三角形各個(gè)心的定義及性質(zhì)[共4頁]

1、三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)。三角形的重心的性質(zhì)1.重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為 2：1。2.重心和三角形 3 個(gè)頂點(diǎn)組成的 3 個(gè)三角形面積相等。3.重心到三角形 3 個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。4.在平面直角坐標(biāo)系中, 重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均,即其坐標(biāo)為(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3) ；空間直角坐標(biāo)系 橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3 縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標(biāo)：（ Z1+Z2+Z3 ）/35.重心和三角形 3 個(gè)頂點(diǎn)的連線的任意一條連線將三角形面積平分。6.重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線

2、的交點(diǎn) (或內(nèi)切圓的圓心 )。三角形的內(nèi)心的性質(zhì)1.三角形的三條角平分線交于一點(diǎn),該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心2.三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等,都等于內(nèi)切圓半徑 r3.r=2S/(a+b+c)4.在 RtABC 中,C=90 ,r=(a+b-c)/2 5.BOC = 90 +A/2 BOA = 90 +C/2 AOC = 90 +B/26.S=(a+b+c)r/2 (r 是內(nèi)切圓半徑 )三角形的外心是三角形三條垂直平分線的交點(diǎn) (或三角形外接圓的圓心) 。三角形的外心的性質(zhì)1.三角形三條邊的垂直平分線的交于一點(diǎn), 該點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心.2 三角形的外接圓有且只有一個(gè),即對(duì)于給定的三角形,其外心是

3、唯一的,但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè),這些三角形的外心重合。3.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；鈍角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心與斜邊的中點(diǎn)重合4.OA=OB=OC=R5.BOC=2 BAC ,AOB=2 ACB ,COA=2 CBA6.SABC=abc/4R三角形的垂心是三角形三邊上的高的交點(diǎn) (通常用 H 表示)。三角形的垂心的性質(zhì)1.銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的垂心在三角形外2.三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說, 三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心3. 垂心 O 關(guān)于三邊的對(duì)稱點(diǎn),均在 ABC 的外接圓上4.ABC 中,有六組四點(diǎn)

4、共圓, 有三組(每組四個(gè) )相似的直角三角形,且 AO OD=BO OE=CO OF5. H、A、B、C 四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心 (并稱這樣的四點(diǎn)為一 垂心組)。6.ABC,ABO ,BCO,ACO 的外接圓是等圓。7.在非直角三角形中, 過 O 的直線交 AB、AC 所在直線分別于 P、Q,則 AB/AP tanB+ AC/AQ tanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離,等于外心到對(duì)邊的距離的 2 倍。9.設(shè) O,H 分別為 ABC 的外心和垂心, 則BAO= HAC,ABH=OBC,BCO=HCA。 10.銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的 2 倍。