《數(shù)學方法論》數(shù)學模型方法

1、數(shù)學方法論教案第三章 數(shù)學模型方法在現(xiàn)代社會，隨著數(shù)學和科學技術(shù)的飛速發(fā)展，以及電子計算機的廣泛使用，科學技術(shù)數(shù)學化的進程正日益加速。任何科學技術(shù)要實現(xiàn)數(shù)學化，都必須首先把研究對象用數(shù)學語言和方法表述為具有一定的數(shù)學體系，也就是說建立有關(guān)研究對象的數(shù)學模型，這是科學技術(shù)數(shù)學化的關(guān)鍵。從歷史上來看，一些傳統(tǒng)的自然科學學科，如力學、物理學，是比較容易建立數(shù)學模型的，原因是這些學科其對象的各因子之間的界限比較分明，對它們進行量的測定也較為簡便。但是在其他一些學科，如生物學、社會學科和人文科學，就不太容易建立數(shù)學模型。不過這種情況，由于數(shù)學本身的充分發(fā)展，尤其是現(xiàn)代數(shù)學向高維、高次、多變量的推進，應用

2、數(shù)學和模糊數(shù)學的建立，統(tǒng)計方法的廣泛運用，計算工具的進步。特別是運算能力以數(shù)量級速度飛躍提高；再加上系統(tǒng)科學的發(fā)展以及各門科學技術(shù)自身的深入研究使得數(shù)學建模越出了自然科學、工程建設等傳統(tǒng)領(lǐng)域，迅速地向經(jīng)濟、管理、社會等領(lǐng)域擴展，成為一種解決問題的強有力的數(shù)學方法。我們可以這樣說，沒有不需使用數(shù)學的科學，只有尚未使用數(shù)學的科學。一切科學只有在成功地運用數(shù)學時，才算達到了真正完善的地步。數(shù)學模型方法越來越受到人們的重視，同時也引起了國際數(shù)學教育界的高度重視。這是因為：第一，隨著科學技術(shù)向更高層次發(fā)展，要求人們解決各類實際問題更加精確化和定量化，而數(shù)學建模正是從定性和定量的角度去分析和解決實際問題；

3、第二，計算技術(shù)的日新月異，高速、大型計算機的驚人發(fā)展，便得過去即使有了數(shù)學模型也無法求解的問題迎刃而解；第三，21世紀，我們面臨最大的挑戰(zhàn)是人才的培養(yǎng)問題，教育的根本任務是提高人的基本素質(zhì)，而數(shù)學建模在培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力、創(chuàng)新的思維能力等方面起到很好的作用。3.1 數(shù)學模型的意義所謂數(shù)學模型（mathematical model），就是用數(shù)學的語言和方法對各種實際對象作出抽象或模仿而形成的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學模型的過程叫做數(shù)學建模（mathematical modelling）。將所考察的實際問題，化為數(shù)學問題，構(gòu)造出相應數(shù)學模型，通過對數(shù)學模型的研究和解答，使原來的實際問題得

4、以解決，這種解決問題的方法叫做數(shù)學模型方法。在許多場合下，數(shù)學建模與數(shù)學模型方法是作為同義詞運用的。數(shù)學模型是通過抽象和簡化，使用數(shù)學語言對實際問題的一個近似的刻畫，以便于人們更深刻地認識所研究的對象。因此它不能等同于實際對象本身，它必須舍棄實際對象的質(zhì)的規(guī)定性，而是從量的關(guān)系上對實際對象作形式化的描述和刻畫，在這一過程中常常略去實際對象的某些次要性質(zhì)和因素，抓住其主要性質(zhì)和因素。因此數(shù)學模型雖然能從某些數(shù)量關(guān)系上反映實際對象的原形，但這種反映僅僅是一種近似和模擬。然而，正是由于用與之相應的數(shù)學模型去代替實際對象，才有可能把所研究的問題表達為數(shù)學問題，并使用與對象的質(zhì)的規(guī)定性無關(guān)的數(shù)學工具去分

