2-第二課時(shí)-分割與拼接操作型問題

1、第二課時(shí)分割與拼接操作型問題選擇題（共2小題）1 .如圖，在下列三角形中，若 ab=ac則能被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形的是（）a.(1)(2)(3)b.(1)(2)(4)c.(2)(3) (4) d. (1) (3) (4)2 .如圖，一張矩形紙片沿ab對折，以ab中點(diǎn)。為頂點(diǎn)將平角五等分，并沿五 等分的折線折疊，再沿cd剪開，使展開后為正五角星（正五邊形對角線所構(gòu)成 的圖形），則/ ocd等于（）a. 108b. 114c, 126 d, 129二.填空題（共3小題）3 .如圖，在四邊形紙片 abcd中，ab=bc ad=cd, za=z c=90, /b=150.將 紙片先沿直線bd對

2、折，再將對折后的圖形沿從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的直線裁剪，剪開 后的圖形打開鋪平.若鋪平后的圖形中有一個(gè)是面積為2的平行四邊形，則cd=.4 .如圖是一張長方形紙片 abcr已知ab=8, ad=7, e為ab上一點(diǎn)，ae=5,現(xiàn) 要剪下一張等腰三角形紙片（ aeb,使點(diǎn)p落在長方形abcd的某一條邊上， 則等腰三角形aep的底邊長是.dc/ b5 .請用割補(bǔ)法作圖，將一個(gè)銳角三角形經(jīng)過一次或兩次分割后，重新拼成一個(gè) 與原三角形面積相等的平行四邊形 （只要求用一種方法畫出圖形，把相等的線段 作相同的標(biāo)記）.6 . （1）如圖， abc紙片中，/ a=36, ab=ac請你剪兩刀，分成3張小紙片， 使每張

3、小紙片都是等腰三角形.請畫出示意圖，并標(biāo)明必要的角度；（2）已知等腰 abc中，ab=ac d為bc邊上一點(diǎn)，連接ad,若4acd與4abd 都是等腰三角形，則/b的度數(shù)是;（請畫出示意圖，并標(biāo)明必要的角度）（3）現(xiàn)將（1）中的等腰三角形改為 abc中，/a=36,從點(diǎn)b出發(fā)引一直線 可分成兩個(gè)等腰三角形，則原三角形的最大內(nèi)角的所有可能值是 .（直接 寫出答案）.第1頁（共19頁）7 .閱讀下面材料:小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1,在邊長為a (a2)的正方形abcd各邊上分另i截取 ae=bf=cg=dh=h/afq=/ bgm=/ chn=/ dep=45時(shí)，求正方形 mnpq 的面積.小明

4、發(fā)現(xiàn)，分別延長qe, mf, ng, ph交fa, gb, hc, ed的延長線于點(diǎn)r, s, t, w,可彳4 rqf asmg, tnh, zwpe是四個(gè)全等的等腰直角三角形(如 圖2)請回答：(1)若將上述四個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)新的正方形(無縫隙不重疊)，則這個(gè)新正方形的邊長為 ;(2)求正方形mnpq的面積.(3)參考小明思考問題的方法，解決問題:如圖3,在等邊 abc各邊上分別截取 ad=be=cf再分別過點(diǎn)d, e, f作bc, ac, ab的垂線，得到等邊 rpq若&rpc=,則ad的長為.i .圖(3)8.綜合與實(shí)踐 問題情境在綜合與實(shí)踐課上,老師讓同學(xué)們以 菱形紙片的剪拼

5、”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng),如圖1,將一張菱形紙片abcd(/bad90)沿對角線ac剪開，得到 abc和第3頁(共19頁) acd操作發(fā)現(xiàn)(1)將圖1中的 acd以a為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角 n 使a 士 bag 得到如圖2所示的aac d分別延長bc和dc交于點(diǎn)e,則四邊形acec勺形狀 是；(2)創(chuàng)新小組將圖1中的 acd以a為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角 a,使 a =2 bag得到如圖3所示的aac d連接db, c ,c得到四邊形bcc d發(fā)現(xiàn) 它是矩形，請你證明這個(gè)結(jié)論； 實(shí)踐探究(3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，量得圖 3中bc=13cm1 ac=10cm 然后提出一個(gè)

