概率論與數(shù)理統(tǒng)計32PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計32解例1).(),(, 00, 0,1),( ),()( )(5 . 05 . 05 . 0 xFXYXyxeeeyxFyxFX,YXyxyx的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù)關(guān)于關(guān)于求求其他其他的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為設(shè)向量設(shè)向量 0, 00),1(lim )(5 . 05 . 05 . 0 xxeeeyxxxy 0, 00,1 5 . 0 xxex.5 . 0 的指數(shù)分布的指數(shù)分布服從參數(shù)為服從參數(shù)為即即X),(lim),()( )(),( yxFxFxFxFXYXyXX 為為的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù)關(guān)于關(guān)于第1頁/共38頁.),( , 3 , 2

2、, 1 ),( , 3 , 2 , 1 ),( ,)( 邊緣分布率邊緣分布率的的和和關(guān)于分量關(guān)于分量向量向量稱為稱為的分布率為的分布率為和和為二維離散型變量為二維離散型變量設(shè)設(shè)YXYXjyYPpixXPpYXX,Yjjii 則則的分布率為的分布率為設(shè)二維離散型向量設(shè)二維離散型向量, 3 , 2 , 1, ),( )( jiyYxXPpX,Yjiij第2頁/共38頁 111)()( )()()(. ),( (1)jijjjijjiiipyYxXPyYxXpxXPpXYX為為邊緣分布率邊緣分布率的的關(guān)于關(guān)于 111.)()( )()()( ),( (2)iijijijiijjpyYxXPyYxXp

3、yYPpyYX為為邊緣分布率邊緣分布率的的關(guān)于關(guān)于第3頁/共38頁【注注】邊緣分布律可由聯(lián)合分布律表所決定邊緣分布律可由聯(lián)合分布律表所決定: Y X y1 y2 yj pi. x1 p11 p12 p1j p1. x2 p21 P22 p2j p2. xi pi1 pi2 pij pi. p.j p.1 p.2 p.j 1 即即 pi.是聯(lián)合分布律表中是聯(lián)合分布律表中 xi所在行的概率之和所在行的概率之和 p.j是聯(lián)合分布律表中是聯(lián)合分布律表中 yj所在列的概率之和所在列的概率之和 第4頁/共38頁X Y 1 2 3 4 P(X=i) 1 1/4 0 0 0 1/4 2 1/8 1/8 0 0

4、 1/4 3 1/12 1/12 1/12 0 1/4 4 1/16 1/16 1/16 1/16 1/4 P(Y=j) 25/48 13/48 7/48 3/48 1 例2 令隨機(jī)變量X表示在1,2,3,4中等可能地取一個值, 令隨機(jī)變量Y表示在1至 X中等可能地取一個值. 求(X,Y) 的聯(lián)合分布律和X與Y的邊緣分布律.解 P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j|X=i)=(1/4)(1/i),(ij),于是(X,Y)的聯(lián)合分布律和X與Y的邊緣分布律為:第5頁/共38頁例3 把3個白球和3個紅球等可能地放入甲乙三個盒子中. 記落入甲盒子的白球個數(shù)為X, 落入乙號盒子的紅球個數(shù)為Y.

5、求(X,Y)的分布律和關(guān)于X和Y的邊緣分布律.解 顯然有又因為事件(X=i)與事件(Y=j)相互獨立,所以有3 , 2 , 1 , 0 ,)()()()(332313 iCiYPiXPiii)()(),(iYPiXPiYiXP 3 , 2 , 1 , 0, ,)()()()(332313332313 jiCCjjjiii第6頁/共38頁X Y 0 1 2 3 P(X=i) 0 (8/27) (8/27) (4/9) (8/27) (2/9) (8/27) (1/27) (8/27) 8/27 1 (8/27) (4/9) (4/9) (4/9) (2/9) (4/9) (1/27) (4/9)

