操作臂動力學

1、No.1第五章第五章 操作臂動力學操作臂動力學No.2一、思路一、思路剛體的運動剛體的運動剛體質(zhì)心的移動剛體質(zhì)心的移動剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動牛頓方程牛頓方程歐拉方程歐拉方程牛頓牛頓歐拉方程歐拉方程動力學方程動力學方程牛頓第二定律牛頓第二定律力和動量力和動量力矩和動量矩力矩和動量矩No.3MII 剛體質(zhì)心的移動剛體質(zhì)心的移動剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動Fma動力學方程動力學方程No.4二、連桿慣性張量二、連桿慣性張量 為連桿為連桿Li的慣性張量的慣性張量 。 Hmmijjjjjjjjrvrvjijrv Hmijjijjrr HHHixiyizxxxyxzyxyyyzzxzyzzix

2、iyizIIIIIIIIIHiii I Ii 連桿依質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動量矩連桿依質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動量矩HiNo.5連桿慣性張量連桿慣性張量Ixxjjjjmyz22Iyyjjjjmzx22IIxyyxjjjjm x yIIxzzxjjjjm x zIIyzzyjjjjm y z對x，y，z軸的慣性矩 jjjjzzyxm22I慣性積 No.6七、歐拉方程七、歐拉方程剛體的運動剛體的運動剛體質(zhì)心的移動剛體質(zhì)心的移動剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動牛頓方程牛頓方程歐拉方程歐拉方程牛頓牛頓歐拉方程歐拉方程動力學方程動力學方程牛頓第二定律牛頓第二定律力和動量力和動量力矩和動量矩力矩和動量矩No.7七、歐拉方程七、歐拉

3、方程剛體剛體S繞繞B軸的旋轉(zhuǎn)慣性矩軸的旋轉(zhuǎn)慣性矩IIm rjjj2l Im In ImnInlIlmIxxyyzzyzzxxy222222l, m, n -為剛體轉(zhuǎn)軸的方向余弦為剛體轉(zhuǎn)軸的方向余弦Mj - Pj的質(zhì)量的質(zhì)量rj- 點點Pj對對B軸的旋轉(zhuǎn)半徑軸的旋轉(zhuǎn)半徑 No.8七、歐拉方程七、歐拉方程剛體對于慣性主軸的慣性矩剛體對于慣性主軸的慣性矩 Im剛體剛體S繞繞x、y、z軸的慣性矩軸的慣性矩 Imyzxxjjjj()22Imxzyyjjjj()22Imxyzzjjjj()22Im y xIm x zIm y zyxjjjjxzjjjjyzjjjj剛體剛體S繞繞坐標系的慣性積坐標系的慣性積

4、 Il Im In Imxxyyzz222No.9七、歐拉方程七、歐拉方程剛體剛體S所受的相對于隨行所受的相對于隨行 的外力矩的外力矩M為：為： 在移動和轉(zhuǎn)動的剛體在移動和轉(zhuǎn)動的剛體S上任上任選固定在剛體上的一點選固定在剛體上的一點O，將，將基準坐標系基準坐標系 原點移至原點移至O點上成點上成為隨行為隨行 ，隨行，隨行 隨隨S移動，但移動，但不隨不隨S轉(zhuǎn)動，以便考察轉(zhuǎn)動，以便考察S相對相對 的轉(zhuǎn)動運動的轉(zhuǎn)動運動.MIIv ddtmgNo.10七、歐拉方程七、歐拉方程MIIv ddtmg隨行坐標系隨行坐標系 原點不動原點不動 v0MII 的三軸方向和的三軸方向和S S的慣性主軸方向一致的慣性主軸

5、方向一致IIIyxzxzy 0MIIvmmgddtm 0v0 v0MIImm 剛體轉(zhuǎn)動動力學性能的剛體轉(zhuǎn)動動力學性能的歐拉方程歐拉方程ImxxyyzzIII000000剛體剛體S受外力矩受外力矩MNo.11機器人牛頓機器人牛頓歐拉動力學歐拉動力學的遞推計算公式的遞推計算公式 所有力學變量均定義于所有力學變量均定義于一個基準坐標系中一個基準坐標系中 作用于第作用于第i號桿件質(zhì)心上的力號桿件質(zhì)心上的力及力矩，質(zhì)心線加速度都是相及力矩，質(zhì)心線加速度都是相對于坐標系對于坐標系 描述的矢量描述的矢量 從構件從構件1到構件到構件n計算各構件計算各構件的速度和加速度，并對每個的速度和加速度，并對每個構件應用

