第5章時域離散系統(tǒng)的基本網絡結構

1、第五章 時域離散系統(tǒng)的基本網絡結構5.1引言個時域離散系統(tǒng)或網絡的表示方法有三種:差分方程y(n)Mbx(n0Ni) ay(n i)i 1(6.1.1)系統(tǒng)函數(shù)H(z)Y(z) X(z)Mbiz ii 0N1aiZ ii 1(6.1.2)單位脈沖響應上述三種表示方法實際上是一致的，在實際中，我們經常采用一種信號流圖來表示個系統(tǒng)，這種流圖直觀地反映了在實現(xiàn)該系統(tǒng)時具體的算法，如延遲單元，加法和乘法等些基本運算單元，構成了系統(tǒng)轉移函數(shù)實現(xiàn)的功能，我們稱這種流圖為網絡結構。網絡結構實際表示的是一種運算結構。5.2用信號流圖表示網絡結構基本運算單元的流圖表示數(shù)字信號處理中有三種基本算法，即乘法、加法和

2、單位延遲。三種基本運算用流圖表示如圖所示。x(n)x( nJ)x(n)*1 zx (n1)Xi( n)x(n)a ax (n)Xi(n) X2(n)Xi (n)X2 (n)X2( n)X2( n)圖三種基本運算的流圖表示說明：1. z1與系數(shù)a作為支路增益寫在支路箭頭旁邊，如果箭頭旁邊沒有標明增益符號，則認為支路增益是 1。2. 箭頭表示信號流動方向。3 .兩個變量相加，用一個圓點表示，稱為網絡節(jié)點。4 每個節(jié)點處的信號稱節(jié)點變量，節(jié)點變量等于所有輸入支路之和。二基本信號流圖不同的信號流圖代表不同的運算方法，而對于同一個系統(tǒng)函數(shù)可以有很多種信號流圖與之相對應。從基本運算考慮，滿足以下條件，稱為

3、基本信號流圖(PrimitiveSig nal FlowGraghs)。(1) 信號流圖中所有支路都是基本的，即支路增益是常數(shù)或者是z 1 ；(2) 流圖環(huán)路中必須存在延遲支路；(3) 節(jié)點和支路的數(shù)目是有限的。例1 :根據(jù)下圖的網絡結構，寫出該系統(tǒng)的傳輸函數(shù)。y(n)(a)圖 x(n)H(z)信號流圖(b)y(n)*w( n ) w2( n )w2( n 1)1w2 ( n 1 )1w2( n )x( n)a1w2 ( n ) a2w1 ( n )(6.1.3)y(n)b2w1 ( n )1b1 w2( n )b0w2 ( n )(a)基本信號流圖；(b)非基本信號流圖對式進行Z變換，得到:

4、Wi(z)W2(z)W2(z) X(z)Y(z) b2Wi(z)W2(z)zW2(z)z 1a1W2 (z) a2W1 (z)b1W2(z) b0W2(z)經過聯(lián)立求解得到:H(z)Y(z)X(z)b2z1a1z 1a2z2圖是基本信號流圖，圖中有兩個環(huán)路，環(huán)路增益分別為2a2Z且環(huán)路中都有延時支路，而圖不是基本信號流圖，它不能決定一種具體的算法，不滿足基本信號流圖的條件。例2 :對于同一個系統(tǒng)函數(shù)，可以有很多信號流圖與之對應。Hi(z)H2(z)H3(z)110.8z 10.15z 20.152.510.3z 11 0.5z 11110.3z 11 0.5z 1不同的算法直接影響可以證明以上

5、Hz)H2(z) H3(z)，但它們具有不同的算法。系統(tǒng)運算誤差、運算速度以及系統(tǒng)的復雜程度和成本等。三網絡結構的分類一般將網絡結構分成兩類，一類稱為有限長脈沖響應網絡，簡稱FIR(Fi nite ImpulseResponse)網絡，另一類稱為無限長脈沖響應網絡，簡稱IIR(Infinite Impulse Response)網絡。1 FIR網絡FIR網絡中一般不存在輸出對輸入的反饋支路，因此差分方程用下式描述：My(n)biX(n i)1.4)i 0其單位脈沖響應 h(n)是有限長的，按照式，h(n)表示為bn, 0 n Mh(n) 0 甘它0,其匕n2 IIR網絡IIR網絡結構存在輸出對

6、輸入的反饋支路，也就是說，信號流圖中存在環(huán)路。這類 網絡的單位脈沖響應是無限長的。MNy(n)bix(ni) ai y(n i)5.3 IIR基本網絡結構IIR網絡的特點是信號流圖中含有反饋支路，即含有環(huán)路，其單位脈沖響應是無限長的?；揪W絡結構有三種，即直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型。將N階差分方程重寫如下:y(n)Mbix(ni 0i)Nai y(ni)i 1設M=N=2,其系統(tǒng)函數(shù)如下:H (z)2biZ2比心)H2(z)1 aiz ii 0(b)b(c)a11圖網絡直接型結構按照差分方程可以直接畫出網絡結構如圖所示。圖中第一部分系統(tǒng)函數(shù)用H,(z)表示，第二部分用H2(z)表示，那么H (z)