6、 4/9 2 (8/27) (2/9) (4/9) (2/9) (2/9) (2/9) (1/27) (2/9) 2/9 3 (8/27) (1/27) (4/9) (1/27) (2/9) (1/27) (1/27) (1/27) 1/27 P(Y=j) 8/27 4/9 2/9 1/27 1 用表格可如下表示第7頁/共38頁定義定義 設(shè)設(shè)( (X,Y) )為二維連續(xù)型隨機(jī)變量為二維連續(xù)型隨機(jī)變量, ,X和和 Y的密度的密度函數(shù)函數(shù) fX( (x) )和和 fY( (y) )依次稱為依次稱為( (X,Y) )分別關(guān)于分別關(guān)于 X和和 Y的的邊緣密度函數(shù)邊緣密度函數(shù). . 邊緣密度函數(shù)完全由聯(lián)

7、合密度函數(shù)所決定. 第8頁/共38頁dxdyyxfxFxFxX),(),()( dydxyxfyFyFyY),(),()( dyyxfxfX),()( dxyxfyfY),()(設(shè)連續(xù)型二維隨機(jī)向量(X,Y)的概率密度函數(shù)為 f(x,y), 則從而得到X和Y的概率密度函數(shù)分別為第9頁/共38頁例例 4 4 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度的概率密度 分別求分別求 X 和和 Y 的密度函數(shù)的密度函數(shù) fX( (x) )和和 fY( (y) ). . 其它其它00),(yxeyxfy解 X的密度函數(shù) fX(x) 為Y的密度函數(shù) fY(y) 為 其它其它其它其它, 00, 00),(

8、)(xexdyedyyxfxfxxyX 其它其它其它其它, 00, 00),()(0yyeydxedxyxfyfyyyY第10頁/共38頁 其它其它, 0, 6),(2xyxyxf 其它其它, 010),(606),()(22xxxdydyyxfxfxxX例5 設(shè)隨機(jī)變量X和Y具有聯(lián)合概率密度求邊緣概率密度fX(x)和fY(y).解 其它其它, 010),(606),()(yyydxdxyxfyfyyY第11頁/共38頁例例 6 設(shè)二維隨機(jī)設(shè)二維隨機(jī)向向量量(X,Y)服從單位圓服從單位圓221xy上的均上的均勻分布勻分布, ,求求(X,Y)關(guān)于關(guān)于 X 和和 Y 的邊緣分布的邊緣分布. 解 (

9、X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù) 則(X,Y)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)(X,Y)關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù) 其它其它, 01,1),(22yxyxf 其它其它, 011,1201),()(21122xxdydyyxfxfxxX 其它其它, 011,1201),()(21122yydxdxyxfyfyyY 第12頁/共38頁(1) (X,Y)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù) 例7 則則設(shè)設(shè) ),(YX, 222121 N).,( ,21211211211 NXxex即即， dyedyyxfxfyyxxX222221121122)1(21221121),()( dyeyxx22211211221)1(21221121 dyeyx

10、x22222112111121221121 第13頁/共38頁(2) (X,Y)關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù) 例7 則則設(shè)設(shè) ),(YX, 222121 N).,( ,21),()( 222212222 NYyedxyxfyfyY即即 注意 )()(),(0yfxfyxfYX 兩個正態(tài)變量X,Y，構(gòu)成正態(tài)向量(X,Y),有多種方法，不同的參數(shù)對應(yīng)不同的正態(tài)向量(X,Y).第14頁/共38頁 隨機(jī)變量相互獨立是概率論中非常重要的概念,它是隨機(jī)事件相互獨立的推廣.本節(jié)主要討論兩個隨機(jī)變量相互獨立的一般性定義, 然后對兩個離散型隨機(jī)變量和兩個連續(xù)型隨機(jī)變量相互獨立進(jìn)行不同的處理.第15頁/共38頁一般結(jié)論:

11、X與Y相互獨立的充分必要條件是F(x,y)=FX(x)FY(y), 即 (X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)等于x的函數(shù)與y的函數(shù)的乘積. 即 F(x,y)=G(x)H(y)G和H不一定是分布函數(shù).定義3.1 設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)分別為F(x,y),FX(x)和FY(y). 如果對任意的x,y有 F(x,y)=FX(x)FY(y) (聯(lián)合分布函數(shù)等于邊緣分布函數(shù)的乘積)則稱隨機(jī)變量X和Y相互獨立.)()(),(yYPxXPyYxXP 第16頁/共38頁定理 設(shè)二維離散性隨機(jī)變量 (X,Y) 的聯(lián)合分布律和邊緣分布律分別為pij ,(i,j=1,2,)和pi. ,

