全等三角形習題

1、全等三角形提高練習 E 1如圖所示， ABC也zADE , BC的延長線過點 B二50。，求DEF的度數(shù)。 如圖， A0B中，/B=30o ,將公0B繞點0順時針旋轉(zhuǎn)52邊0B 交于點C （A不在0B上），則ZACO的度數(shù)為多少？ 3如圖所示，在厶ABC中，/A=90 ,D、 E分別足AC、BC上的點，若玄 ADBzEDBA / D EDC,貝iJ/C的度數(shù)是多少？ L B E C 4如圖所示，把厶ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn) DC二90。，則厶二 35 ,得到B C , A B 交AC于點D,若ZA 5 已知，如圖所示，AB=AC , AD JBC 于 D,且 AB+AC+BC二50cm,而 AB

2、+BD+AD=40cm . c 則AD是多少? 6 如圖，RtAABC屮，/BAC=90 , AB=AC,分別過點B、C作過點 垂足分另U為D、E,若BD=3, CE=2,貝U DE= 如圖，AD是AABC的角平分線，DE JAB, DF 1AC,聾足分別是 8.如圖所示，在厶ABC AD為ZBAC的角平分線，DE 1AB于E, DF 1AC于F AABC 的面積是 28cm ： AB二20cm , AC=8cm,求 DE 的長。 F 9.已知,如圖：AB=AE, /B= ZE, /BAC二 ZEAD, /CAF= ZDAF,求證:AF JCD 10 如圖，AD=BD , 等嗎？為什么？ AD

3、 dBC 于 D, BE _LAC 于 E , AD 11如圖所示，已知, FD二CD,求證： AD為 ABC的高, BE 1AC 12 ZXDAC、AEBC 均是等邊三角形，AF、BD分別與CD、CE交于點Me N,求證： AE=BD (2) CM=CN (3 ) MMN為等邊三角形D ( 4) 13 已知：如圖1,點C為線段AB上一點， ACM .CBN都是等邊三角形，AN交MC 于點E, BM交CN于點F (1) 求證：AN二BM (2) 求證：ACEF為等邊三角形 14如圖所示，已知 ABC和ABDE都是等邊三角形，下列結(jié)論：AE=CD :BF二BG ; BH平分ZAHD :/AHC二

4、60AFG是等邊三角形；FG /AD,其屮正確的有 15已知：BD、CE是AABC的高，點F在BD上，BF二AC,點G在CE的延長線上，CG=AB , 求證：AG 1AF 16如圖：在厶ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD=AC,在 CF的延長線上截取CG=AB,連結(jié)AD、AG 求證：(1) AD=AG (2) AD與AG的位置關系如何 17 .如圖，已知E是正方形ABCD的邊CD的屮點，點F在BC上，且ZDAE二ZFAE ad BF 18 .如圖所示，已知 ABC中,AB=AC , ZADB=60 疋是 AD 上一點，且 DE=DB D是CB延長線上一點, ,求證

5、: 求證：AF=AD-CF 19 .如圖所示，已知在厶AEC中，/E=90 ,AD 平分 ZEAC , DF 1AC,垂足為 F , DB=DC , 求證:BE=CF 21 .如圖,0C是/AOB的平分線, P是0C上一點，PD JOA于D, PE _LOB 于 E, F 是 20 .已知如圖： AB=DE , 直線 AE、BD 相交-f AC, ZB+ zD=180 ,AF DE ,交 BD 于 F , 求證：CF=CD n D B F 0C上一點，連接DF和EF,求證：DF=EF E,且BD=CD，求證：組DE 7CDF 22 .已知：如圖，BF 1AC于點F, CE 1AB于點 點D在4

6、的平分線上 則AB與CD之間的距離是多少? 23 .如圖，已知AB /CD , 0是/ACD與/BAC的平分線的交點，OE 1AC于E,且0E二2 , 24 .如圖，過線段AB的兩個端點作射線AM、BN,使AM BN,按下列要求畫圖并回答: 畫ZMAB、/NBA的平分線交于E (1 )/AEB是什么角？ (2) 過點E作一直線交AM于D,交BN于C ,觀察線段DE、CE,你有何發(fā)現(xiàn)？ (3) 無論DC的兩端點在AMaBNd如何移動，只要DC經(jīng)過點E,AD+BC二AB : / AD+BC二CD誰成立？并說明理由；E 25 .如圖， ABC 的三邊AB、BC、CA長分別是 20、30、40,其三條

