等差數(shù)列的前n項和性質(zhì)及應用

1、一、復習引入一、復習引入:重要結論重要結論 為等差數(shù)列na) 1 (;的一次函數(shù)是關于nan 為等差數(shù)列na)2(的二次函數(shù)的二次函數(shù)是關于是關于nSn.,且無常數(shù)項且無常數(shù)項.2) 1(2)(11dnnnaaanSnn1.若一個等差數(shù)列前若一個等差數(shù)列前3項和為項和為34，最，最后三項和為后三項和為146，且所有項的和為，且所有項的和為390，則這個數(shù)列共有，則這個數(shù)列共有_項。項。2.已知兩個等差數(shù)列已知兩個等差數(shù)列an,bn，它們，它們的前的前n項和分別是項和分別是Sn,Tn，若，若.,133299bannTSnn求熱身練習熱身練習比值問題比值問題整體思想整體思想1n21n2nnTSba

2、 則則方法一：方法一：方程思想方程思想10S ，2010SS，3020SS方法二：方法二：成等差數(shù)列成等差數(shù)列等差數(shù)列前等差數(shù)列前n項和性質(zhì)：項和性質(zhì)：(等差數(shù)列等分若干段后等差數(shù)列等分若干段后,各段和依序成等差數(shù)列各段和依序成等差數(shù)列) 12n11221223212233: , ,a,kkkkkkkb bbaaabaaabaaabkd1.已知是公差為d的等差數(shù)列，若，則成等差數(shù)列公差為: 2nnannAB數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，則SnSA nBnnSn是等差數(shù)列，公差為A.dkbbb2321,成等差數(shù)列，公差為則等差數(shù)列前項和的最值問題：等差數(shù)列前項和的最值問題： 47137,0aaa且練

3、習練習1 1、已知一個等差數(shù)列中滿足、已知一個等差數(shù)列中滿足 .是數(shù)列的前 項和，求 為何值時取最大值nnnSannS9.n解：方法一471437033aada 11437(1)()0334naanan 111433()0 .334naanan，練習練習nnSa是數(shù)列的前解：方法二471437033aada 11(1)4()233nn nSnaa 21123 5,3 33 3a na n 對稱軸 且更接近9，所以n=9.358,94n 47137,0aaa且練習1、已知一個等差數(shù)列中滿足 nnnS項和，求 為何值時取最大值 n248n1aa0,0n.SSS變式 ：等差數(shù)列中，求使得成立的最大自

4、然數(shù) n389n2aaa0,0.SnS變式 ：等差數(shù)列中，為何值時 最小？性質(zhì)以及應用（下）性質(zhì)以及應用（下）等差數(shù)列等差數(shù)列 奇、偶項和問題奇、偶項和問題1 1、已知一個等差數(shù)列前、已知一個等差數(shù)列前1212項的和是項的和是354354，前，前 1212項中偶數(shù)項與奇數(shù)項之比為項中偶數(shù)項與奇數(shù)項之比為3232：2727，求公差，求公差分析：方法一：直接套用公式；分析：方法一：直接套用公式； 方法二：利用奇數(shù)項與偶數(shù)項的關系方法二：利用奇數(shù)項與偶數(shù)項的關系解：方法一： 12112 1112354,26 55.62322,6 527622addadad 練習練習1、已知一個等差數(shù)列前12項的和是

5、354，前 12項中偶數(shù)項與奇數(shù)項之比為32：27，求公差解：方法二： 354,162,32,192,27SSSSSS奇偶奇奇偶偶3065.SSdd偶奇2、已知一個等差數(shù)列中d=05， 100145,S13599 .aaaa求的 值分析：還是利用奇數(shù)項和偶數(shù)項之間 的關系，相差一個公差d.解：設13599,aaaax24610050 ,aaaaxd則225145,60.xx1(1)1111 22 3(1)n nn nn例 1： 求 數(shù) 列的 前 n項 和S13,2nnaadS12n變式：等差數(shù)列中，111為前n項和，求SSS求數(shù)列前求數(shù)列前n項和方法之一：項和方法之一：裂項相消法裂項相消法設設

6、an是公差為是公差為d的等差數(shù)列，則有的等差數(shù)列，則有特別地，以下等式都是式的具體應用：特別地，以下等式都是式的具體應用：121121231111nnn-na aaaaa aaa aa(裂項相消法裂項相消法)1;1nn11111111nnnn +nn +1;21111212121212121112121nnnnnnnn1111122112n nnnn n nnn求和公式：求和公式：所給數(shù)列的通項是關于所給數(shù)列的通項是關于n的多項式，此時求和可的多項式，此時求和可采用公式法求和，常用的公式有：采用公式法求和，常用的公式有：121211nnnknk121612122212nnnnknk223331

7、314121nnnknk求數(shù)列前求數(shù)列前n項和方法之二：項和方法之二：公式公式 ,0nnmm naam ana性質(zhì)證明：等差數(shù)列中若求證 ,()nnmm naSm SnSmn 證明：等差數(shù)列中若求證性質(zhì)單利單利：銀行利息按單利計算（利息沒有利息利息沒有利息）本利和=本金（1+利率存期）例如：存入10000元，利率為0.72%存期年初本金年末本利和（元）結果第一年1000010000（1+0.7251） 10072第二年1000010000（1+0.7252） 10144第三年1000010000（1+0.7253） 10216第四年1000010000（1+0.7254） 10288特點：每一項與前一項的差是同一個常數(shù)復利：復利：銀行利息按復利計算（利滾利利滾利）本金和=本金（1+利率）存期存期年初本金年末本利和（元）第一年1000010000（1+1.98%）1第二年100001.0198100