5、析和處理問題，才能充分發(fā)揮數(shù)學工具在解決問題時的巨大作用。使我們能夠深化對所研究的實際問題的認識。例如力學中著名的牛頓第二定律就是描述受力物體的運動規(guī)律的一個成功的數(shù)學模型。其中x(t)表示運動物體在時刻t的位置，m為物體的質(zhì)量，而F表示運動期間物體所受的外力。模型忽略了物體的形狀和大小，由于它抓住了物體受力運動的主要因素，這一定律的出現(xiàn)大大深化了力與物體運動規(guī)律的研究工作。又如1.3中的“哥尼斯堡七橋問題”，歐拉成功解決這一問題的精彩之處在于他構(gòu)造了一個僅由點、線組成的簡單圖形，歐拉使用的就是典型的數(shù)學模型方法，圖1.2就是實際的哥尼斯堡七橋問題的一個數(shù)學模型。歐拉在構(gòu)造這一數(shù)學模型時，舍棄

6、了那些非本質(zhì)的因素（例如，兩岸的長短，兩島的大小，橋面的寬窄以及岸、島、橋 的形狀等），抓住了問題的本質(zhì)，把岸、島、橋抽象為點和線，而這些點和線的連接關(guān)系準確地反映了實際問題的本質(zhì)，正因為這一點，使得我們對數(shù)學模型分析求解所得的答案返回到實際問題中去的時候保證是有效的。歐拉解決哥尼斯堡七橋問題不只是解決了一個具體問題，他的方法具有極為重要的意義，這是一件具有開創(chuàng)意義的工作。七橋問題作為一個一筆畫問題，實際上是典型的拓撲學問題，它不考慮度量性質(zhì)，而只考慮在拓撲變換下的不變性質(zhì)，即不管圖形的壓縮或延伸，只管點與點的位置關(guān)系。歐拉在1751年還證明了另一定理：任何一個閉凸多面體的頂點數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)之

7、間有如下關(guān)系：這一定理連同七橋問題的解決（在一般意義下），這是組合拓撲學最早的兩項重要成果。因此，歐拉為拓撲學的建立做了開創(chuàng)性工作。上述的例子，足以說明數(shù)學模型方法的巨大意義，在這里我們還需要指出的是，數(shù)學模型能夠在研究中代替實際對象，它就必須與所反映的原形具有近似性和一致性，并且能夠把通過分析模型所得到的規(guī)律和結(jié)論返回到原型中去應用和檢驗，如果由數(shù)學模型得到的結(jié)論不合原型的實際，就需要調(diào)整或重新建立數(shù)學模型。3.2 數(shù)學模型的類型建立數(shù)學模型，會涉及到許多數(shù)學分支。一個問題，往往可以利用不同方法建立不同的模型。數(shù)學模型可以按照問題本身所處的領(lǐng)域和解決問題的方法，以及按照人們的各種不同意愿有各

8、種不同的分類方式。但作為數(shù)學領(lǐng)域來說，數(shù)學模型大體可分為三類：第一類是確定性數(shù)學模型。這類模型所反映的實體對象（或稱現(xiàn)實原型）具有確定性或固定性，這里所反映的是一種必然現(xiàn)象，反映的是因果律。這類模型的數(shù)學形式可以是各種各樣的方程式、關(guān)系式（包括邏輯關(guān)系式）、網(wǎng)絡圖等等。這種模型方法實際上是經(jīng)典的數(shù)學方法。第二類是隨機性數(shù)學模型。這類模型是處理大數(shù)現(xiàn)象的，它所反映的實體對象具有隨機性或或然性，它反映的是機遇律（與因果律相別）。這種模型使用的數(shù)學工具是概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的各種概念與方法，也包括隨機過程論、隨機微分方程式論等。第三類是模糊性數(shù)學模型。當涉及人類系統(tǒng)的行為或處理與人類系統(tǒng)行為可相比擬的