12、(i=1,2,)、p.j, (j=1,2,),則X與Y相互獨立的充分必要條件是對(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有即)()(),(jijiyYPxXPyYxXP ), 3 , 2 , 1,( jipppjiij(聯(lián)合分布律等于邊緣分布律的乘積).第17頁/共38頁定理 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y)和邊緣密度函數(shù)分別為fX(x)和fY(y) , 則X與Y相互獨立的充分必要條件是對任意的x,y,有 (聯(lián)合密度函數(shù)等于邊緣密度函數(shù)的乘積)()(),(yfxfyxfYX 一般的結(jié)論 設(shè)二維連續(xù)性隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y),則X與Y相互獨立的充分

13、必要條件是對任意的x,y,有即聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y)等于x的函數(shù)與y的函數(shù)的乘積.)()(),(yhxgyxf 其中g(shù)和h不一定是分布函數(shù).第18頁/共38頁證明 (X,Y)的可能取值為(0,0),(0,1), (1,0), (1,1), 則(X,Y) 的聯(lián)合分布律和邊緣分布律如右表所示.X Y 0 1 pi. 0 6 /2 0 6 /20 1 2 /20 1 6 /2 0 2 /20 8 /2 0 p .j 1 2 /20 8 /20 1 例8 袋中有2個黑球3個白球,從袋中隨機(jī)取兩次,每次取一個球,取后不放回.令證明X與Y不相互獨立. 第二次取到白球第二次取到白球第二次取到黑球第二次取到

14、黑球第一次取到白球第一次取到白球第一次取到黑球第一次取到黑球, 0, 1 , 0, 1YX., , 1 . 020/2,16. 0)20/8()20/8(11111111不獨立不獨立與與故故因因YXpppppp 第19頁/共38頁 其他其他, 00, 0,),()(yxeyxfyx 其它其它, 00, 0),()(0)(xedyedyyxfxfxyxX例9 設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的概率密度函數(shù)為試證X和Y相互獨立.證明于是有 f(x,y)= fX(x) fY(y) 所以X和Y相互獨立. 其它其它, 00, 0),()(0)(yedxedxyxfyfyyxY第20頁/共38頁解 (1)X與Y的密度

15、函數(shù)分別為 因為X與Y相互獨立,所以(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)例10 設(shè)X服從參數(shù)為=1的指數(shù)分布,YU(0,1),且X與Y相互獨立.(1)寫出(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y);(2)求P(X+Y1). 其它其它, 00,)(xexfxX 其它其它, 010, 1)(yyfY 其它其它, 010 ,0,)()(),(yxeyfxfyxfxYX第21頁/共38頁解 (2)因為 所以例10 設(shè)X服從參數(shù)為=1的指數(shù)分布,YU(0,1),且X與Y相互獨立.(1)寫出(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y);(2)求P(X+Y1). 其它其它, 010 ,0,)()(),( yxeyfxfyxfxYX

16、1),()1(yxdxdyyxfYXP11010 edxedyyx第22頁/共38頁證 關(guān)于X與Y的邊緣密度函數(shù)分別為 則X與Y相互獨立的充分必要條件是即例12 設(shè)),(),(222121 NYXX與Y相互獨立的充分必要條件是 , 證明. 0 xexfxX ,21)( 21212)(1 yeyfyY,21)( 22222)(2 )()(),( yfxfyxfYX 0 第23頁/共38頁定義)()()( ),( )()()( ),( ,)(),(, 221122112121212121nnnnnXXXniXinnxXPxXPxXPxXxXxXPxFxFxFxxxFxFXxxxFXXXnni 即即

17、的的乘乘積積的的分分布布函函數(shù)數(shù)各各個個變變量量等等于于數(shù)數(shù)如如果果它它們們的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布函函相相互互獨獨立立個個隨隨機(jī)機(jī)變變量量稱稱第24頁/共38頁),(),( ),( , , ,1 ,1 ,1 ,1 , 11111111212121212121llkkllkklkjjjjiiiijjjjiiiijjjiiilkmnyYyYPxXxXPyYyYxXxXPyyyxxxmjjjmlniiinkYYYXXX 都有都有與與和任意的實數(shù)和任意的實數(shù)若對任意若對任意相互獨立相互獨立組組與與組組稱稱定義定理.),(),( , , 21212121相互獨立相互獨立與與變量變量隨機(jī)隨機(jī)和和對任意的實值