6、問題：將4 ac謝著射線db方向平移acm,得到 a c,d連接 bd, cc,使四邊形bcc d恰好為正方形，求a的值，請你解答此問題；(4)請你參照以上操作，將圖1中的4acd在同一平面內(nèi)進(jìn)行一次平移，得到 a c,旌圖4中畫出平移后構(gòu)造出的新圖形，標(biāo)明字母，說明平移及構(gòu)圖方 法，寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，不必證明.第11頁（共19頁）9.用如圖，所示的兩個(gè)直角三角形(部分邊長及角的度數(shù)在圖中已標(biāo)出) 完成以下兩個(gè)探究問題：探究一：將以上兩個(gè)三角形如圖拼接(bc和ed重合)，在bc邊上有一動(dòng)點(diǎn)p.(1)當(dāng)點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)到/ cfb的角平分線上時(shí)，連接 ap,求線段ap的長；(2)當(dāng)點(diǎn)p在運(yùn)動(dòng)的過程中出現(xiàn)

7、pa=fcm,求/ pab的度數(shù).探究二：如圖，將 def的頂點(diǎn)d放在 abc的bc邊上的中點(diǎn)處，并以點(diǎn) d 為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn) def5使def的兩直角邊與 abc的兩直角邊分別交于m、n 兩點(diǎn)，連接mn.在旋轉(zhuǎn) def的過程中， amn的周長是否存在有最小值？若 存在，求出它的最小值；若不存在，請說明理由.第二課時(shí)分割與拼接操作型問題參考答案與試題解析選擇題（共2小題）1 .如圖，在下列三角形中，若ab=ac則能被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形的是（）a.(1)(2)(3)b.(1)(2)(4)c.(2)(3) (4) d. (1) (3) (4)【解答】解：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及等腰三角形

8、的判定定理：等角對等邊, 中，作底角的角平分線即可；中，不能；中，作底邊上的高即可；中，在bc邊上截取bd=ab即可.故選d.2 .如圖，一張矩形紙片沿ab對折，以ab中點(diǎn)。為頂點(diǎn)將平角五等分，并沿五 等分的折線折疊，再沿cd剪開，使展開后為正五角星（正五邊形對角線所構(gòu)成 的圖形），則/ ocd等于（）a. 108b. 114c, 126 d, 129【解答】解：展開如圖：五角星的每個(gè)角的度數(shù)是：畢二36。,cod=360+10=36, / odc=36-2=18,. / ocd=180- 36 - 18 =126.故選c.二.填空題（共3小題）3.如圖，在四邊形紙片 abcd中，ab=bc

9、ad=cd, za=z c=90, /b=150.將 紙片先沿直線bd對折，再將對折后的圖形沿從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的直線裁剪，剪開 后的圖形打開鋪平.若鋪平后的圖形中有一個(gè)是面積為 2的平行四邊形，則cd= 2+71或 4+2jj .【解答】解：如圖1所示：作ae/ bc,延長ae交cd于點(diǎn)n,過點(diǎn)b作bt ec于點(diǎn)t, 當(dāng)四邊形abce為平行四邊形,. ab=bc一四邊形abceg菱形,./a=/ c=90, /b=150, bc/ an, ./adc=30, /ban=/ bce=30,丁. / and=90 ,丁四邊形abce0積為2, .設(shè) bt=k 貝u bc=ec=2x故 2xx x=2

10、,解得：x=1 （負(fù)數(shù)舍去），貝u ae=ec=? enr2=7s,故 an=2-$/3,貝u ad=dc=4-2v3；如圖2,當(dāng)四邊形bed建平行四邊形，be=bf:平行四邊形bedf是菱形，-/ z a=z c=90 , z b=150z adb=zbdc=15,be=dez aeb=30, 設(shè) ab=y,則 be=2y ae而y,.四邊形bedf面積為2,abxde=2=2,解得：y=1,故 ae志,de=2,則 ad=2+x/3,綜上所述：cd的值為：2+v1或4+2后.故答案為：23或4+2（3.4.如圖是一張長方形紙片 abcr已知ab=8, ad=7, e為ab上一點(diǎn)，ae=5,