9、復雜系統(tǒng)時，確定性、隨機性數(shù)學模型不再是十分有效的。例如，在研究用電子計算機如何去模擬人腦并代替人去執(zhí)行一些任務（如識別圖像等）時，就需要把人們常用的模糊語言如“個子不高”、“比較年輕”、“胖胖的”等等設計成機器能接受的指令和程序（機器“語言”），以便機器能象人腦那樣簡捷靈活地作出相應的判斷，從而提高機器自動識別和控制模糊現(xiàn)象的效率。這就需要建立模糊性的數(shù)學模型，其實體對象及其關(guān)系均具有模糊性。這類模型使用的基本數(shù)學工具是1965年美國數(shù)學家查德提出的模糊集合和模糊邏輯。下面我們就三類數(shù)學模型分別列舉實例?？紤]鈾的衰變。問題是：現(xiàn)在鈾的質(zhì)量為，經(jīng)過多長時間之后衰減到只剩一半？如何構(gòu)成這一實際問

10、題的數(shù)學模型并通過對模型的數(shù)學加工（演算和推理）來最后解答問題？首先，實際上還是由觀察（或測定）入手的，要先弄清楚衰變有沒有一定的規(guī)律。這里，實際的觀測告訴我們，當鈾的質(zhì)量越大時，其衰減的速度越大；反之，質(zhì)量越小其衰減的速度較小，而且呈現(xiàn)線性關(guān)系。這表明這個問題屬于確定性類型，因此必定由經(jīng)典的數(shù)學模型方法解決。用表示時間，表示鈾在時刻的質(zhì)量。和這些符號實際上也就是時間、質(zhì)量這些物理量的數(shù)學模型。而我們要求的是整個問題的數(shù)學模型。由微積分知識即知， 表示鈾的變化速度，那么，表達上述確定關(guān)系的是以下微分方程式0）于是，整個問題就是以下微分方程的初值問題的求解：這就是所要求的教學模型。下一步就是對此

11、模型的數(shù)學處理，在此是求解，我們知道，這個初值問題的解是最終要回答“何時衰減到只剩一半？”這個問題實際上是由另一個模型來刻劃的：這是一個簡單的函數(shù)方程，其解為，即經(jīng)過這段時間之后鈾衰減一半。很明顯，若經(jīng)過之后鈾便衰減到只剩三分之一。對數(shù)學模型的這些分析工作，提供了一系列新的信息。一個好的數(shù)學模型就在于它不僅準確地刻劃了實體對象，而且能由它進一步得到許多新的信息。概率論中的各種分布分別是一些相應的隨機現(xiàn)象的數(shù)學模型。舉例如下：在同一生產(chǎn)條件下制造的電燈泡，其使用時數(shù)隨著燈泡的不同而不同，比如說，有的可用1200小時，有的可用1280小時等等，因此是一個變量。然而這個變量是隨機的。我們要從隨機性中

12、也找出規(guī)律（這種規(guī)律只是或然律，而區(qū)別于具有必然性的因果律）。實踐證明，在生產(chǎn)條件固定不變的情況下，使用時數(shù)特別長的燈泡和特別短的燈泡都是少數(shù)，即呈現(xiàn)出“中間大、兩頭小”的形態(tài)。一般說來，在生產(chǎn)條件不變的前提下，許多產(chǎn)品的某些量度（如磚的抗壓強度、細紗的強力、螺絲的口徑等等），都呈現(xiàn)出這種形態(tài)。這種情況在許多自然科學中也出現(xiàn)。如熱力學中理想氣體分子的速度分量、射擊時命中位置的偏差、物理學中測量同一物體的測量誤差、生物學中對同一種生物機體的某一量度（如身高、體重）的測量等等。這些量都有一個共同特點，它們可以視為許多獨立的隨機因素影響的結(jié)果，而每一種隨機因素的作用都是微小的，都不起決定性的主導作用

