數(shù)值分析4-5(高斯公式)

1、一、高斯點一、高斯點定義：高斯公式定義：高斯公式機械求積公式機械求積公式 nkkkbaxfAdxxf0)()(含有含有2n+2個待定參數(shù)個待定參數(shù) ),.,1 , 0(,nkAxkk 若適當(dāng)選擇這些參數(shù)使求積公式具有若適當(dāng)選擇這些參數(shù)使求積公式具有2n+1次代次代數(shù)精度，則這類公式稱為數(shù)精度，則這類公式稱為高斯公式高斯公式。(4.1)請回答請回答: :以前學(xué)過的梯形公式、辛甫生公式、柯以前學(xué)過的梯形公式、辛甫生公式、柯特斯公式、中矩形公式是高斯公式嗎？特斯公式、中矩形公式是高斯公式嗎？答：答：除中矩形公式外都不是！除中矩形公式外都不是！ 定義：高斯點定義：高斯點高斯公式的求積節(jié)點稱為高斯公式的

2、求積節(jié)點稱為高斯點高斯點舉例舉例求求 a,b上的一點和二點高斯公式。上的一點和二點高斯公式。解解設(shè)一點高斯公式為設(shè)一點高斯公式為)()(00 xfAdxxfba 則其代數(shù)精度應(yīng)為則其代數(shù)精度應(yīng)為110212 n即即 )(2122000abxdxxAabdxAbaba解得解得)2()()(bafabdxxfba 中矩形公式中矩形公式再設(shè)兩點高斯公式為再設(shè)兩點高斯公式為)()()(1100 xfAxfAdxxfba 則其代數(shù)精度應(yīng)為則其代數(shù)精度應(yīng)為311212 n即即 )(41)(31)(2144331130033221120022110010abdxxxAxAabdxxxAxAabxdxxAxA

3、abdxAAbabababa這 是 關(guān) 于這 是 關(guān) 于四 個 未 知四 個 未 知數(shù) 的 非 線數(shù) 的 非 線性 方 程 ，性 方 程 ，難于求解難于求解高斯點具有以下性質(zhì)：高斯點具有以下性質(zhì)：定理定理對于對于插值型求積公式插值型求積公式(4.1)，其節(jié)點，其節(jié)點),.,1 , 0(nkxk 是高斯點的充要條件是是高斯點的充要條件是以這些點為零點的多項式以這些點為零點的多項式).()()(10nxxxxxxx 與任意次數(shù)不超過與任意次數(shù)不超過n的多項式的多項式P(x)均正均正交，即交，即0)()( badxxxP 啟發(fā)：啟發(fā)：如何求如何求高斯高斯公式！公式！ nkkkbaxfAdxxf0)(

4、)(證明證明先證必要性，即先證必要性，即 是高斯點是高斯點kx正正交交與與)()(xPx 設(shè)設(shè)P(x)是任意次數(shù)不超過是任意次數(shù)不超過 n 的多項式，則的多項式，則P(x)(x)的次數(shù)不超過的次數(shù)不超過2n+1，因此應(yīng)準(zhǔn)確，因此應(yīng)準(zhǔn)確成立成立 nkkkkbaxxPAdxxxP0)()()()( 但但),.,1 , 0(0)(nkxk 故故正正交交與與)()(xPx 再證充分性。即再證充分性。即正正交交與與)()(xPx 是高斯點是高斯點kx對于任意給定的次數(shù)不超過對于任意給定的次數(shù)不超過2n+1的多項式的多項式f(x),用用 除除 f(x)，記商為，記商為P(x)，余式為，余式為Q(x)，)(

5、x 即即)()()()(xQxxPxf 2n+1n+1nn由已知條件，由已知條件，(x)與與P(x)正交，得正交，得 babadxxQdxxf)()(由于所給求積公式由于所給求積公式(4.1)是插值型的，它至少具是插值型的，它至少具有有n次代數(shù)精度，故對次代數(shù)精度，故對Q(x)能準(zhǔn)確成立：能準(zhǔn)確成立： nkkkbaxQAdxxQ0)()(再注意到再注意到(xk)=0，知，知Q(xk) = f(xk)，從而有，從而有 nkkkbaxfAdxxQ0)()(于是由前面的推導(dǎo)知于是由前面的推導(dǎo)知 babadxxQdxxf)()( nkkkbaxfAdxxf0)()(這說明公式對一切次數(shù)不超這說明公式對

