角平分線的性質(zhì)和判定

1、 畫AOB,將將AOB對折對折,折痕OC ,在在OC上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)P,過過P向角的向角的兩邊作垂線段兩邊作垂線段PD、PE,并度量所畫PD、PE是否等長？畫一畫畫一畫命題：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等命題：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等題設(shè)：一個點(diǎn)在一個角的平分線上題設(shè)：一個點(diǎn)在一個角的平分線上結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等已知：已知：OC是是AOB的平分線，點(diǎn)的平分線，點(diǎn)P在在OC上，上，PD OA ，PE OB，垂足分別是，垂足分別是D、E.求證：求證：PD=PE.AOBPED角平分線的性質(zhì)定理：角平分線的性質(zhì)定理：BADOPEC定理應(yīng)用所具備

2、的條件：（1）角的平分線；）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離。）垂直距離。定理的作用： 證明線段相等。證明線段相等。應(yīng)用定理的書寫格式：OP 是是 的平分線的平分線AOBOAPD OBPE PD = PE （在角的平分線上的點(diǎn)在角的平分線上的點(diǎn) 到這個角的兩邊的距離相等。到這個角的兩邊的距離相等。）推理的理由有三個，推理的理由有三個，必須寫完全，不能少必須寫完全，不能少了任何一個。了任何一個。 如圖，如圖，AD平分平分BAC（已知）（已知） = ，( ) 在角的平分線上的點(diǎn)到這在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。個角的兩邊的距離相等。ADCBBD CD

3、（） 如圖，如圖， DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，( ) 在角的平分線上的點(diǎn)到這在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。個角的兩邊的距離相等。ADCBBD CD（） AD平分平分BAC, DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，（ ） DBDC在角的平分線上的點(diǎn)到這個在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。角的兩邊的距離相等。ADCB不必再證全等不必再證全等 到一個角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在到一個角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個角平分線上。這個角平分線上。已知：已知：PD OA ，PE OB，垂足分別是，垂足分別是D、E，PD=PE. 求證：求證： 點(diǎn)點(diǎn)P在在AOB的平

4、分線上。的平分線上。角平分線的判定角平分線的判定AOBPDEC定理：定理：用符號語言表示為：用符號語言表示為：PD=PE PD OA ，PE OB 1= 2 .由上面兩個定理可知：到角的兩邊的距離由上面兩個定理可知：到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，都在這個角平分線上；反過來，相等的點(diǎn)，都在這個角平分線上；反過來，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。 角的平分線是到角的兩邊距離相等角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合的所有點(diǎn)的集合.練一練練一練填空：填空：(1). 1= 2,DCAC, DEAB _(_)(1). DCAC ,DEAB ,DC=DE_(_ _

5、)ACDEB121= 2DC=DE到一個角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個角平分線上。到一個角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個角平分線上。在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等2.已知：如圖，已知：如圖，C= C=90 ，AC=AC .求證求證（1） ABC= ABC ；（；（2）BC=BC .（要（要求不用三角形全等的判定）求不用三角形全等的判定）BCAC課堂小結(jié)課堂小結(jié) 1.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線的性質(zhì)定理：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等 2.角平分線的判定角平分線的判定定理定理:到一個角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個

6、角平分線上。到一個角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個角平分線上。 3.角平分線的性質(zhì)定理和角平分線的判定角平分線的性質(zhì)定理和角平分線的判定定定理是證明角相等、線段相等的新途徑理是證明角相等、線段相等的新途徑.例例 已知：如圖，已知：如圖，ABC的角平分線的角平分線BM、CN相相 交于點(diǎn)交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P到三邊到三邊AB、BC、CA的距離相等的距離相等.證明：過點(diǎn)證明：過點(diǎn)P作作PD 、PE、PF分別分別垂直垂直于于AB、BC、CA，垂足為，垂足為D、E、FBM是是ABC的角平分線，點(diǎn)的角平分線，點(diǎn)P在在BM上（已知）上（已知）PD=PE（在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）相等）同理同理 PE=PF. PD=PE=PF.即點(diǎn)即點(diǎn)P到邊到邊AB、BC、CA的距離相等的距離相等DEFABCPMN求證：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)。求證：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)。利用結(jié)論，解決問題練一練 1、如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村.要使這個度假村到三條公路的距離相等,應(yīng)在何處修建?拓展與延伸2、直線表示三