7、角平分線將 ABC 分為三個三角形，貝IS AABO : S S/CAO等于？ J 26 .正方形 ABCD 中，AC、BD 交于 0 ,/EOF二90 ,已知 AE二3 , CF=4,貝ij S ZBEF 為多少？ D A 27 .如圖，在Rt AABC屮, /ACB=45 ,BAC=90 0 , AB二AC,點 D 是 AB 的中點，AF 丄 CD于H,交BC于F, BE AC交AF的延長線于E,求證：BC垂直且平分DE 28 .在AABC 中，/ACB=90 0 ,AC二BC,直線 MN 經(jīng)過點 C, 且 AD /IN 于 D , BE 丄/IN 于 DE=AD+BE (1) 當直線MN

8、繞點C旋轉(zhuǎn)到圖的位置時，求證： DE=AD-BE (2) 當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖的位置時，求證： (3)當宵線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖的位旨時，試問 請直接寫出這個等最關系。 1 解軍：匕AED .二 ZB二50 JACB二105 0 CE二75 0 AD=10 ZACE二75 zEFA二ZCAD+ ZACE=85 0（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和） 同理可得/ DEF二 ZEFA- ZD=85 -50 =35 2根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得/ B二ZB,因為AAOB繞點0順時針旋轉(zhuǎn)52 0，所以ZBOB 二52 ,而ZAC0 是ABC的外角,所以Z ACO二ZB+ZBOB然后代入數(shù)據(jù)進

9、行計算即可得解. 解答：解：岔0B是由 AOB繞點0順時針旋轉(zhuǎn)得到，Z B=30 啟二ZB二30 0 0B繞點0順時針旋轉(zhuǎn)52 啟0B =52 0 ZC0是AB 0C的外角， Z C0二 ZB + ZBOB =30 +52 二82 故選D . 3全等三角形的性質(zhì)；對頂角、鄰補角；三角形內(nèi)角和定理. 分析：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出Z A= ZDEB= /DEC , ZADB= ZBDE= ZEDC，根據(jù)鄰補角定 義求出 ZDEC、/EDC的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可. 解答:解：v/ADB 也 ADB BZEDC , Z二 ZDEB= /DEC, /ADB二 ZBDE二 ZEDC ,

10、/DEB+ ZDEC二180 0 ZADB+ ZBDE+EDC二180 0 ZEC二90 0 0 /EDC=60 0 =180 0 ZDEC- ZEDC , 二180 -90 -60 0 30 4分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得知/ ACA =35 從而求得/ A的度數(shù)，又因為/ A的對應角是Z即可求 出/ A的度數(shù). 解答：解:-三角形厶ABC繞著點C時針旋轉(zhuǎn)35得到 AB C ZCA二35 ZADC二90 Z二55 的對應角是/ A；即ZA二A, 二55 故答案為：55 點評：此題考查了旋轉(zhuǎn)地性質(zhì)；圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點在平面上繞某個固定點旋轉(zhuǎn)固定角度的 位置移動其中對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相

11、等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改 變.解題的關鍵是正確確定對應角. 5因為AB=AC三角形ABC是等腰三角形 所以 AB+AC+BC二2AB+BC二50 BC=50-2AB=2(25-AB) 又因為AD垂直于BC于D,所以BC二2BD BD=25-AB AB+BD+AD二AB+25-AB+AD二AD+25二40 AD=40-25=15cm 6 解：TBD IDE , CE IDE D二 ZE 啟 AD+ ZBAC+ ZCAE=180 又/zBAC二90 啟 AD+ ZCAE=90 在 Rt AKBD 中，ZABD+ ZBAD=90 ZBD= ZCAE 在ZABD與ZCAE中 ZABD二 ZC

12、AE ZD二左 AB=AC 公 BD 也 ZAE (AAS ) BD=AE , AD=CE DE二AD+AE DE二BD+CE BD二3 , CE=2 DE二5 7證明：TAD是ZBAC的平分線 ZAD 二 ZFAD 又-DE 1AB , DF _1AC ZED 二 ZAFD 二 90 邊AD公共 Rt ZAED 織 t ZAFD (AAS ) AE 二 AF 即ZAEF為等腰三角形 而AD是等腰三角形AEF頂角的平分線 AD丄底邊EF (等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高的重合(簡寫成三線合一 ”) 8 AD 平分 ZBACU/EAD= ZFAD, /EDA= ZDFA=90