18、函數(shù)對任意的實值函數(shù)則則相互獨立相互獨立組組與與組組若若mnmnYYYHXXXGHGYYYXXX上述定義和定理只做簡單介紹第25頁/共38頁條件分布是條件概率的推廣. 本節(jié)主要討論關(guān)于二維離散型隨機(jī)變量的條件分布律和關(guān)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù). 第26頁/共38頁定義定義 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的的分布律為分布律為 X 和和 Y 的邊緣分布律分別為的邊緣分布律分別為 (1)(1) 對于給定的對于給定的j j, ,如果如果 P(Y=yj)0, ,則稱則稱 為在為在 Y=yj的條件下隨機(jī)變量的條件下隨機(jī)變量 X 的的條件分布律條件分布律. . , 3 , 2

19、, 1, , ),( jiyYxXPpjiij, 3 , 2 , 1 , )( ixXPpii, 3 , 2 , 1 , )( jyYPpjj, 3 , 2 , 1 ,)(),()|( ippyYPyYxXPyYxXPjijjjiji第27頁/共38頁定義定義 設(shè)設(shè)二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的的分布律分布律為為 X 和和 Y 的邊緣分布律分別為的邊緣分布律分別為 (2)(2) 對于給定的對于給定的 i, ,如果如果 P(X=xi)0, ,則稱則稱 為在為在 X=xi的條件下隨機(jī)變量的條件下隨機(jī)變量 Y 的的條件分布律條件分布律. . , 3 , 2 , 1, , ),( j

20、iyYxXPpjiij, 3 , 2 , 1 , )( ixXPpii, 3 , 2 , 1 , )( jyYPpjj, 3 , 2 , 1 ,)(),()|( jppxXPyYxXPxXyYPiijijiij第28頁/共38頁例例 1313 設(shè)設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律如下的聯(lián)合分布律如下, ,求求: : (1)(1) 在在 X=3=3 的條件下的條件下 Y 的條件分布律的條件分布律; ; (2)(2) 在在 Y=1=1 的條件下的條件下 X 的條件分布律的條件分布律. . Y X 1 2 3 4 1 1/4 0 0 0 2 1/8 1/8 0 0 3 1/12 1/12 1/12 0 4 1

21、/16 1/16 1/16 1/16 第29頁/共38頁Y X 1 2 3 4 pi. 1 1/4 0 0 0 1/4 2 1/8 1/8 0 0 1/4 3 1/12 1/12 1/12 0 1/4 4 1/16 1/16 1/16 1/16 1/4 p.j 25/48 13/48 7/48 1/16 1 解 (X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布律如表所示:第30頁/共38頁則在X=3的條件下Y的條件分布律Y 1 2 3 4 P(Y=yj|X=3) 1/3 1/3 1/3 0 其中如同理在Y=1的條件下X的條件分布律X 1 2 3 4 P(X=xi|Y=1) 12/25 6/25 4/25 3/2

22、5 314/112/1)3()1, 3()3|1(331 ppXPYXPXYP第31頁/共38頁定定義義 設(shè)設(shè)二二維維連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量(X,Y)的的聯(lián)聯(lián)合合密密度度函函數(shù)數(shù)為為 f(x,y), , X, ,Y 的的邊邊緣緣密密度度函函數(shù)數(shù)分分別別為為 fX(x)和和 fY(y). . ( (1 1) )對對于于給給定定的的 y, ,若若 fY(y)0, ,則則稱稱 f(x,y)/fY(y)為為在在Y=y 的的條條件件下下 X 的的條條件件密密度度函函數(shù)數(shù), ,記記為為 fX|Y(x|y), ,即即 ( (2 2) )對對于于給給定定的的 x,若若 fX(x)0, ,則則稱稱 f(x,y)/fX(x)為為在在X=x 的的條條件件下下 Y 的的條條件件