函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的幾個(gè)判別法及其應(yīng)用(終極完整無(wú)敵升華版)

1、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性判別法及其應(yīng)用欒孌 20111101894數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)11級(jí)漢班指導(dǎo)老師：吳嘎日迪摘要:本文證明了常用的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的判別法，并通過(guò)例題給岀了它的應(yīng)用.另外，仿照極限的夾逼原理，得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的夾逼判別法 .關(guān)鍵詞：一致收斂，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，和函數(shù)1函數(shù)列與一致收斂性qQ(1) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的定義：設(shè)有函數(shù)列Sn ( X )(或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)a Un(X)的n占部分和序列)。若對(duì)任給的；.0 ,存在只依賴于；的正整數(shù)N(；),使n N (；) 時(shí)，不等式Sn(X) S(X)N,一p三N ,及一x三I都有n 4p送 Uk (x)=Sn 郴(X)-

2、Sn(X)=Un 出(X)+ Und2(X)+ Un 卄(X)kM證明：必要性:已知a uk(x)在區(qū)間I 一致收斂，設(shè)其和函數(shù)式S ( x)，即k 4S(x) S(x)誇 也有&井(X)S(X)詩(shī) 于是n井遲 Uk (x) = Sn非(x) - Sn (x) = Sn4p(x) - S(X)+ S(X)- Sn(X) kzn卅M|Sf(x) S(x)| +|S(x) Sn(x) W +； =E充分性：已知-；0, TN 二 N( ；) N - n N, - p N 及-x In W有送 Uk(x) =|Sn4p(X)-Sn(X)| sk=a十qQ從而J uk(x)在區(qū)間收斂S( x )，因?yàn)?/p>

3、p是任意正整數(shù)，所k生cO以當(dāng)p：:時(shí)，上述不等式有 &(X)- S(X)：；即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Uk(x)在區(qū)間I kT致收斂.余項(xiàng)準(zhǔn)則函數(shù)列 f n在D上一致收斂于f的充要條件是lim sup fn (x) - f (x) = 03函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂判別法(1 )充分條件定理1 (魏爾斯特拉斯判別法)若對(duì)充分大的n,恒有實(shí)數(shù)an使得Un(x)|蘭an對(duì)X上任意的x都成立，并且數(shù)項(xiàng)級(jí) 數(shù)an收斂，則7 Un(X)在X上一致收斂證明 由瓦an的收斂性，對(duì)任給的客0,可得N (名)，使nN()時(shí)an 1 an .2 . - an .p :： ； (p=1,2,)，對(duì)X上的一切的X我們有Un出(X)+ +

4、Un知(X)勻Unx) +也計(jì)&)蘭 a + a.電 + + a.# Q ,由一致收斂的柯西充要條件即得定理的結(jié)論.例2 若7 an絕對(duì)收斂，則an sin nx和an cosnx 在(-：)內(nèi)都是絕對(duì) 收斂和一致收斂的級(jí)數(shù).事實(shí)上，ansinnx 蘭 an ，an cosnx 蘭|an ，由魏爾斯特拉斯判別法即可得證定理2(阿貝爾判別法)若在X上7 bn(x) 一致收斂，又對(duì)X中每一固定的x,數(shù)列an(x單調(diào).而對(duì)任意 的n和X中每個(gè)x，有an(x)乞L (不依賴于x和n的定數(shù))，那么x an(x)bn(x)在 X上一致收斂.這個(gè)定理與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的阿貝爾定理相似， 其證明也大體相同，只要利用阿

5、貝爾引 理即可。事實(shí)上，由bn(x)的一致收斂性，對(duì)任意給定的；0,可得N (；), 使n N (；)時(shí)恒有bn + (X)+ +6命(X)| G(p=1,2 ),固定x，由上式及an(x)的單調(diào)性，利用阿貝爾引理得到an + (x)bn4f(x) +.+an4p(X)bn(X)|:;(an 1(x) 2an p(x)空3L；(n N(0;p=1,2, .)再?gòu)囊恢率諗康目挛鞒湟獥l件即可.例3設(shè)級(jí)數(shù)v an收斂，證明lim 7琴八an .t n證明：因?yàn)閬A 蘭1，且丄 一1 (x引0,畑),n = 1,2,.)，故丄單調(diào)且一致有 nn (n +1)n界，又級(jí)數(shù)an收斂，即an在0,=)上一致收