13、。例如燈泡的使用時數(shù)受著原料、工藝、保管條件等因素的影響，而每種影響在正常情況下都不起主導作用。刻劃這一類現(xiàn)象的數(shù)學模型就是所謂正態(tài)分布，的分布密度為 有了這一模型可以有效地解決許多問題。例1，某單位有200臺電話分機，根據(jù)實際使用情況統(tǒng)計，在上班時間內(nèi)，每個分機平均有5%的時間要使用外線通話。設各分機是否使用外線是彼此不相關(guān)的。問總機至少要裝多少條外線才能以90%的概率保證各分機在要使用外線時不被占線？此時，每個分機是否使用外線是一次獨立試驗，而且只有使用與不使用兩種結(jié)果。因此屬于貝努利概型，刻劃它的應該是二項式分布，故其中p=0.05,q=0.95.我們的目的要求出滿足不等式的最小正數(shù)m。

14、可以證明，當n很大時可用正態(tài)分布來近似計算。令 =1,2,200 顯然所以 其中 由于 故所要求的從以下不等式解出： 由正態(tài)分布表查出 因此由 得14.故得答案：總機應至少裝14條外線才能以90%的概率保證分機要使用外線時不被占線。例2 服裝的綜合評判模型。對商店里出售的服裝，顧客往往要從衣服的幾個方面進行評價。設因素集 評價集 對花色式樣這個因素，經(jīng)過市場調(diào)查，有20%的顧客對某類服裝很歡迎，70%的顧客表示較歡迎，10%的表示不太歡迎，沒有人表示不歡迎，由此可得出的單因素評判向量同樣對因素,分別作單因素評判，得到對耐穿程度、價格費用的單因素評判向量 于是構(gòu)成一個單因素評判矩陣 各種顧客由于

15、性別、年齡、職業(yè)和經(jīng)濟條件的不同，對服裝的三個因素所賦予的權(quán)重也不相同，假設某類顧客對因素集的權(quán)重確定如下：花色式樣 0.5耐穿程度 0.2價格費用 0.3此時對重分配向量為 =(0.5,0.2,0.3)當合成運算“ ”取為“-”(即“最大最小”)時， 這里T是矩陣轉(zhuǎn)置運算， 進一步將評判結(jié)果歸一化 0.2+0.5+0.3+0.1=1.1用1.1除各項得 (0.182 0.455 0.272 0.091)從最后的結(jié)果知，該類服裝顧客很歡迎的占18.2%，比較歡迎的占45.5%，不太歡迎的占27.2%，不歡迎的9.1%，生產(chǎn)廠家和商店可根據(jù)這個結(jié)果來決定生產(chǎn)或進貨銷售。3.3 數(shù)學模型的構(gòu)造 數(shù)

16、學建模的方法大體上可分為兩大類，一類是機理分析法，一類是測試分析法。所謂機理分析法就是根據(jù)實際問題的特性，找出反映內(nèi)部機理規(guī)律的變量以及它們之間的關(guān)系和類型，用教學結(jié)構(gòu)的式子表示出來。如果實際問題中變量之間的關(guān)系是確定性變量，則建模時所用的數(shù)量工具多數(shù)是微積分、微分方程、運籌學等；如果實際問題中變量之間的關(guān)系是隨機性變量，則建模時多數(shù)用概率、統(tǒng)計以及與它們有關(guān)的一些數(shù)學方法。所謂測試分析法就是將研究對象視為一個“黑箱”系統(tǒng)，內(nèi)部機理無法直接尋求，找不到反映實際問題的變量之間的關(guān)系，只是可以測量出輸入與輸出的數(shù)據(jù)，并在多次測量的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上運用統(tǒng)計分析法，按照事先確定的標準在某一類模型中選出一個與

17、數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。將這兩種方法結(jié)合起來也是常用建模方法，即用機理分析法建立模型的結(jié)構(gòu)，用測試分析法確定模型的參數(shù)。建立數(shù)學模型是一項創(chuàng)造性的勞動，不管用什么方法，都必須根據(jù)具體問題具體分析的原則，靈活機動，不斷修正，但一般都要經(jīng)過以下步驟：模型準備 對于要解決解決的實際問題，必需搜集和掌握一定數(shù)量的信息（數(shù)據(jù)、圖表及與其他事物的關(guān)系等），由此了解問題的背景，確定目的要求，因此，常常需要進行大量的統(tǒng)計工作和調(diào)查研究。模型假設 根據(jù)所掌握的信息和背景材料及建模的目的要求，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語言作出假設，簡化和假設都要適度，不同的簡化和假設導致不同的數(shù)學模型，從而得出對具體問