7、 Hdz) H2(z)，當然也可以寫成 H(z) H2(z) Hdz)，按照該式，相當于將圖中兩部分流圖交換位置，如圖所示。該圖中節(jié)點變量WiW2，因此前后兩部分的延時支路可以合并，形成如圖所示的網絡結構流圖，我們將圖所示的的這類流圖稱為IIR直接型網絡結構。例設IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(Z)為H(z)8 4z 111z 22z3彳5 13 2131- zzz448畫出該濾波器的直接型結構。解 由H(z)寫出差分方程如下:y(n) 4y(n 1) ；y(n 2) fy(n 3)4488x(n) 4x(n 1)11x(n 2) 2x( n 3)按照差分方程畫出如圖所示直接型網絡結構。圖 例

8、圖上面我們按照差分方程畫出了網絡結構，也可以按照H (z)表達式，直接畫出直接型網絡結構。在(6.1.2)式表示的系統(tǒng)函數(shù)H (z)中，分子、分母均為多項式，且多項式的系數(shù)一般為實數(shù)。現(xiàn)將分子、分母多項式分別進行因式分解，得到:M(1 GZ1) H(z) A 治(1 drZ1)r 1(6.2.1)式中A是常數(shù)，Cr和dr分別表示零點和極點。由于多項式的系數(shù)是實數(shù),Cr和dr是實數(shù)或者是共軛成對的復數(shù)，將共軛成對的零點(極點)放在一起，形成一個二階多項式，其系數(shù)仍為實數(shù)；再將分子、分母均為實系數(shù)的二階多項式放在一起，形成一個二階網絡 H j(Z)。H j(z)如下式:Hj(z)1 20j 1j

9、z2j z11jZ2jZ(6.2.2)式中， 0j、 1j、 2j“和2j均為實數(shù)。這樣 H(z)就分解成一些一階或二階數(shù)字網絡的級聯(lián)形式，如下式:H(z) H!(z)H2(z).Hk(z)(6.2.3)式中Hi(z)表示一個一階或二階的數(shù)字網絡的系統(tǒng)函數(shù)，每個Hi(z)的網絡結構均采用前面介紹的直接型網絡結構，如圖所示。xny(n)0j1 j(a)直接型一階網絡結構(b)直接型二階網絡結構圖623 階和二階直接型網絡結構1238 4z 11z 2z2例設系統(tǒng)函數(shù)H (z)如下式:H (z)1 1.25z 10.75z 20.125z 3試畫出其級聯(lián)型型網絡結構。解 將H (z)的分子、分母進

10、行因式分解，得到:(2 0.379z 1 )(4 1.24z 15.264z 2)H (1 0.25z1)(1 z10.5z2)為減少單位延遲的數(shù)目， 將一階的分子、分母多項式組成一個一階網絡，二階的分子、分母所示。多項式組成一個二階網絡，畫出結構圖如圖級聯(lián)型結構特點：級聯(lián)型結構中每一個一階網絡決定一個零點、一個極點，每一個二階網絡決定一對零點、一對極點。在式中，調整 0j、1j和2j三個系數(shù)可以改變一對零點的位置，調整 門和2j可以改變一對極點的位置。因此，相對直接型結構，調整方便是優(yōu)點。此外， 級聯(lián)結構中后面的網絡輸出不會再流到前面，運算誤差的積累相對直接型也小。n)如果將級聯(lián)形式的 H(

11、z)展成部分分式形式，則得到 IIR并聯(lián)型結構。H(z) H,z) H2(z).Hk(z)(624)式中，Hi(z)通常為一階網絡或二階網絡,網絡系統(tǒng)均為實數(shù)。二階網絡的系統(tǒng)函數(shù)一般為10i1iz1 21i z2i z式中,0i、 1i、ii和2i都是實數(shù)。如果2i 0,則構成一階網絡。由(6.2.4)式，其輸出Y(z)表示為Y(z)Hi(z)X(z) H2(z)X(z). Hk(z)X(z)y(n)。上式表明將x(n)送入每個二階(包括一階)網絡后，將所有輸出加起來得到輸出例畫例題中H (z)的并聯(lián)型結構。解 將例中H(Z)展成部分分式形成:81620z 1H(z) 16 門荷 1 zi 0