6、斂，所以由阿貝爾判別法知,、冀在0,：)上一致收斂，又ax(n =1,2.)在0,：)上連續(xù),nn故- an在0,：)上也連續(xù),nan 八 lim an 八 an. nJ0 n定理3 (狄利克雷判別法) 設(shè)J bn (X)的部分和n 4nBn(x)八 bi(x)i=1在X上一致有界，又對(duì)X內(nèi)每一 x，數(shù)列an (x)單調(diào)，并且函數(shù)列 an (x)在X上 一致收斂于零，則a an (x)bn (x)在X上一致收斂.n證明 設(shè)送d(x) EL(不依賴于n和x的定數(shù))，i =B +那么對(duì)X上任意的x和任意的正整數(shù)p恒有n北0瓦 b(x)瓦 bi (x)+瓦 bi (x)i旦im 2L因此，禾I用阿貝

7、爾引理n 4ps ai(x)b(x)蘭2L(an4i(x) +2an4p(x)，i二n卅再由an(x) 一致收斂于零即得例3討論7 ( 1 2xn的一致收斂性nF (1 x2)n設(shè)x2an(x)2、n，n(X)二(-1)(1 +x )n易見對(duì)一切n及(皿，畑)都有送Pn(x) 1，即一致有界，另外，對(duì)任意固定的X，(：，=)都有aniX2(1 x2)n1a? = (1 x2)n 1 X= 1 x2所以an(x)對(duì)任意的x單調(diào)遞減，并且有an (x)x2x2=(1 x2)n2 01 nx n(nr :)6#故an(x)在(_：,：)上隨n-；：而一致收斂于零.qQ(-二，：)內(nèi)致收斂.依狄利克雷

8、判別法知級(jí)數(shù)二n -1(2)必要條件函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)a un (x)在數(shù)級(jí)D上一致收斂的必要條件是函數(shù)列un (x)在D上致收斂于零.4由極限的夾逼原理得到的一致收斂判別法定理4：已知Un(X),l： Vn(X)在I上一致收斂，且 N N ，當(dāng)nn理oOn - N 時(shí)有 Vn(X)二 Wn(X)咗 Un(X)則二 Wn(X)在 I 上一致收斂.nTQOQ0證明：不妨設(shè)n =1開始，便有vn(x)豈wn(x)乞un(x)，由un(x) vn(x)在I上n呂n占一致收斂,根據(jù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則：；7, Nr N，當(dāng)n Nn, pN，有-名 UnH1(X) +Un七(X) +. + Un4p(X) 名即-

9、；:：Vn1(X)Vn 2(X). Vn p(X)而Vn(X)乞 Wn(X)乞叫&) (n =1,2，)就必有Y Vn(X)+%七(X) +.+%舟&)蘭Wn 1(X) Wn 2(X). . . W p(x)乞Un 1(X) Un 2(X). Un p (x):；0此即wn(x),在I上滿足柯西一致收斂條件n生推論：已知數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)anbn都收斂，若 N N ,當(dāng)ngn 4nN時(shí)有an Wn(X)mbn,XI，貝U函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Wn(x),在I 一致收斂，顯然當(dāng)n 二wn(x)二W,即7 wn(x)為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，則可判斷7 wn(x)收斂.n衛(wèi)n三qQ定理 5：設(shè)函數(shù)數(shù)列un(x), x a,b, -n N. un(x)在a,b單調(diào)，且un(a)及n =Un(b)都絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù) &Un(x)在a,b一致收斂.n 生n證明時(shí)只要注意有min un(a),un(b) un (x max un (a),un