18、題的不同解答。此外，若假設不合理或未能反映必要的因素，則模型與實際情況不吻合，或僅部分吻合，在這種情況下，就要修改假設，所以，合理的假設是建立模型最關(guān)鍵的一步。模型構(gòu)成 根據(jù)所作的假設，分析研究對象的因果關(guān)系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當?shù)臄?shù)學工具，構(gòu)造各個量之間數(shù)學關(guān)系或其他數(shù)學結(jié)構(gòu)，構(gòu)建實際問題的數(shù)學模型。為了使所建立的數(shù)學模型為更多人所了解和運用，應該盡可能使用較簡單的數(shù)學工具。建立的模型要實用，有效，以解決問題有效為原則。模型求解 不同的模型用不同的方法求解，例如解方程、畫圖形、邏輯推理、數(shù)值計算等方法，特別要用計算機技術(shù)為模型求解服務。在模型求解過程中，需要建立數(shù)學命題時，命題敘述要符合

19、數(shù)學命題的表述規(guī)范，盡可能論證嚴密。計算過程中，需要說明計算方法或算法的原理、思想、依據(jù)、步驟。應設法算出合理的數(shù)值結(jié)果，最終數(shù)值結(jié)果的正確性或合理性是第一位的。 模型分析 對模型解答進行數(shù)學上的分析，有時要根據(jù)問題的性質(zhì)分析變量間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定狀況，有時是根據(jù)所得結(jié)果給出數(shù)學上的預報，有時則可能要給出數(shù)學上的最優(yōu)決策或控制。不論以哪種情況還常常需要進行誤差分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或靈敏性分析等。在問題分析推導過程中，所用的原理、依據(jù)應正確、明確；模型分析應中肯、確切；所用術(shù)語應專業(yè)、內(nèi)行；表述應簡明，關(guān)鍵步驟要列出。模型檢驗 將對數(shù)學模型的解的分析結(jié)果“譯”成有關(guān)具體問題的答案，利用已有的

20、資料、數(shù)據(jù)，驗證這一解答的正確程度和適用范圍。這一步對于建模的成敗是非常重要的。如果發(fā)現(xiàn)這一解答不符合實際情況，就應該檢查數(shù)學模型的求解過程是否有誤，若確認無誤，則應修改或補充假設，有時可能要去掉一些變量，改變一些變量的性質(zhì)，如把連續(xù)變量改成離散變量，把變量間的非線性關(guān)系改為線性關(guān)系等，重新建立數(shù)學模型。有些模型要經(jīng)過幾次反復，不斷完善，直到檢驗結(jié)果獲得某種程度上的滿意。數(shù)學模型方法的步驟如下圖所示模型準備模型檢驗模型構(gòu)成模型假設模型術(shù)解模型分析下面我們將給出一些數(shù)學建模的例子：例1 方桌平衡問題：一張四條腿等長的方桌放在不平的地面上，是否總有辦法使小條腿同時著地？圖3.1ABCDA B C

21、D O x y這個問題似乎與數(shù)學沒有什么關(guān)系，但實際情況并非如此，我們完全可以將它數(shù)學化，建立一個簡單的數(shù)學模型，在下列的假設下，可以得到肯定的答案。假設（1）地面是一個連續(xù)曲面；（2）對于地面的彎曲程度而言，桌腿有足夠的長度；（3）桌腿底部的面積可忽略不計，即當桌腿底部與地面接觸時，可看成幾何中的點與面的關(guān)系。建立模型的關(guān)鍵在于恰當?shù)貙ふ冶硎咀滥_的位置的變量，并把要證明的“四條腿同時著地”這個結(jié)論歸結(jié)為簡單的數(shù)學關(guān)系?，F(xiàn)以、分別表示方桌的四條腿的終端，則是一個正方形，以表示它的中心，如圖3.1所示。建立以為原點，為軸，為軸的平面直角坐標系。當方桌繞點轉(zhuǎn)動時，對角線與軸的夾角來表示方桌的位置（

