2021年人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第9章《9.2.4課時(shí)精講》(含解析)

1、9.2.4總體離散程度的估計(jì)知識(shí)點(diǎn)一一組數(shù)據(jù)的方差與標(biāo)準(zhǔn)差知識(shí)點(diǎn)二總體方差與總體標(biāo)準(zhǔn)差知識(shí)點(diǎn)三樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差知識(shí)點(diǎn)四標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述數(shù)據(jù)的特征標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的但在解決實(shí)際問題中，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差知識(shí)點(diǎn)五分層隨機(jī)抽樣估計(jì)總體方差設(shè)層數(shù)為2層的分層隨機(jī)抽樣，第1層和第2層包含的樣本變量由x1，x2，xn及y1，y2，yn表示樣本數(shù)總體數(shù)方差平均數(shù)第1層mMs第2層nNs則總體方差s21方差的簡化計(jì)算公式：s2(xxx)n2，或?qū)懗蓅2(xxx)2.即方差等于原數(shù)據(jù)平

2、方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方2平均數(shù)、方差公式的推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為，那么mx1a，mx2a，mxna的平均數(shù)是ma.(2)若數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差為s2，那么數(shù)據(jù)x1a，x2a，xna的方差也是s2；數(shù)據(jù)ax1，ax2，axn的方差是a2s2.1判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)方差越大，數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性越強(qiáng)()(2)在兩組數(shù)據(jù)中，平均值較大的一組方差較大()(3)樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差一起反映總體數(shù)據(jù)的取值信息一般地，絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)落在2s，2s內(nèi)()(4)平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢，方差則反映數(shù)據(jù)離平均值的波動(dòng)大小()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(1)下列說

3、法不正確的是()A方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方B標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會(huì)超過極差C若一組數(shù)據(jù)的值大小相等，沒有波動(dòng)變化，則標(biāo)準(zhǔn)差為0D標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中；標(biāo)準(zhǔn)差越小，表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越分散(2)某學(xué)員在一次射擊測試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.則：平均命中環(huán)數(shù)為_；命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_(3)樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為a,0,1,2,3，若該樣本的平均值為1，則該樣本的方差為_答案(1)D(2)72(3)2題型一 樣本的標(biāo)準(zhǔn)差與方差的求法例1從甲、乙兩種玉米中各抽10株，分別測得它們的株高如下：甲：25,41,40,37,

4、22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40；試計(jì)算甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差解甲(25414037221419392142)30，s(2530)2(4130)2(4030)2(3730)2(2230)2(1430)2(1930)2(3930)2(2130)2(4230)2104.2，s甲10.208.乙(27164427441640401640)31，同理s128.8，s乙11.349.對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差與方差概念的理解(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小(

5、2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍：0，)標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí)，樣本各數(shù)據(jù)全相等，表明數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性(3)因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能放大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度上是一樣的，但在解決實(shí)際問題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差某班40名學(xué)生平均分成兩組，兩組學(xué)生某次考試成績情況如下表所示：組別平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差第一組904第二組806求這次考試成績的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差解設(shè)第一組數(shù)據(jù)為x1，x2，x20，第二組數(shù)據(jù)為x21，x22，x40，全班平均成績?yōu)?根據(jù)題意，有85，42(xxx20902)，62(xxx20802)，xxx20(4262902802)2910

6、40.再由變形公式，得s2(xxx402)(xxx40852)(291040289000)51，s.題型二 樣本標(biāo)準(zhǔn)差、方差的實(shí)際應(yīng)用例2某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓(xùn)，他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的8次測試成績記錄如下：甲：9582888193798478乙：8392809590808575(1)試比較哪個(gè)工人的成績較好；(2)甲、乙成績位于s與s之間有多少？解(1)甲(9582888193798478)85，乙(8392809590808575)85.s(9585)2(8285)2(8885)2(8185)2(9385)2(7985)2(8485)2(7885)235.5，s(8385)2(9

7、285)2(8085)2(9585)2(9085)2(8085)2(8585)2(7585)241.甲乙，ss乙，乙的成績較為穩(wěn)定，故選擇乙參加射箭比賽.題型三 標(biāo)準(zhǔn)差、方差的圖形分析例3樣本數(shù)為9的四組數(shù)據(jù)，他們的平均數(shù)都是5，條形圖如下圖所示，則標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是()A第一組B第二組C第三組D第四組解析第一組中，樣本數(shù)據(jù)都為5，數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度，標(biāo)準(zhǔn)差為0；第二組中，樣本數(shù)據(jù)為4,4,4,5,5,5,6,6,6，標(biāo)準(zhǔn)差為；第三組中，樣本數(shù)據(jù)為3,3,4,4,5,6,6,7,7，標(biāo)準(zhǔn)差為；第四組中，樣本數(shù)據(jù)為2,2,2,2,5,8,8,8,8，標(biāo)準(zhǔn)差為2，故標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是第四組答案D由圖

8、形分析標(biāo)準(zhǔn)差、方差的大小從四個(gè)圖形可以直觀看出第一組數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)性，第二、三組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性都比較小，而第四組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性相對(duì)較大，利用標(biāo)準(zhǔn)差的意義也可以直觀得到答案甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則()A甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C甲的成績的方差小于乙的成績的方差D甲的成績的極差小于乙的成績的極差答案C解析由題圖可得，甲的成績?yōu)?,5,6,7,8，乙的成績?yōu)?,5,5,6,9，所以甲、乙的成績的平均數(shù)均是6，故A不正確；甲、乙成績的中位數(shù)分別為6,5，故B不正確；甲、乙成績的極差都是4，故D不正確；甲的成績的方

9、差為(222122)2，乙的成績的方差為(12332)2.4.故C正確1下列選項(xiàng)中，能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度的是()A平均數(shù) B中位數(shù)C方差 D眾數(shù)答案C解析由方差的定義，知方差反映了一組數(shù)據(jù)的離散程度2樣本數(shù)據(jù)2,4,6,8,10的標(biāo)準(zhǔn)差為()A40 B8C2 D2答案D解析(246810)6，則標(biāo)準(zhǔn)差為2.3甲、乙、丙、丁四人參加某運(yùn)動(dòng)會(huì)射擊項(xiàng)目選拔賽，四人的平均成績和方差如下表所示：若要從這四人中選擇一人去參加該運(yùn)動(dòng)會(huì)射擊項(xiàng)目比賽，最佳人選是_(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一個(gè))答案丙解析分析題中表格數(shù)據(jù)可知，乙與丙的平均環(huán)數(shù)最多，又丙的方差比乙小，說明丙成績發(fā)揮得較為穩(wěn)定，所以最佳人選為丙4已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是_答案0.1解析這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)5.1，則方差s20.1.5甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100 cm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，各從中抽取6件測量，數(shù)據(jù)為：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定解(1)甲(9910098100100103)100，乙(9910010299100100)1