高量19產(chǎn)生算符和消滅算符

1、131 31 產(chǎn)生算符和消滅算符產(chǎn)生算符和消滅算符31-1 31-1 定義定義討論討論b表象，以單粒子算符表象，以單粒子算符b的本征矢量的本征矢量|b為基礎(chǔ)。為基礎(chǔ)。 一、產(chǎn)生算符一、產(chǎn)生算符a+(b) 首先定義一個什么粒子都沒有的狀態(tài)首先定義一個什么粒子都沒有的狀態(tài)|0（真（真空態(tài)），從而確定了一個空態(tài)），從而確定了一個n=0的一維空間的一維空間r0。定義。定義一個算符一個算符a+(b)，用它來得出，用它來得出n=1,2,3,等系統(tǒng)的等系統(tǒng)的b表象的基矢：表象的基矢： 2 bbbbnnbbbnbabbbbbbabbbbabba; 11; 33; 2; 22; 1; 10稱稱a+(b)為產(chǎn)生算

2、符。它的意義是：為產(chǎn)生算符。它的意義是：a+(b)作用在一作用在一個個n粒子粒子b值確定的狀態(tài)上，所得狀態(tài)是在原狀態(tài)值確定的狀態(tài)上，所得狀態(tài)是在原狀態(tài)中增加一個中增加一個b值為值為b的粒子。的粒子。3注意：對于注意：對于bose子和子和fermi子，子，a+(b)算符是不同的。算符是不同的。對于對于bose子，子，b與已有的與已有的bb ,bb ,相同；相同；但對但對fermi子，若子，若b與已有的與已有的之一相同，則之一相同，則a+(b)對態(tài)作用的結(jié)果為零對態(tài)作用的結(jié)果為零。之一可以之一可以4粒子數(shù)粒子數(shù)n任意的系統(tǒng)的基矢統(tǒng)一用真空態(tài)任意的系統(tǒng)的基矢統(tǒng)一用真空態(tài)|0和適和適當?shù)漠a(chǎn)生算符表示出

3、來：當?shù)漠a(chǎn)生算符表示出來：00; 1bab 0! 21; 2bababb 0!1;bababanbbbn在在r0空間空間 在在r1空間空間 在在r2空間空間 在在rn空間空間 5產(chǎn)生算符作用的次序?qū)τ诋a(chǎn)生算符作用的次序?qū)τ赽ose子沒有關(guān)系，對子沒有關(guān)系，對fermi子則不然。由于新產(chǎn)生的粒子規(guī)定要寫在基子則不然。由于新產(chǎn)生的粒子規(guī)定要寫在基矢的最左端，所以矢的最左端，所以 bbnbababbbbnnnbbbbnnnbbnbababbbbnnnbbnbaba; 221; 221; 221;對易關(guān)系對易關(guān)系: 0babababa6二、消滅算符二、消滅算符a(b) 作為作為a+(b)的伴算符，的伴

4、算符，a(b)是對左矢的產(chǎn)生算符：是對左矢的產(chǎn)生算符： bbbbnnbabbbnbbbbabbbbbabbba; 11; 33; 2; 22; 1; 10對易關(guān)系對易關(guān)系 0babababa7也可以寫出也可以寫出)()(0! 21|; 2)(0; 1bababbbab)()()(0!1;bababanbbbn將將a(b)作用在右矢上作用在右矢上, bbbbnnbabbbn; 18 ; 1; 1; 1; 11; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 11; 11212bbbnbbbbbnbbbbbnbbbbbnbbnbbbnbbbnbbbnbbbbbnbbbnbbbbbnbbbnbbb

5、bbnbbbnbbnnbbbbnbbbbnnbbbbnbabbbnnn與任一個右矢與任一個右矢bbbbn;|作內(nèi)積，則由作內(nèi)積，則由30.9式有式有9上式對一切左矢成立，于是上式對一切左矢成立，于是 bbbnbbbbbnbbbbbnbbbbbnbbnbbbnban; 1; 1; 1; 11;12可見：可見：1 1）a(b)把把n粒子基矢變成粒子基矢變成(n-1)粒子基矢，因此粒子基矢，因此a(b)是消滅算符；是消滅算符；2 2）若在若在bbbn;|則算符則算符a(b)的作用正是的作用正是去掉這個粒子得出其余去掉這個粒子得出其余(n-1)個粒子的態(tài)個粒子的態(tài)，如，如沒有粒子處于沒有粒子處于b態(tài)態(tài)

6、，則，則a(b)對此態(tài)的對此態(tài)的作用結(jié)果為零作用結(jié)果為零；態(tài)中有一個粒子態(tài)中有一個粒子處在處在b態(tài)態(tài)，104 4）可以得到對易關(guān)系）可以得到對易關(guān)系)()()()()(bbbabababa3 3）若在若在bbbn;|(bose子系統(tǒng)子系統(tǒng))，則，則a(b)的作用是將處于的作用是將處于b態(tài)的粒態(tài)的粒子子對稱地（處于對稱地（處于b態(tài)的粒子地位相同，都要去掉）態(tài)的粒子地位相同，都要去掉）去掉一個，仍得出去掉一個，仍得出(n-1)粒子的態(tài)。粒子的態(tài)。中有兩個以上的粒子處于中有兩個以上的粒子處于b態(tài)態(tài)1131-2 31-2 占有數(shù)密度算符和總粒子數(shù)算符占有數(shù)密度算符和總粒子數(shù)算符由產(chǎn)生算符和消滅算符可以