11、現(xiàn) 要剪下一張等腰三角形紙片（ aeb,使點(diǎn)p落在長方形abcd的某一條邊上， 則等腰三角形aep的底邊長是_5/或4皿或5 .ae 8【解答】解：如圖所示：當(dāng)ap=ae=5寸， / bad=90, . aep是等腰直角三角形,:底邊 pe=/2ae=572;當(dāng)pe=ae=5寸，v be=ab- ae=8- 5=3, / b=90, .pb=，- r =4,:底邊 ap=/ab?+pb2=782 + 42=4當(dāng)pa=pem,底邊ae=5;綜上所述：等腰三角形 aep的對邊長為5方或4、/或5;故答案為：5通或4匹或5.5.請用割補(bǔ)法作圖，將一個(gè)銳角三角形經(jīng)過一次或兩次分割后，重新拼成一個(gè)與原三

12、角形面積相等的平行四邊形 （只要求用一種方法畫出圖形，把相等的線段作相同的標(biāo)記）.ae=be de=ef ad=cf三.解答題（共4小題）6. （1）如圖， abc紙片中，/ a=36, ab=ac請你剪兩刀，分成3張小紙片， 使每張小紙片都是等腰三角形.請畫出示意圖，并標(biāo)明必要的角度；（2）已知等腰 abc中，ab=ac d為bc邊上一點(diǎn)，連接ad,若4acd與4abd 都是等腰三角形，則/ b的度數(shù)是 45?；?6 ;（請畫出示意圖，并標(biāo)明必要 的角度）（3）現(xiàn)將（1）中的等腰三角形改為 abc中，/ a=36,從點(diǎn)b出發(fā)引一直線可分成兩個(gè)等腰三角形，則原三角形的最大內(nèi)角的所有可能值是72

13、、108、90、126一.（直接寫出答案）.【解答】解：（1）答案不唯一，只要符合題意均正確.(2) 45或 36,（3） 72、108、90、126.7 .閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1,在邊長為a （a2）的正方形abcd各邊上分 另i截取 ae=bf=cg=dh=h/afq=/ bgm=/ chn=/ dep=45時(shí)，求正方形 mnpq 的面積.小明發(fā)現(xiàn)，分別延長qe, mf, ng, ph交fa, gb, hc, ed的延長線于點(diǎn)r, s, t, w,可彳4 rqf asmg, tnh, 4wpe是四個(gè)全等的等腰直角三角形（如 圖2）請回答：（1）若將上述四個(gè)等腰直角三角形

14、拼成一個(gè)新的正方形（無縫隙不重疊），則這個(gè)新正方形的邊長為a ；(2)求正方形mnpq的面積.(3)參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3,在等邊 abc各邊上分別截取 ad=be=cf再分別過點(diǎn)d, e, f作bc,ac, ab的垂線，得到等邊 rpq若&rpc=ll,則ad的長為 &.3i .第13頁（共19頁）【解答】解：(1)四個(gè)等腰直角三角形的斜邊長為a,則斜邊上的高為a,每個(gè)等腰直角三角形的面積為： m?：，a2, 2 2 4則拼成的新正方形面積為：4x1a2=a2,即與原正方形abcd面積相等,4這個(gè)新正方形的邊長為a；(2)二四個(gè)等腰直角三角形的面積和為a2,正方形abcd的

15、面積為a2,二 s正方形 mnpq=slare+sadwh+sagct+sksbf=4skare=4x x 12=2:2(3)如答圖1所示，分別延長rd, qf, pe,交fa, eg db的延長線于點(diǎn)s, t,由題意易得： rsf qet, apdw均為底角是30的等腰三角形，其底邊長均 等于 abc的邊長.不妨設(shè)等邊三角形邊長為a,則sf=ac=a如答圖2所示，過點(diǎn)r作rmlsf于點(diǎn)m,則mf=lsfla,22w答圖2在 rtrmf中，rm=mf?tan30,ax返應(yīng)a, 236s rsfa?_a=a2.2612過點(diǎn)a作ansd于點(diǎn)n,設(shè)ad=as=x 貝u an=ad?sin30 =x,