22、在圖3.1中，正方形繞點轉(zhuǎn)動至、，此時與軸的夾角為）?！八臈l腿同時著地”就是四條桌腿的終端與地面的距離都等于零。方桌位于不同的位置，桌腿的終端與地面的距離情況不同，因此這距離是的函數(shù)。用與分別表示兩腿與兩腿到地面的距離之和。由假設（1）可知，與都是非負的連續(xù)函數(shù)；由假設（2）可知，至少有三條桌腿可以同時著地，即對于任意的，與中總有一個為零，因此=0。特別地，有。如果，則問題已經(jīng)解決，即四條腿同時著地。因此，不妨設，這樣可建立方桌平衡問題的數(shù)學模型。問題：已知連續(xù)的非負函數(shù)與，滿足條件=0，問是否存在0，使得，其中00?，F(xiàn)在證明，這樣的0是存在的。事實上，若將方桌繞O點轉(zhuǎn)動，即與互換位置，則有。

23、記，則也是連續(xù)函數(shù)，并且滿足條件 。利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可知必存在0,00 使得 即 又因?qū)θ我?，均有，?也應有 由，易得。即總有辦法使方桌的四條腿同時著地。此問題解決得非常巧妙而簡單，從中可學到一些建立數(shù)學模型的具體技巧：用一元變量表示方桌的位置，將距離表示為的函數(shù)，桌子有四條腿，但只設兩個函數(shù)和；證明時轉(zhuǎn)動；設輔助函數(shù)并利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)等。例2 核武器競爭問題自從核武器問世以來，核大國之間從未停止過競爭，單純增加核武器數(shù)量的做法是不可取的，因為它將導致財政負擔過重，因此，某個國家在安排核武器生產(chǎn)的時候，為保證自身的安全，需要持有某一最少數(shù)量的核武器，即在受到敵方第一次核打擊后，仍有足夠

24、數(shù)量的核武器保存下來，以便給敵方致命回擊。這樣，每個國家都要確定一個下界，當它的核武器數(shù)超過這個下界時，它才是安全的，稱此下界為安全界。顯然安全界與其他國家的核武器數(shù)量有關(guān)?，F(xiàn)在的問題是，如果有兩個擁有核武器的敵對國，那么，是否存在一個下界，當兩國的核武器都超過這個下界時，它們都是安全的？如若存在的話。稱它為穩(wěn)定界。我們能用數(shù)學模型方法說明，在一次打擊不可能摧毀對方的假定下，這樣的穩(wěn)定界是存在的。假設（1）雙方的核武器數(shù)當作實數(shù)討論（因為核武器數(shù)是很大的整數(shù)，所以這一假設引起的誤差是很小的）；（2）雙方每一件核武器具有相同的殺傷效果；（3）當一方用其全部核武器打擊對方時，對方仍可剩余一些核武器

25、，被打擊一方的每件核武器能完好保存的概率都相同。現(xiàn)以和分別表示甲、乙兩國的核武器數(shù)，顯然，甲方為了自身的安全，其擁有的核武器數(shù)要隨著乙方核武器數(shù)的增長，因而它是的單調(diào)增加函數(shù)，記為。同樣道理，存在另一個單調(diào)增加函數(shù)。以表示曲線和軸的交點，以表示曲線和軸的交點。那么，由安全界的定義可知，當乙國沒有核武器時，甲國的核武器數(shù)只要不少于，就可給乙國以致命打擊。也有同樣的意義。yxO圖3.3xM（）Oy圖3.2給出函數(shù)與的圖象，如圖3.2所示。由安全界的定義可知，在曲線的上方，乙國是安全的。如果這兩條曲線相交，那么就存在共同的安全界，如圖3.2所示。兩曲線的交點 稱為競爭的平衡點。和 就是雙方都感到安全