6、一切次數(shù)不超過過2n+1的多項式均能準(zhǔn)確成的多項式均能準(zhǔn)確成立，故立，故xk是高斯點。是高斯點。)()()()(kkkkxQxxPxf 定理給我們的啟發(fā)：定理給我們的啟發(fā)：1、求出、求出a, b上與所有次數(shù)不超過上與所有次數(shù)不超過n的多項式的多項式 都正交的多項式都正交的多項式n+1(x)。2、求出、求出n+1(x)的的n+1個零點就是高斯點。個零點就是高斯點。請回答請回答: :-1，1上與所有次數(shù)不超過上與所有次數(shù)不超過0的多項式都的多項式都正交的多項式正交的多項式1(x)=？解：解：設(shè)設(shè)P0(x)=C，1(x)= x x0。由于。由于0)()(1110 dxxxP 即即0)(110 dxx

7、xC展開，得展開，得00 x則一個點的高斯公式為則一個點的高斯公式為)0()(011fAdxxf 中矩形公式中矩形公式二、高斯二、高斯勒讓得公式勒讓得公式特別地，取特別地，取a, b=-1, 1，其上高斯公式為：，其上高斯公式為： 110)()(nkkkxfAdxxf下面求對應(yīng)的高斯點。下面求對應(yīng)的高斯點。由于勒讓得多項式是由于勒讓得多項式是-1，1上的正交多項式，上的正交多項式，因此勒讓得多項式因此勒讓得多項式Pn+1(x)的零點就是高斯點。的零點就是高斯點。特殊地若取特殊地若取P1(x) = x 的零點的零點x0 = 0 作節(jié)點構(gòu)造作節(jié)點構(gòu)造求積公式求積公式 110)0()(fAdxxf令

8、它對令它對 f(x) = 1準(zhǔn)確成立，即可定出準(zhǔn)確成立，即可定出A0 = 2.即一點高斯公式為即一點高斯公式為 11)0(2)(fdxxf中矩形公式中矩形公式 1110)31()31()(fAfAdxxf令它對令它對 f(x) = 1, x 準(zhǔn)確成立，即可定出準(zhǔn)確成立，即可定出A0 ,A1可得兩點高斯可得兩點高斯勒讓得公式為勒讓得公式為再取再取 的零點的零點 作節(jié)點構(gòu)作節(jié)點構(gòu)造求積公式造求積公式 )13(21)(22 xxP31 11)31()31()(ffdxxf注：其它的高階公式詳見書。注：其它的高階公式詳見書。請回答請回答: :高斯高斯勒讓得公式僅適用于求積區(qū)間是勒讓得公式僅適用于求積區(qū)

9、間是-1，1，那么對于任意求積區(qū)間，那么對于任意求積區(qū)間a, b如如何求？何求？解解作變換作變換22batabx 可以化到區(qū)間可以化到區(qū)間-1，1上，這時上，這時dtbatabfabdxxfba)22(2)(11 三、帶權(quán)的高斯公式三、帶權(quán)的高斯公式定義：帶權(quán)的高斯公式定義：帶權(quán)的高斯公式求積公式求積公式 nkkkbaxfAdxxfx0)()()( 若該公式具有若該公式具有2n+1次代數(shù)精度，則稱這類公次代數(shù)精度，則稱這類公式為式為帶權(quán)的高斯公式帶權(quán)的高斯公式.上述上述(x)0是權(quán)函數(shù)。是權(quán)函數(shù)。高斯點高斯點定理定理),.,1 , 0(nkxk 是高斯點的充要條件是是高斯點的充要條件是).()

10、()(10nxxxxxxx 是區(qū)間是區(qū)間a, b上關(guān)于上關(guān)于(x)的正交多項式。的正交多項式。特殊的特殊的若若a, b = -1，1，權(quán)函數(shù)是，權(quán)函數(shù)是211)(xx 所建立的高斯公式為所建立的高斯公式為 nkkkxfAxxf0112)(1)(切 比 雪 夫切 比 雪 夫 高斯公式高斯公式xk是切比雪夫是切比雪夫多 項 式 的 零多 項 式 的 零點點注意：注意：運用正交多項式的零點構(gòu)造高斯求積運用正交多項式的零點構(gòu)造高斯求積公式，這種方法只是針對某些特殊的公式，這種方法只是針對某些特殊的權(quán)函數(shù)才有效。權(quán)函數(shù)才有效。構(gòu)造高斯公式的一般方法是構(gòu)造高斯公式的一般方法是待定系數(shù)法待定系數(shù)法舉例舉例要構(gòu)造下列形式的高斯公式要構(gòu)造下列形式的高斯公式)()()(1100