16、 sd=2nd=2adcos30=/3x,s ads=sd?an=l? jlxixx2.2224a2.三個(gè)等腰三角形 rsf qe zpdw的面積和=3&rs=3x a2=*sk rpq=sk ads+s cftl&bew=3&ads, x產(chǎn)得 解得x=1或x=3 （不合題意，舍去） x2,即ad的長為三.33故答案為：a；8.綜合與實(shí)踐問題情境在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以 菱形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)， 如圖1,將一張菱形紙片abcd（/bad90 ）沿對角線ac剪開，得到 abc和 acd 操作發(fā)現(xiàn)(1)將圖1中的4acd以a為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角 n 使a 士 bag得

17、到如圖2所示的4ac。分別延長bc和dc交于點(diǎn)e,則四邊形acec勺形狀 是菱形；(2)創(chuàng)新小組將圖1中的 acd以a為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角 a,使 a =2 bag得到如圖3所示的aac d連接db, c ,c得到四邊形bcc d發(fā)現(xiàn) 它是矩形，請你證明這個(gè)結(jié)論； 實(shí)踐探究(3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，量得圖 3中bc=13cm1 ac=10cm 然后提出一個(gè)問題：將 ac d沿著射線db方向平移acm,得到 a c,d連接 bd, cc,使四邊形bcc d恰好為正方形，求a的值，請你解答此問題；(4)請你參照以上操作，將圖1中的4acd在同一平面內(nèi)進(jìn)行一次平移，得到 a

18、 c,旌圖4中畫出平移后構(gòu)造出的新圖形，標(biāo)明字母，說明平移及構(gòu)圖方 法，寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，不必證明.【解答】解：(1)如圖2,由題意可得：/ 1=/ 2, /2=/ 3, /1=/ 4, ac=ac,故 ac / eg ac/ c 則四邊形aceo平行四邊形，故四邊形acec勺形狀是菱形；故答案為：菱形；(2)證明：如圖3,作aecc于點(diǎn)e, 由旋轉(zhuǎn)得：ac =acwj/cae玄 c ae= bag二.四邊形abcd菱形，ba=bc丁 / bca& bac, / cae4 bca .ae/ bc,同理可得：ae/ dc,bc/ dc,貝叱 bcc =9q又 = bc=dc 四邊形bcc盅平行四

19、邊形，vz bcc =9q 四邊形bcc盅矩形；(3)如圖3,過點(diǎn)b作bf，ac,垂足為f,v ba=bc.cf=af=ac工 x10=5, 22在 rta bcf中，bf= 1= . :=12,在 ace和acbf中,vz cae玄 bcf / ceaw bfc=90, .ace acb5=-.即- j。麗 bc 12 13解得：ech，. ac=ag aecc,cc120l2401313當(dāng)四邊形bcc酚好為正方形時(shí)，分兩種情況：點(diǎn)c在邊c止，a=c 9 13/-134，1313點(diǎn)c在c的延長線上，a=c +13=j-+13=l二,1313綜上所述：a的值為：,或答；(4)答案不唯例：如圖4

20、,畫出正確圖形，平移及構(gòu)圖方法：將 acd沿著射線ca方向平移,第15頁(共19頁)四邊形ambcfis平行四邊形.1dc平移距離為ac的長度，得到 a c,d!接 a b d c結(jié)論：v bc=a d bc a db9.用如圖，所示的兩個(gè)直角三角形（部分邊長及角的度數(shù)在圖中已標(biāo)出） 完成以下兩個(gè)探究問題：探究一：將以上兩個(gè)三角形如圖拼接（bc和ed重合），在bc邊上有一動(dòng)點(diǎn)p.（1）當(dāng)點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)到/ cfb的角平分線上時(shí)，連接 ap,求線段ap的長；（2）當(dāng)點(diǎn)p在運(yùn)動(dòng)的過程中出現(xiàn)pa=fcm,求/ pab的度數(shù).探究二：如圖，將 def的頂點(diǎn)d放在 abc的bc邊上的中點(diǎn)處，并以點(diǎn) d 為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn) def，使4def的兩直角邊與 abc的兩直角邊分別交于m、n兩點(diǎn)，連接mn.在旋轉(zhuǎn) def的過程中， amn的周長是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，請說明理由.第16頁（共19頁）c(d)bd【解答】解：探究一：（1）依題意畫出圖形，如答圖