6、牛頓構件應用牛頓歐拉方程，歐拉方程，初始條件是機座的確定運動初始條件是機座的確定運動 從構件從構件n到構件到構件1計算計算各關節(jié)的驅(qū)動力和反各關節(jié)的驅(qū)動力和反力，初始條件是已知力，初始條件是已知構件構件n所受的力及力矩所受的力及力矩 iNo.12描述連桿描述連桿Li動力學性能的方程組動力學性能的方程組 ffgvnfnfIIiii iiiiiiiiiii ii iiiiiiiimmGOGO1111111,() vi連桿連桿Li作為力學隔離體作為力學隔離體質(zhì)心的移動用牛頓方程質(zhì)心的移動用牛頓方程繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動用歐拉方程繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動用歐拉方程 No.13L1連桿的牛頓歐拉方程組連桿的牛頓歐拉方程組 2

7、.封閉形式的動力學方程封閉形式的動力學方程ffgvnfnfI0 11 21110 10 1101 21 21111,mmG OG O L2連桿的牛頓歐拉方程組連桿的牛頓歐拉方程組 fgvnfI1 22221 21 22122,mmG O 兩個自由度的機器人手臂兩個自由度的機器人手臂 No.14兩個自由度的機器人手臂的牛頓歐拉顯式方程兩個自由度的機器人手臂的牛頓歐拉顯式方程2.封閉形式的動力學方程封閉形式的動力學方程nIIm l lmlm lm lIm lm l lm l lm l lm lmlm lgzzzzzz11122 1 2221 1122 122 222122 2222 1 22222

8、 1 222222 1 222122 22121 1112 1122 coscossinsin sin()sinsin nIm lm l lIm lm l lm l gzzzz2222 2222 1 222122 22222 1 222122 2212cossinsin 它給出了關節(jié)轉(zhuǎn)矩和以機器手臂位姿為參數(shù)的各它給出了關節(jié)轉(zhuǎn)矩和以機器手臂位姿為參數(shù)的各關節(jié)角速度和角加速度之間的動力學關系關節(jié)角速度和角加速度之間的動力學關系。No.15N個自由度的機器人手臂的牛頓歐拉普遍方程個自由度的機器人手臂的牛頓歐拉普遍方程2.封閉形式的動力學方程封閉形式的動力學方程 式中變參數(shù)式中變參數(shù)Dij，Dijk

9、，Di都是各關節(jié)角位移和構都是各關節(jié)角位移和構件尺寸的函數(shù)。件尺寸的函數(shù)。兩自由度手臂的兩自由度手臂的牛頓歐拉方程：牛頓歐拉方程：1,2,1,2, ,iiiijjjiNnnjk 構件尺寸nDDDiNiiijjijkjkikNjNjN , , 12111221211222121221211122212221211111DDDDnDDDDDn No.162.封閉形式的動力學方程封閉形式的動力學方程 所有上述系數(shù)都和機器人的終端位姿及整機所有上述系數(shù)都和機器人的終端位姿及整機形態(tài)有關，這些系數(shù)都是變系數(shù)。形態(tài)有關，這些系數(shù)都是變系數(shù)。 機器人作為多剛體動力學系統(tǒng)，它的牛頓機器人作為多剛體動力學系統(tǒng)，

10、它的牛頓歐拉方程組中各個變量并不都是獨立的。為了歐拉方程組中各個變量并不都是獨立的。為了得到機器人動力學系統(tǒng)中各關節(jié)輸入轉(zhuǎn)矩和各得到機器人動力學系統(tǒng)中各關節(jié)輸入轉(zhuǎn)矩和各關節(jié)角位移運動輸出之間的顯式關系，需要作關節(jié)角位移運動輸出之間的顯式關系，需要作代數(shù)消元和矢量運算。代數(shù)消元和矢量運算。 No.17機器人動力學系統(tǒng)的機器人動力學系統(tǒng)的拉格朗日動力學方程拉格朗日動力學方程的普遍形式的普遍形式 機器人動力學方程機器人動力學方程 牛頓歐拉方程牛頓歐拉方程 拉格朗日方程拉格朗日方程 各個連桿的力矩平衡各個連桿的力矩平衡 系統(tǒng)的動能和勢能系統(tǒng)的動能和勢能NjQqLqLdtdjjjj, 2 , 1拉格朗日

11、函數(shù)拉格朗日函數(shù)LTP No.181. 動能與勢能動能與勢能連桿連桿l1的動能的動能1T 、勢能、勢能1P2111121lmT1111cosglmP連桿連桿l2的動能的動能2T、勢能、勢能2P21212212222121222212122cos22121l lmlmlmT)cos(cos21221122glmglmPNo.192.拉格朗日算子拉格朗日算子n拉格朗日算子拉格朗日算子- L=T-Pn由求得的由求得的- T1、P1、T2、P2 得得 :)cos(cos)()(cos)(21)(212122112121122122212222121212211glmglmml lmlmlmmPTPTL