12、.5z2將每一部分用直接型結構實現(xiàn)，其并聯(lián)型網絡結構如圖6.2.5所示?！?16 .巴20j-圖6.2.5例6.2.3 圖16n)a 0.5z1并聯(lián)型特點：在這種并聯(lián)型結構中， 每一個一階網絡決定一個實數(shù)極點，每一個二階網絡決定一對共軛極點，因此調整極點位置方便，但調整零點位置不如級聯(lián)型方便。另外，各個基本網絡是并聯(lián)的，產生的運算誤差互不影響，不象直接型和級聯(lián)型那樣有誤差積累，因此，并聯(lián)形式運 算誤差最小。由于基本網絡并聯(lián)， 可同時對輸入信號進行運算，因此并聯(lián)型結構與直接型和級聯(lián)型比較，其運算速度最高。5.4 FIR基本網絡結構FIR網絡結構特點是沒有反饋支路，即沒有環(huán)路，其單位脈沖響應是有限

13、長的。設單位脈沖響應h(n)長度為n,其系統(tǒng)函數(shù) H(z)和差分方程分別為N 1H(z)h(n)z nn 0N 1y(n)h(m)x (n m)m 01.直接型按照H(z)或者差分方程直接畫出結構圖如圖所示。這種結構稱為直接型網絡結構或者稱為卷積型結構。h(0),f h(2)1黑山1 z1 z1 zh(N 1)圖直接型網絡結構其中每一個因式都用直接將H (z)進行因式分解，并將共軛成對的零點放在一起，形成一個系數(shù)為實數(shù)的二階形 式，這樣級聯(lián)型網絡結構就是由一階或二階因子構成的級聯(lián)結構, 型實現(xiàn)。例設FIR網絡系統(tǒng)函數(shù) H(Z)如下式:H(z) 0.96 2.0z2.8z1.5z畫出H (z)的

14、直接型結構和級聯(lián)型結構。解將H (z)進行因式分解，得到:1 1 2H (z)(0.6 0.5z )(1.6 2z 3z )其級聯(lián)型結構和直接型結構如圖所示。1 1 1x(n) z z z(b)圖 例 圖級聯(lián)型結構每一個一階因子控制一個零點，每一個二階因子控制一對共軛零點，因此調整零點位置比直接型方便，但H (z)中的系數(shù)比直接型多，因而需要的乘法器多。在例中直接型需要四個乘法器，而級聯(lián)型則需要五個乘法器，如果分解的因子愈多，需要的乘法器也愈多。另外，當H(z)的階次高時，也不易分解。因此，普遍應用的是直接型。3.頻率采樣結構我們已經知道，頻率域等間隔采樣，相應的時域信號會以采樣點數(shù)為周期進行

15、周期性延拓，如果在頻率域采樣點數(shù) N大于等于原序列的長度M,則不會引起信號失真，此時原序列的Z變換H(z)與頻域采樣值 H (k)滿足下面關系式:H(z) (1 zN)0?(k)WNkz 1(6.3.1)設fir濾波器單位脈沖響應 h(n)長度為M ,系統(tǒng)函數(shù)H(Z)ZT(h(n) ，貝U (6.3.1)式中H (k)用下式表示:H(k) H(z)|zDFTh(n),k=0,1,2,N-1要求頻率域采樣點數(shù)N M。(6.3.1)式提供了一種稱為頻率采樣的FIR網絡結構。請讀者分析IIR濾波網絡為什么不適合采用頻率采樣結構。將(6.3.1)式寫成下式:式中1 Hc(z)Nk1Hk(z)0(6.3

16、.2)Hc(z)Hk(z)H(k)1 WNkz 1這樣，H (z)是由梳狀濾波器 H c (z)和N個一階網絡H k (z)的并聯(lián)結構進行級聯(lián)而成的，其網絡結構如圖所示。我們看到該網絡結構中有反饋支路，它是由Hk(z)產生的,其極點為ZkWNk,k 0,1,2,., N 1，即單位圓上有等間隔分布的 N個極點，但Hc(z) 是一個梳狀濾波網絡，其零點為k 0,1,2,., N 1剛好和極點一樣，等間隔地分布在單位圓上。理論上，極點和零點相互抵消，保證了網絡的頻率域采樣結構有兩個突出優(yōu)點:(1)只要調整H(k)(即一階網絡 Hk(z)中乘法器的系數(shù) H(k)，就可以有效地調整頻響特性，使實踐中調整方便。(2) 只要h(n)長度N相同，對于任何頻響形狀，其梳狀濾波器部分和 N個一階網 絡部分結構完全相同，只是各支路增益H(k)不同。這樣，相同部分便于標準化、模快化。然而，上述頻率采樣結構亦有兩個缺點：(1) 系統(tǒng)穩(wěn)定是靠位于單位圓上的N個零極點對消來保證的。實際上，寄存器字長度都是有限的，這樣有限字長效應可能使零極點不能完全對消，從而影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。(2) 結構中，H(