數(shù)學分析多元函數(shù)的極限與連續(xù)(3)課件

1、數(shù)學分析多元函數(shù)的極限與連續(xù)(3)第十六章第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)數(shù)學分析多元函數(shù)的極限與連續(xù)(3)1 平面點集與多元函數(shù)數(shù)學分析多元函數(shù)的極限與連續(xù)(3) 設設),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一個個點點， 是是某某一一正正數(shù)數(shù)，與與點點),(000yxP距距離離小小于于 的的點點),(yxP的的全全體體，稱稱為為點點0P的的 鄰鄰域域，記記為為),(0 PU，0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 數(shù)學分析多元函數(shù)的極限與連續(xù)(3)（2）區(qū)域）區(qū)域.)(的的內(nèi)內(nèi)點點為為則則稱稱，的的某某一一鄰鄰域域一一個個點點如如果

2、果存存在在點點是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一個個點點集集，設設EPEPUPPE .EE 的的內(nèi)內(nèi)點點屬屬于于EP .為為開開集集則則稱稱的的點點都都是是內(nèi)內(nèi)點點，如如果果點點集集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即為開集即為開集數(shù)學分析多元函數(shù)的極限與連續(xù)(3)的邊界點的邊界點為為），則稱），則稱可以不屬于可以不屬于，也，也本身可以屬于本身可以屬于的點（點的點（點也有不屬于也有不屬于的點，的點，于于的任一個鄰域內(nèi)既有屬的任一個鄰域內(nèi)既有屬如果點如果點EPEEPEEPEP 的的邊邊界界的的邊邊界界點點的的全全體體稱稱為為 EE是連通的是連通的開集開集，則稱，則稱且該折線上

3、的點都屬于且該折線上的點都屬于連結起來，連結起來，任何兩點，都可用折線任何兩點，都可用折線內(nèi)內(nèi)是開集如果對于是開集如果對于設設DDDD 數(shù)學分析多元函數(shù)的極限與連續(xù)(3)連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo開開區(qū)區(qū)域域連連同同它它的的邊邊界界一一起起稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo數(shù)學分析多元函數(shù)的極限與連續(xù)(3)0| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域無界開區(qū)域xyo例如，例如，則則稱稱為為無無界界點點集集為為有有界界點點集集，否否成成立立，則則稱稱對對一一切切即即，不不超超過

4、過間間的的距距離離與與某某一一定定點點，使使一一切切點點如如果果存存在在正正數(shù)數(shù)對對于于點點集集EEPKAPKAPAEPKE 41| ),(22 yxyx數(shù)學分析多元函數(shù)的極限與連續(xù)(3)（3）聚點）聚點 設設 E 是是平平面面上上的的一一個個點點集集，P 是是平平面面上上的的一一個個點點，如如果果點點 P 的的任任何何一一個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)總總有有無無限限多多個個點點屬屬于于點點集集 E，則則稱稱 P 為為 E 的的聚聚點點. 內(nèi)點一定是聚點；內(nèi)點一定是聚點； 邊界點可能是聚點；邊界點可能是聚點；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是既是邊界點也是聚點邊界點也是聚點數(shù)學分析多元函數(shù)的極

5、限與連續(xù)(3) 點集點集E的聚點可以屬于的聚點可以屬于E，也可以不屬于，也可以不屬于E10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚點但不屬于集合是聚點但不屬于集合1| ),(22 yxyx例如例如,邊界上的點都是聚點也都屬于集合邊界上的點都是聚點也都屬于集合數(shù)學分析多元函數(shù)的極限與連續(xù)(3)（4）n維空間維空間 設設n為取定的一個自然數(shù)，我們稱為取定的一個自然數(shù)，我們稱n元數(shù)組元數(shù)組),(21nxxx的全體為的全體為n維空間，而每個維空間，而每個n元數(shù)元數(shù)組組),(21nxxx稱為稱為n維空間中的一個點，數(shù)維空間中的一個點，數(shù)ix稱為該點的第稱為該點的第i個坐標個坐標. n維空間的記

6、號為維空間的記號為;nR n維空間中兩點間距離公式維空間中兩點間距離公式 數(shù)學分析多元函數(shù)的極限與連續(xù)(3),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 特殊地當特殊地當 時，便為數(shù)軸、平面、時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點間的距離空間兩點間的距離3, 2, 1 n內(nèi)點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義內(nèi)點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義鄰域：鄰域：設兩點為設兩點為數(shù)學分析多元函數(shù)的極限與連續(xù)(3) 設設D是平面上的一個點集，如果對于每個點是平面上的一個點集，如果對于

7、每個點DyxP ),(，變量，變量z按照一定的法則總有確定的按照一定的法則總有確定的值和它對應，則稱值和它對應，則稱z是變量是變量yx,的二元函數(shù)，記為的二元函數(shù)，記為),(yxfz （或記為（或記為)(Pfz ）. .（5）二元函數(shù)的定義）二元函數(shù)的定義當當2 n時時，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù). 多多元元函函數(shù)數(shù)中中同同樣樣有有定定義義域域、值值域域、自自變變量量、因因變變量量等等概概念念.類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)數(shù)學分析多元函數(shù)的極限與連續(xù)(3)例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013

8、222yxyx 22242yxyx所求定義域為所求定義域為., 42| ),(222yxyxyxD 數(shù)學分析多元函數(shù)的極限與連續(xù)(3)（6） 二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz 設設函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的定定義義域域為為D，對對于于任任意意取取定定的的DyxP ),(，對對應應的的函函數(shù)數(shù)值值為為),(yxfz ，這這樣樣，以以x為為橫橫坐坐標標、y為為縱縱坐坐標標、z為為豎豎坐坐標標在在空空間間就就確確定定一一點點),(zyxM，當當x取取遍遍D上上一一切切點點時時，得得一一個個空空間間點點集集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，這這個個點點集集稱稱為為二二元元函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形.（如下頁圖）（如下頁圖）數(shù)學分析多元函數(shù)的極限與連續(xù)(3)二元函數(shù)的圖形