26、時，甲、乙兩國分別擁有的最少核武器數(shù)?，F(xiàn)在證明，在我們的假設下，兩曲線一定相交，即雙方安全區(qū)一定存在。為此，只需證明曲線的斜率和曲線的斜率都是無限增加的。對于任意的常數(shù)0。直線上的點表示乙國的核武器數(shù)是甲國的倍。當乙國的全部核武器打擊甲國后，由假設（3）知。甲國的核武器不會被全部摧毀，而且，每個核武器被完好保存的概率相同，設為。于是，甲國在經(jīng)過乙國的核攻擊后保留下件核武器，當時，就可給乙國以致命的還擊。這說明此時的對甲國來說是安全的，即當時上的都落在的右方，從而的斜率不會小于的斜率，如圖3.3所示。但是任意的正常數(shù)，即的斜率是無限增加的。同樣可以證明，y=g(x)的斜率也是無限增加的。因此，曲

27、線與必定相交，即如圖3.2所示的雙方安全區(qū)一定存在。M圖3.4再考慮，如果甲國對核基地采取加固措施，則增大，核武器可以減少，此時曲線左移（保持不動），如圖3.4中所示。如果這時乙國感到要給對方以致命打擊，必須擁有比更多的核武器，則曲線將向上平移，如圖3.4中所示。于是平衡點從移向，又移向。此時核武器競爭將進一步升級。在核武器競爭中，科學地制定對策十分重要。在60年代，蘇聯(lián)人重視發(fā)展億噸級氫彈，企圖以加強核武器威力的方式在競爭中占據(jù)優(yōu)勢。此時美國進行多次模擬爆炸試驗，推導出一個經(jīng)驗公式：其中為破壞力大小，為爆炸威力，為精確度。由此公式可以看出，若爆炸力提高到8倍，則破壞力增大到4倍；若精確度提高

28、8倍，則破壞力提高到64倍?；谶@個分析，美國采取了以提高精確度為主的對策，以后的事實證明，美國所采取的對策是正確的。 例3、市場平衡問題市場供求關(guān)系是非常復雜的，我們在自由競爭的市場經(jīng)濟條件下，討論市場的供求平衡問題。MSD圖3.5（A）MSD設某商品的數(shù)量為，單價為。站在消費者的角度，價格低就愿意多買，即越小，就越大；反之，價格高就少買，即越大，就越小。兩者之間的關(guān)系可用圖3.5中的曲線表示，稱為需求曲線，它是單調(diào)下降的；另一方面，從生產(chǎn)者的角度來看，根據(jù)價格來決定生產(chǎn)數(shù)量越大也越大兩者這間的關(guān)系可用圖3.5中的曲線表示，稱為供應曲線，它是單調(diào)上升的。曲線與曲線交點稱為供求平衡點，此時市場

29、處于供求平衡狀態(tài)。然而在實際情況中，由于各種因素的影響，生產(chǎn)與銷售往往會偏離平衡點，出現(xiàn)供求不平衡的狀況，我們要討論的是，能否通過調(diào)節(jié)價格的手段使之逐步趨向平衡點？如果需求曲線和供應曲線如圖3.5（A）所示，曲線的斜率的絕對值大于曲線的斜率絕對值，從供求不平衡點出發(fā)，按需求曲線成交的價格是（消費者認為，東西多，價格應便宜），即，而一旦價格降到，生產(chǎn)者就要將產(chǎn)量由降到，即，而對應在需求曲線D上成交的價格是，即，這一變化過程，即 最后達到平衡點。在圖3.5（B）中，供應曲線的斜率的絕對值小于需求曲線的斜率的絕對值，從供求不平衡點出發(fā)，變化發(fā)展方向，越來越遠離平衡點，所以市場將出現(xiàn)紊亂。因此，平衡點