13、 度，AD=AD 所以AAED也ZAFD DE=DF SmBC=S AXED+S AAFD 28=1/2 （AB*DE+AC*DF） =1/2 （20*DE+8*DE） DE=2 9AB二AE , ZB= ZE, /BAC二 ZEAD 則AABC也公ED AC=AD AACD是等腰三角形 ZCAF= ZDAF AF平分ZCAD 貝 U AF _LCD 10 解：TAD JBC ZDB 二ZADC 二 90 AD+ ZC 二 90 BE 丄C 啟 EC 二 ZADB = 90 BE+ ZC 二 90 MAD 二 ZCBE AD 二 BD DH 也 ZADC （ASA ） BH 二 AC （垂直定

14、義）， 11 解：（1）證明： AD JBC （已知），r. ZBDA- ZADC二90。 +Z2二90 （直角三角形兩銳角互余） 在 Rt ABDF 和 RtAADC 中， Rt ABDF 織 t AADC （ H. L ） Z2= ZC （全等三角形的對應角相等） +Z2二90 （已證），所以 Z 1 + ZC=90 Z + /C + /BEC=180 （三角形內(nèi)角和等于180 0 ）, 啟EC二90 ） BE丄C （垂直定義）； 12證明：（1） vZDAC AEBC均是等邊三角形， AC二DC , EC=BC, /ACD= ZBCE=60 , ZCD+ ZDCE= ZBCE+ ZDCE

15、,即 ZACE= ZDCB . 在 ACE和ADCB中， AC=DC ZACE= ZDCB EC二BC ACE 也 dDCB (SAS ). AE=BD (2 )由(1)可知： ACE 也 JDCB , CAE= JCDB,即 ZCAM= ZCDN . AC AEBC均是等邊三角形， AC二DC, /ACM= /BCE=60 0 又點A、C、B在同一條直線上， QCE二180 -ZACD- ZBCE=180 -60 -60 60 即/DCN=60 CM二 ZDCN . 在 AACM 和 ADCN 中，ZCAM= ZCDN AC=DC ZACM= ZDCN ACM BZDCN (ASA ). C

16、M=CN . 由(2)可知 CM=CN, ZDCN=60 0 AMN為等邊三角形 (4)由(3)知/CMN二 ZCNM= ZDCN二60 0 ZMN+ ZICB=180 0 MN/BC 13分析：a )由等邊三角形可得其對應線段相等，對應角相等，進而可由SAS得到 CAN 也血CB,結(jié)論得證； (2 )由(1)中的全等可得Z CAN二ZCMB,進而得出Z MCF= ZACE,由ASA得出 CAE OA CMF,即CE=CF,又ECF=60 所以 CEF為等邊三角形. 解答：證明：(1 )公CM , ACBN是等邊三角形， AC=MC , BC二NC, /ACM二60 /NCB=60 0 在AC

17、AN和AMCB中， AC=MC, /ACN二 ZICB , NC=BC , AAN 也 JMCB (SAS ), AN=BM . (2 ) vZCAN 也 zCMB , AN二 ZCMB , 又ZICF=18O 0 ZACM- ZNCB=180 -60 0 -60 0 60 ZICF二 ZACE , 在ACAE和ACMF中， ZCAE二 ZCMF , CA二CM, /ACE二 ZMCF , AE 也 zCMF (ASA ), CE=CF , EF為等腰三角形, 又/ECF=60 EF為等邊三角形. 點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定問題，能夠掌握并熟 練運用. 14

18、考點：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 分析：由題中條件可得厶ABE也zCBD,得出對應邊、對應角相等，進而得出厶 BGD也zBFE , ABF八zCGB,再由邊角關系即可求解題屮結(jié)論是否正確，進而可得出結(jié)論. 解答：解：/ABC 與 ABDE 為等邊三角形， AB=BC , BD=BE, /ABC= ZDBE=60 0BE二 ZCBD , 即 AB=BC , BD=BE , /ABE二 JCBD ABE VCBD , AE二CD, /BDC二 ZAEB , 又 VzDBG= ZFBE=60 0 GD 也/FE , BG=BF, /BFG= ZBGF=60 0 FG是等邊三