12、NjQqLqLdtdjjjj, 2 , 1No.203.動力學方程動力學方程Lmmlm lm l l()()cos()1121212 22122 1 22122Lmmglm gl112112212 ()sinsin()ddtLmmlm lm l lm lm l lm l lm l l()coscossinsin112122 222 1 2212 222 1 2222 1 22122 1 22222 Lm lm l l()cos22 22122 1 221Lm l lm gl22 1 221122212 sin()sin()ddtLm lm lm l lm l lcossin22 2212 22

13、22 1 2212 1 2212 No.21ddtLLn1111ddtLLn2222nmm lmlml lmlml lml lml lmm glm gl1112122 222 1 2212 222 1 2222 1 22122 1 2222121221222()coscossinsin() sinsin() nm lm l lm lm l lm gl222 222 1 2212 2222 1 22122212 cossinsin()No.22DDDDDn1111221222211212111 DDDDn21122221112222 上式的構造和兩自由度手臂的牛頓歐拉方程相似。事實上，對同一機器

14、人動力學系統(tǒng)其牛頓歐拉動力學方程和拉格朗日方程相同。221211222121221211122212221211111DDDDnDDDDDn No.23N個自由度的機器人手臂的牛頓歐拉普遍方程個自由度的機器人手臂的牛頓歐拉普遍方程2.封閉形式的動力學方程封閉形式的動力學方程 式中變參數(shù)式中變參數(shù)Dij，Dijk，Di都是各關節(jié)角位移和構都是各關節(jié)角位移和構件尺寸的函數(shù)。件尺寸的函數(shù)。兩自由度手臂的兩自由度手臂的牛頓歐拉方程：牛頓歐拉方程：nniNjNiiiijjj, , ,構件尺寸1212nDDDiNiiijjijkjkikNjNjN , , 1211122121122212122121112

15、2212221211111DDDDnDDDDDn No.241.計算任意連桿上任意一點的速度計算任意連桿上任意一點的速度 2.動能動能 3.勢能勢能 4.拉格朗日算子拉格朗日算子 5.動力學方程動力學方程 No.251.機器人臂上一點的速度機器人臂上一點的速度rrqqTdtdrviijjjii1drdtr rTrace rrTraceTqq rTqq rTraceTqr rTqq qTijjiikkiTjiijkiiiTiTkjkji2111 速度速度速度的平方速度的平方rT riiNo.262.動能動能質(zhì)量為質(zhì)量為dm的質(zhì)點的動能的質(zhì)點的動能 連桿連桿Li的動能的動能 ijkjkTiTiii

16、kjiiqqqTdmrrqTTracedk1121積分積分kdkTraceTqrdmrTqq qiiiijiiTiTkjk12 機器人手臂的動能機器人手臂的動能 N個運動連桿個運動連桿kjNiijikkTiijiNiiqqqTqTTraceKK 11121H驅(qū)動和傳動元件的動能驅(qū)動和傳動元件的動能 與構件有相對運動與構件有相對運動機構的總動能機構的總動能 和和KI qaiaii122KTraceTqTqq qIqijiiTkkijiiNjkaiiiN12121121H No.273.勢能勢能連桿連桿Li的勢能的勢能 重力加速度矢量重力加速度矢量總勢能總勢能Pm g TriiTi i ggggT

17、1230Pm gT riTiiiN 1No.284.拉格朗日算子拉格朗日算子動力學方程動力學方程2111111122TNiiNNTiiijkii iaiiijkiijkTTLTraceq qm g TrI qqqH QddtLqLqiNiiii , ,12 No.295.動力學方程動力學方程LqTraceqqqI qpikiiTpkii pNkappTHT1ddtLqTraceqqqI qTraceqqqq qpikiiTpkkii pNappikmiiTpmikmkii pN THTTHT1211Traceqqqq qipmiiTkmikmkiipN211THT LqTraceqqqq qm

18、 gTqrpipjiiTkkijkjii pNiTipii pN211THT No.305.動力學方程動力學方程ddtLqLqTraceqqqIqTraceqqqq qm gTqrppikiiTpkkiipNappikmiiTpmikmkiipNiTipiipNTHTTHT1211QTraceqqqI qTraceqqqq qm gTqriNiijkjijTikkij iNaiijkmjjTimikmkij iNjTjijj iNTHTTHT (, ,)121112 QDqDqD q qDiNiiijj iNjii iijkjkikij iN (, , )112將下標將下標p和和i換成換成i和

