)于曲線

11、積分路徑的可加性 21LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx其中其中L=L1+L2（方向一致）（方向一致） （3）方向性）方向性 LLQdyPdxQdyPdx（1）關(guān)于被積函數(shù)的線性性質(zhì)）關(guān)于被積函數(shù)的線性性質(zhì)即對坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān)即對坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).第16頁/共36頁二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算方法二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算方法 1.設(shè)設(shè)L的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 ),(),(tytx 當(dāng)參數(shù)當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地由單調(diào)地由變到變到時，點時，點M(x，y)從從L的起點的起點A沿沿L運動到終點運動到終點B。dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()()

12、,(),(),( 則則計算方法：化為對參數(shù)的定積分，計算方法：化為對參數(shù)的定積分，“一代二定限一代二定限”“一代一代”：將：將x= (t),y= (t) 代入被積式。代入被積式?！岸ㄏ薅ㄏ蕖保合孪蓿合孪奁瘘c，上限起點，上限終點，不一定終點，不一定有有 第17頁/共36頁2幾種變形幾種變形 （1）L由由y=y(x)給出時，將給出時，將x視作參數(shù)視作參數(shù)dxxyxyxQxyxPQdyPdxLba )()(,)(,a對應(yīng)對應(yīng)L的起點，的起點，b對應(yīng)對應(yīng)L的終點。的終點。 （2）L由由x=x(y)給出時，將給出時，將y視作參數(shù)。視作參數(shù)。 （3）對于空間曲線）對于空間曲線 LRdzQdyPdxdt

13、tRtQtP )()()(第18頁/共36頁其中其中L為拋物線為拋物線y2=x上從點上從點A(1，1)到點到點B(1，1)的一段?。ㄈ鐖D）的一段?。ㄈ鐖D） Lxydx計算計算例例1 LAOOBxydxxydxxydxdxxxdxxx 1001)(.5421023 dxx第二種方法：將所給積分化為對第二種方法：將所給積分化為對y的定積分來計算。的定積分來計算。.545 22)(1121142112 ydyydyyyyxydxL解：第一種方法：將所給積分化為對解：第一種方法：將所給積分化為對x的定積分來計的定積分來計算算. .A(1，1)B(1，1)xyO第19頁/共36頁.)0 ,()0 ,()

14、2(;)1(,2的直線段的直線段軸到點軸到點沿沿從點從點的上半圓周的上半圓周針方向繞行針方向繞行、圓心為原點、按逆時、圓心為原點、按逆時半徑為半徑為為為其中其中計算計算aBxaAaLdxyL 例例2解解,sincos:)1( ayaxL)0 ,(aA)0 ,( aB 原式原式 daa)sin(sin220 )(cos)cos1(203 da .343a , 0:)2( yL，變到變到從從aax 00 aadx原式原式第20頁/共36頁例3. 計算計算,dd22yxxyxL其中L為(1) 拋物線 ; 10:,:2xxyL(2) 拋物線 ;10:,:2yyxL(3) 有向折線 .:ABOAL解解:

15、 (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式y(tǒng)yy222yy d5104(3) 原式y(tǒng)xxyxOAdd22 01)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210dy11yxO第21頁/共36頁III、 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用 一一、格林公式、格林公式 1單連域與復(fù)連域單連域與復(fù)連域 設(shè)設(shè)D為平面區(qū)域，如果為平面區(qū)域，如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于分都屬于D，則稱，則稱D為平面單連通區(qū)域，否則稱為復(fù)為平面單連通區(qū)域，否則稱為復(fù)連通區(qū)域。連通區(qū)域。 D的邊界曲線的邊界曲線L的正向規(guī)定如下：當(dāng)觀察者沿

16、的正向規(guī)定如下：當(dāng)觀察者沿L的這的這個方向行走時，個方向行走時，D內(nèi)在他近處的那一部分總在它的內(nèi)在他近處的那一部分總在它的左邊。左邊。 單連域單連域DDDD復(fù)連域復(fù)連域DLDLl第22頁/共36頁2格林公式格林公式 設(shè)閉區(qū)域設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)圍成，函數(shù)P（x，y）及）及Q（x，y）在）在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有數(shù)，則有為單連通域為單連通域DQdyPdxdxdyyPxQLD.)( 為復(fù)連通域為復(fù)連通域DQdyPdxdxdyyPxQlLD.)( 第23頁/共36頁3格林公式的應(yīng)用舉例格林公式的應(yīng)用舉例當(dāng)當(dāng)D的邊界曲線由參數(shù)方程得出時，由（的