30、是穩(wěn)定的還是不穩(wěn)定的，取決于平衡點附近的曲線和曲線和斜率，當時，能夠通過調(diào)整價格使市場穩(wěn)定；當 時，市場不穩(wěn)定，此時可采取行政干預手段。如通過立法或發(fā)布行政命令價格使不得改變，于是=0，不管曲線的斜率如何，市場總是趨向穩(wěn)定的。用供應曲線和需求曲線分析市場供求關(guān)系穩(wěn)定性的圖示法，在經(jīng)濟學中稱為蛛網(wǎng)模型。曲線和曲線可由一系列的統(tǒng)計數(shù)據(jù)近似得到，在圖3.5中，曲線由點構(gòu)成，曲線由點 構(gòu)成。因為價格是市場穩(wěn)定與否的主要因素，那么，應該如何確定商品的價格？下面給出一個數(shù)學模型。假設（1）某商品的價格為，需求函數(shù)是的減函數(shù)，供應函數(shù)是的增函數(shù)，是供求平衡點，如圖3.6所示；均為線性函數(shù)： 其中0，且有 把

31、時間t分為若干相等的時段，設是時的商品價格，則時的商品需求量依賴于此時的商品價格，即；而商品供應量依賴于時的價格，即。要使市場供求平衡，應有 = 由，可得圖3.6pS（p）D（p）O即 是一階線性差分方程，利用遞推關(guān)系，可得若1，當時即趨于平衡；若 1，當 時，遠離平衡點。利用式可合理制定時的價格。應該注意，圖3.6中自變量是，而圖3-5中的自變量是，因此 與與 分別存在倒數(shù)關(guān)系，但當時，它們趨向或不趨向平衡點的結(jié)論是一致的。例4“節(jié)水洗衣機”問題我國淡水資源有限，節(jié)約用水人人有責，洗衣在家庭用水中與有相當大的份額，目前洗衣機已非常普及、節(jié)約洗衣機用水十分重要。假設在放入衣物和洗滌劑后洗衣機的

32、運行過程為：加水漂洗脫水加水漂洗脫水加水漂洗脫水（稱“加水漂洗脫水”為運行一輪），請為洗衣機設計一種程序（包括運行多少輪、每輪加水量等），使在滿足一定洗滌效果的條件下，總用水量最少。 這個問題是實際生活中的優(yōu)化問題，我們不對洗衣的微觀機制（包括機械的、物理的、化學的、物理化學的）作討論，而僅僅從宏觀的層次去把握。洗衣的基本原理就是將吸附在衣物上的污物溶于水中，通過脫去污水而帶走污物?！叭芪畚锩撐畚铩笔怯蓛蓚€根本要素構(gòu)成的一個“元動作”，無論是如何精心設計的洗衣方式和程序都是以此為基礎(chǔ)的。洗衣的過程就是通過加水來實現(xiàn)上述“溶污物脫污水”動作的反復執(zhí)行，使得殘留在衣物上的污物越來越少，直到滿意的程

33、度。通常洗衣要加入洗滌劑，它幫助衣物上原有的污物溶解。但應注意的是，洗滌劑本身也是不希望留在衣物上的東西。因此“污物”應是衣物上原有的污物與洗滌劑的總和。有了這種認識之后，我們就可以統(tǒng)一地處理“洗滌”（即通常加洗滌劑以首輪洗衣）和“漂洗”（即通常的以后各輪洗衣，不再加洗滌劑，但水中還剩余洗滌劑），把二者都看作“溶污物”環(huán)節(jié)。立足于“溶污物脫污水”這種基本原理，我們可以找出“節(jié)水洗衣機”問題的基本要點如下：1、污物的溶解程度如何？我們將用“溶解特性”來刻劃。2、每輪脫去污水后污物減少情況如何？這將由系統(tǒng)的動態(tài)方程表示。3、如何設計由一系列“溶污物脫污水”構(gòu)成的節(jié)水洗衣程序？這將通過用水程序來反映。為建立模型，我們提出如下假設：1、僅考慮離散的洗衣方案，即“加水洗滌脫水”三個環(huán)節(jié)是分離的。這本三個環(huán)節(jié)構(gòu)成一個洗衣周期，稱為“一輪”2、每輪用水量是不能低于，否則洗衣機無法轉(zhuǎn)動；用水量不能高于，否則會溢出，且。3、每輪的洗滌時間是足夠的，以便衣物上的污物充分溶入水中，從而使每輪所用的水被充分利用。4、每輪的脫水時間也是足夠的