19、角形， FG /AD , BF=BG , AB=BC , ZABF= ZCBG=60 , ABF 7CGB , 啟 AF二 /BCG , AF+ /ACB+ ZBCD= /CAF+ /ACB+ ZBAF二60 0 60 120 0 /HC二60 0 , /HG+ ZFBG=12O +60 0 180 0 B、G、H、F四點共圓， FB=GB , /HB二 /GHB , BH 平分/GHF , 題屮都正確. 故選D . 點評：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)問題，能夠熟練掌握. 15考點：全等三角形的判定與性質(zhì)分析：仔細分析題意，若能證明厶ABF B/GCA,則可 得AG=

20、AF .在GCA中，有BF二AC、CG=AB這兩組邊相等，這兩組邊的夾角是ZABD和ZACG, 從已知條件屮可推出/ ABD= ZACG .在RtZGE +, /G+ /GAE=90 0 而/G二 ZBAF,則可得出/ GAF=90 0 即 AG 1AF . 解答：解：AG=AF , AG 1AF . BD、CE分別是 ABC的邊AC , AB上的高. /DB= /AEC二90 0 /BD二90 0 /BAD, /ACG=90 0 ZDAB , ABD二 ZACG 在 AABF 和 AGCA 中 BF=AC ZABD= ZACG AB=CG ABF 也/GCA (SAS ) AG=AF ZG=

21、 ZBAF 又 ZG+ J3AE=90 度. 啟 AF+ ZGAE二90 度. AF=90 AG 1AF . 點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；要求學生利用全等三角形的判定條件及等量關 系靈活解題，考查學生對幾何知識的理解和掌握，運用所學知識，培養(yǎng)學生邏輯推理能力，范圍較廣. 161、證明： BE _1AC 乙 JAEB 二 90 BE+ ZBAC 二 90 CF _1AB AFC 二 ZAFG 二 90 ACF+ ZBAC 二 90, /G+ ZBAG 二 90 ABE 二 ZACF BD 二 AC , CG 二 AB ABD 也 zGCA ( SAS ) AG 二 AD 2、 AG

22、1AD 證明 ABD 也 zGCA 啟AD = ZG zGAD 二 ZBAD+ ZBAG 二ZG+ ZBAG 二 90 AG 1AD 17過E做EG 1AF于G,連接EF -ABCD是正方形 J = ZC=90 AD=DC ZDAE二 ZFAE , ED 1AD , EG 1AF DE=EG AD=AG E是DC的中點 DE二EC二EG EF=EF Rt AEFG 織 t AECF GF=CF AF二AG+GF二AD+CF 18 因為：角 EDB=60 DE=DB 所以：AEDB是等邊三角形，DE二DB二EB 過A作BC的垂線交BC于F 因為：AABC是等腰三角形 所以：BF=CF, 2BF=

23、BC 又：角 DAF=30 0 所以:AD=2DF 又：DF二DB+BF 所以:AD=2 （ DB+BF）二2DB+2BF二2DB+BC （AE+ED）二2DB+BC,其中 ED=DB 所以：AE二DB+BC, AE=BE+BC 19補充：B是FD延長線上一點； ED=DF （角平分線到兩邊上的距離相等）； BD=CD ； 角EDB=FDC （對頂角）； 貝U三角形EDB全等CDF ;貝9 BE=CF ； 或者補充：B在AE邊上； ED=DF （角平分線到兩邊上的距離相等）； DB=DC 則兩直角三角形EDB全等CDF （ HL ） 即 BE=CF 20 解：TAF/DE J 二 ZAFC 啟

24、 + /D=180 0 , /AFC + /AFB=180 啟=ZAFB AB=AF=DE AAFC 和 AEDC 中: ZB二厶 FB, ZACF二左 CD （對頂角）,AF=DE TC 也 zEDC CF=CD 21證明： 點P在/AOB的角平分線0（；上，PE _LOB , PD _LAO , PD二PE, /DOP= ZEOP, /PDO= ZPE0=90 0 J PF二 ZEPF , 在ADPF和AEPF中 PD=PE ZDPF= ZEPF PF二PF （SAS ）, PF 也/EPF DF=EF . 22考點：全等三角形的判定與性質(zhì)專題：證明題. 分析：C）根據(jù)全等三角形的判定定理