17、邊界曲線由參數(shù)方程得出時，由（4）式可求式可求D的面積。的面積。 例例1 Lydxxdy.21xdydxyAL （4）例如例如 橢圓橢圓ydxdyxAL 21abdab 202 20)sin(sincoscos21dabba,22)1(1 AdxdydxdyDD (1). (1). 計算平面面積計算平面面積的面積：的面積：12222 byax第24頁/共36頁(2). (2). 簡化曲線積分簡化曲線積分 LdyyxdxxyLyxD)sin2(3, 14:2222求求是橢圓的逆時針方向是橢圓的逆時針方向例例利利用用格格林林公公式式解解 232 DDdxdydxdy Ldyyxdxxy)sin2(

18、32.1|:|,|3逆時針方向逆時針方向計算計算例例 yxLyxydxxdyIL DLAdxdyydxdyxI42)11(第25頁/共36頁 L：y=sinx從從O（0，0）到）到A（，0）。）。 ,)1(sin)cos1(4dyyedxyeIxLx 計算計算例例解解：可直接化為對可直接化為對x的定積分，但計算量的定積分，但計算量較大。這里用格林公式。較大。這里用格林公式。 0sin)1(sin dxdyyeyexDx 0sin00sin xdxedyedxxxx.2121|)cos(sin20 exxexOA OADAOAOOAOAdxdyyPxQ)(（第26頁/共36頁則則當(dāng)當(dāng)022 yx

19、時時, , 有有yPyxxyxQ 22222)(.記記L所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域為為D,解解令令2222,yxxQyxyP , ( (1 1) ) 當(dāng)當(dāng)D )0, 0(時時, ,由由格格林林公公式式知知 LDdxdyyPxQyxydxxdy0)(22xyoLD第27頁/共36頁L(2) 當(dāng)當(dāng)D )0 , 0(時時,1Drl作作位位于于D內(nèi)內(nèi)圓圓周周 222:ryxl , 記記1D由由L和和l所所 圍圍 成成 ,應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式,得得yxo )(22lLyxydxxdy0)(1 DdxdyyPxQ02222 lLyxydxxdyyxydxxdy即：即： lLyxydxxdyyxydx

20、xdy2222 drrr2222220sincos .2 第28頁/共36頁逆時針方向逆時針方向為為計算計算2)1()()(2222 yxLyxdyyxdxyxL例例6時時，易易驗驗證證當(dāng)當(dāng)解解)0 , 0(),( yx取適當(dāng)?shù)娜∵m當(dāng)?shù)膌：x2+y2=r2，使其位于圓，使其位于圓L內(nèi)，取逆時內(nèi)，取逆時針方向針方向,則則 lLdyyxdxyxryxdyyxdxyx)()(1)()(222 2212 Ddxdyr22222)(2yxyxyx yPxQ 第29頁/共36頁小結(jié)：小結(jié)：（1）L是是D的邊界，的邊界，易于計算時，易于計算時， DdxdyyPxQ)(可應(yīng)用格林公式計算可應(yīng)用格林公式計算 封

21、閉曲線）封閉曲線）( . LQdyPdx（2）L不封閉時，采取不封閉時，采取“補線補線”的方法的方法： lDlLlLdxdyyPxQ)(其中其中l(wèi)是包圍點是包圍點(x0，y0)的與的與L同向的光滑的簡單閉曲線同向的光滑的簡單閉曲線（3）如在）如在D上上P、Q一階偏導(dǎo)連續(xù)，且處處有一階偏導(dǎo)連續(xù)，且處處有 ,yPxQ 則則; 0 L如如D內(nèi)除點內(nèi)除點M0 (x0，y0)外均有外均有 ,yPxQ lL則則第30頁/共36頁二二、曲線積分與路徑無關(guān)的條件、曲線積分與路徑無關(guān)的條件 1什么叫曲線積分與路徑無關(guān)什么叫曲線積分與路徑無關(guān) Gyxo 1LQdyPdx則則稱稱曲曲線線積積分分 LQdyPdx在在

22、G內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān), , 2LQdyPdx1L2LBA如果在區(qū)域如果在區(qū)域G內(nèi)有內(nèi)有 否否則則與與路路徑徑有有關(guān)關(guān). .顯然曲線積分顯然曲線積分 LQdyPdx0 cQdyPdx沿沿G內(nèi)任意閉曲線內(nèi)任意閉曲線C的曲線積分的曲線積分在在G內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān)第31頁/共36頁2曲線積分與路徑無關(guān)的條件曲線積分與路徑無關(guān)的條件 設(shè)開區(qū)域設(shè)開區(qū)域G是一個單連通域，函數(shù)是一個單連通域，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分 LQdyPdxxQyP 在在G內(nèi)恒成立。內(nèi)恒成立。 的充分必要條件是等式的充分必要條件是等式在在G內(nèi)與路徑無關(guān)（或沿內(nèi)與路徑無關(guān)（或沿G內(nèi)