19、和j 改變求和順序改變求和順序 No.315.動力學方程動力學方程QDqDqD q qDiNiiijj iNjii iijkjkikij iN (, , )112DIiiaiDTraceTqTqijpjppTipi j kNHmax( , , )DTraceTqqTqijkpjkppTipi j kN2Hmax( , , )Dm gTqripTpipp iN 慣性力和重力載慣性力和重力載荷對機器人的控制荷對機器人的控制特別重要，他們影特別重要，他們影響伺服系統(tǒng)的穩(wěn)定響伺服系統(tǒng)的穩(wěn)定性和位置精度。性和位置精度。 向心力和哥氏力，向心力和哥氏力，只在高速運動時重只在高速運動時重要的。但它們產(chǎn)生要的

20、。但它們產(chǎn)生的誤差不大。的誤差不大。 No.32n nnnNNT1122P x y z o o orxyzTTQFMT FM11,2,NNNTijjiiiijkjkiFMiijiji kD qD qDq qDnQiNJ D qD qD q qDniNijjiiiijkjkiiikNj iNj iN , ,112 No.33一、廣義坐標一、廣義坐標描述動力學系統(tǒng)的一組獨立變量描述動力學系統(tǒng)的一組獨立變量-系統(tǒng)狀態(tài)系統(tǒng)狀態(tài) 設設N N個質(zhì)點系統(tǒng)個質(zhì)點系統(tǒng)-具有具有S S個約束方程個約束方程 fxy zxyzfxy zxyzfxy zxyzNNNNNNSNNN11112111111000(,)(,)

21、(,)3N個坐標個坐標 K=3N-S個獨立（系統(tǒng)自由度）個獨立（系統(tǒng)自由度）No.34一、廣義坐標一、廣義坐標選選K個獨立參數(shù)個獨立參數(shù)xx q qqyy q qqiNzz q qqiikiikiik( ,)( ,) (, , )( ,)12121212rriikq qqiN(,)(, ,)1212這這k個決定質(zhì)點系統(tǒng)位置的獨立參數(shù)，個決定質(zhì)點系統(tǒng)位置的獨立參數(shù)，稱為系統(tǒng)的廣義坐標稱為系統(tǒng)的廣義坐標自由度數(shù)。自由度數(shù)。 No.35二、虛位移和虛功原理二、虛位移和虛功原理 在非自由質(zhì)點系中，在非自由質(zhì)點系中，-質(zhì)點位移受到約束限制質(zhì)點位移受到約束限制.在給在給定瞬時，約束所允許的各質(zhì)點任何無限小

22、的位移，定瞬時，約束所允許的各質(zhì)點任何無限小的位移，稱為稱為。位移位移實位移實位移虛位移虛位移力、初始條件及時間力、初始條件及時間約束的性質(zhì)約束的性質(zhì)No.36二、虛位移和虛功原理二、虛位移和虛功原理 質(zhì)點系統(tǒng)的虛位移由各質(zhì)點的虛位移組質(zhì)點系統(tǒng)的虛位移由各質(zhì)點的虛位移組成。成。riiN(, ,) 12 在廣義坐標系中，各質(zhì)點的虛位移也可在廣義坐標系中，各質(zhì)點的虛位移也可以用廣義坐標的變分以用廣義坐標的變分(稱為廣義虛位移稱為廣義虛位移)來來表示。表示。 qqqk12,No.37二、虛位移和虛功原理二、虛位移和虛功原理 虛位移與廣義坐標虛位移與廣義坐標),(),(),(212121kiikiik

23、iiqqqzzqqqyyqqqxx),(21kiiqqqrr 虛虛微微分分kjjjiikjjjiikjjjiiqqzzqqyyqqxx111kjjjiiqq1rr(1,2,);1,2,iNjkNo.38二、虛位移和虛功原理二、虛位移和虛功原理 系統(tǒng)平衡時系統(tǒng)平衡時 處于平衡狀態(tài)的質(zhì)點系統(tǒng)，作用在系統(tǒng)上處于平衡狀態(tài)的質(zhì)點系統(tǒng)，作用在系統(tǒng)上外力的虛功之和為零，這就是外力的虛功之和為零，這就是虛功原理虛功原理。0iF虛功為零虛功為零FriiiN01質(zhì)點系是剛體或相接觸的剛體集合質(zhì)點系是剛體或相接觸的剛體集合 內(nèi)力的虛功和為零內(nèi)力的虛功和為零 FriiiN外01No.39三、廣義外力三、廣義外力 內(nèi)力的虛功和為零內(nèi)力的虛功和為零稱稱 為廣義坐標為廣義坐標 的的 廣義外力廣義外力。 WFiiiNFr外1kjNijjiiNikjjjiiFqqqqW1111rFrF外外QqjiijiNFr外1WQqFjjjk1Qjkj(, , ) 12 qjkj(, , ) 12 kjjjiiqq1rrNo.40四、達朗伯原理四、達朗伯原理 達朗伯原理的符號表達式達朗伯原理的符號表達式。 達朗伯原理達朗伯原理將動力學問題在形式上化為靜力學將動力學問題在形式上化為靜力學問題來進行求解