25、 ASA證得/BED也/CFD ; （2）連接AD 利用（1）中的 BED也zCFD,推知全等三角形的對應邊ED二FD 因為角 平分線上的點到角的兩邊的距離相等，所以點D在4的平分線上. S V, 解答：AFC證（1 ）VBF 1AC , CE _LAB, /BDE= /CDF （對頂角相 等）， 啟二ZC （等角的余角相等）； 在 Rt /BED 和 Rt/CFD 中， ZB二 /C BD二CD （ 已知） ZBDE= / CDF AED 八zCFD （ASA ）: （2）連接AD . 由知， BED VCFD , ED=FD （全等三角形的對應邊相等）， AD是ZEAF的角平分線，即點D在

26、/A的平分線上. 點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).常用的判定方法有：ASA , AAS , SAS , SSS , HL等，做題時需靈活運用. 23考點：角平分線的性質(zhì). 分析：要求二者的距離，首先要作出二者的距離，過點 0作FG _LB，可以得到FG LCD , 根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，0E二OF二0G,即可求得AB與CD之間的距離. 解答：CGD解:過點0作FG AAB AB /CD , 啟 FG+ ZFGD=180 啟 F G=90 zFGD二90 FG JCD , FG就是AB與CD之間的距離. 0為/BAC, /ACD平分線的交點，0E朋C交AC于E, OE=OF=OG (角

27、平分線上的點，到角兩邊距離相等)， AB與CD之間的距離等于2?0E=4 . 故答案為：4 . 點評：本題主要考查角平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質(zhì)，作出AB與CD之間的距 離是正確解決本題的關鍵. 24考點：梯形中位線定理；平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì).專題：作圖題； 探究型. 分析：0)由兩直線平行同旁內(nèi)角互補，及角平分線的性質(zhì)不難得出/1+ /3=90 再由三 角形內(nèi)角和等于180 即可得出/AEB是直角的結(jié)論； (2) 過E點作輔助線EF使其平行于AM,由平行線的性質(zhì)可得出各角之間的關系，進一 步求出邊之間的關系； (3) 由中得出的結(jié)論可知EF為梯形ABCD的

28、中位線，可知無論DC的兩端點在AM、BN如何移 動，只要DC經(jīng)過點E, AD+BC的值總為一定值. 解答:解：(1 )VAM /BN , /. JMAB+ /ABN二180 0 又AE , BE分別為/ MAB、/NBA的平分線， /+ /3= 2 (ZMAB+ ZABN )二90 0 /EB=180 -Zl-Z3二90 0 即/AEB為直角； (2 )ilE點作輔助線EF使其平行于AM,如圖則EF /AD /BC , /EF二 Z4, /BEF= Z2, /二,/1= Z /EF二 Z3, /BEF= Zl, AF=FE=FB , F為AB的中 點,又EF /AD伯 C , 根據(jù)平行線等分線

29、 段定理得到 D E為DC中點, ED二EC ; (3 )由(2)中結(jié)論可知，無論DC的兩端點在AM、BN如何移動，只要DC經(jīng)過點E,總滿足EF為梯形 ABCD屮位線的條件，所以總有AD+BC二2EF二AB . 點評：本題是計算與作圖相結(jié)合的探索.對學生運用作圖工具的能力， 以及運用直角三角形、 等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，及梯形屮位線等基礎知識解決問題的能力都有較高的要求. 25 ； : 如圖，AABC的三邊AB , BC , CA長分別是20 , 30, 40,其三 條角平分線將 ABC分為三個三角形，則Szabo : S zbco : Szcao等于() A. 1 : 1 : 1B. 1: 2 : 3C . 2: 3 : 4D. 3: 4 : 5 考點：角平分線的性質(zhì). 專題：數(shù)形結(jié)合. 分析：利用角平分線上的一點到角兩邊的距離相等的性質(zhì)，可知三個三角形高相等， 底分別 是20 , 30 , 40,所以面積之比就是2 : 3: 4 . 解答：解：禾U用同高不同底的三角形的面積之比就是底之比可知選C . 故選C . 點評：本題主要考查了角平分線上的一點到兩邊的距離相等的性質(zhì)及三角形的面積公式.做 題時應用了三個三角形的高時相等的，這點式非常重要的. 26解： 正方形ABCD AB 二 BC , A0 二 B0 二 CO, /ABC