7、造出兩個算符：由產(chǎn)生算符和消滅算符可以造出兩個算符：)(),()()(bdbnnbababn這兩個算符對任意一基矢的作用是這兩個算符對任意一基矢的作用是; 1)(; 1)(; 1)(1)(;)()(;)(1bbbnbbbbbnbbbbbnbbnbabbbnbababbbnbnn12bbbbnbbbbbbnbbbbbbnbbbbbbnbbbbbbnbbn;)(;)(;)(;)(;)(1bbbnbbbbbbnbb; )(;)(而而)(;|)(;| )(;項求和共有nbbbnnbbbnbbdbbbbnbdbnbbbnn最后一步利用了最后一步利用了 )()()(afdxaxxf13可見：可見：1）每一

8、個）每一個n粒子基矢都是粒子基矢都是n的本征矢量，即對的本征矢量，即對稱化的稱化的n粒子空間粒子空間rn是是n的本征子空間，本征的本征子空間，本征值是系統(tǒng)的總粒子數(shù)值是系統(tǒng)的總粒子數(shù)n；2）每一個基矢也是）每一個基矢也是n(b)的本征矢量，其本征值的本征矢量，其本征值要看基矢中的要看基矢中的bbb等不等于等不等于b，若沒有等，若沒有等于于b的，本征值為零，若有的，本征值為零，若有l(wèi)個等于個等于b的，則本征的，則本征值是值是l個個函數(shù)之和。函數(shù)之和。n是總粒子數(shù)算符，是總粒子數(shù)算符，n(b)是占有數(shù)密度算符。是占有數(shù)密度算符。14對易關(guān)系對易關(guān)系 )()()(),()()()(),(bbbaba

9、bnbbbababn將此二式積分，可得將此二式積分，可得n與它們的對易關(guān)系與它們的對易關(guān)系)()(,)()(,babanbaban以上四個對易關(guān)系對以上四個對易關(guān)系對bose子和子和fermi子都一樣。子都一樣。1531-3 31-3 位置表象和表象變換位置表象和表象變換一、位置表象一、位置表象如果取單粒子力學量如果取單粒子力學量b為粒子的坐標為粒子的坐標x（3d運動時運動時包括包括x1,x2,x3三個算符，它們是一組算符完備組），三個算符，它們是一組算符完備組），就可得到對稱化的位置表象。這一表象中的對稱化就可得到對稱化的位置表象。這一表象中的對稱化基矢為基矢為|n;xxx，它們滿足正交歸一

10、化條件和，它們滿足正交歸一化條件和完備性條件：完備性條件：)()()(!1;xxxxxxpnxxxnxxxnpp1; xxxnxxxndxdxdx16)(x)(x由于歷史的原因，習慣上用由于歷史的原因，習慣上用表示產(chǎn)生算符表示產(chǎn)生算符表示消滅算符表示消滅算符位置表象是連續(xù)表象，產(chǎn)生和消滅算符的作用是位置表象是連續(xù)表象，產(chǎn)生和消滅算符的作用是xxxxnnxxxnx; 11;)(xxxnxxxxxnxxxxxnxxnxxxnxn; 1)(; 1)(; 1| )(!1;| )(117對稱化基矢可以寫成由產(chǎn)生算符表示的形式：對稱化基矢可以寫成由產(chǎn)生算符表示的形式：0)()()(!1;xxxnxxxn產(chǎn)

11、生算符和消滅算符的對易關(guān)系是產(chǎn)生算符和消滅算符的對易關(guān)系是)()()()()(0)()()()(0)() ()()(xxxxxxxxxxxxxx占有數(shù)密度算符與總粒子數(shù)算符是占有數(shù)密度算符與總粒子數(shù)算符是)(),()()(xdxnnxxxn18二、表象變換二、表象變換討論討論b表象和表象和x表象之間的變換問題。表象之間的變換問題。設(shè)設(shè)x表象是已知的，現(xiàn)用表象是已知的，現(xiàn)用x表象中的量去表示表象中的量去表示b表表象中的量。象中的量。b表象的對稱化基矢是（應(yīng)用完全性表象的對稱化基矢是（應(yīng)用完全性關(guān)系）關(guān)系） bbbnxxxnxxxndxdxdxbbbn;19式中的式中的bxbxbxpnbbbnxx

12、xnpp!1;是由是由x表象變到表象變到b表象的變換矩陣。表象的變換矩陣。用用x表象產(chǎn)生和消滅算符去表示表象產(chǎn)生和消滅算符去表示b表象中的產(chǎn)生和表象中的產(chǎn)生和消滅算符：消滅算符： bbbbnxxxxnxxxxndxdxdxdxnbbbbnnbbbnba; 1; 1; 11; 11;)(20利用內(nèi)積定理利用內(nèi)積定理 ;)(11;)( bbbnxxxnbxbbbnxxxnbxbbbnxxxnbxxxxnxdxdxdxdxnbbbnban由于下式顯然滿足下列關(guān)系由于下式顯然滿足下列關(guān)系2;)(;)(;)(xxxxnxxxxnxxxxnx21故上式右邊各項分別出現(xiàn)一個故上式右邊各項分別出現(xiàn)一個rn空間

13、的完全性關(guān)空間的完全性關(guān)系，將這些完全性關(guān)系去掉，各項就剩下一重積系，將這些完全性關(guān)系去掉，各項就剩下一重積分了，于是有分了，于是有)()(11;)(xbxdxxbxdxnbbbnbabbbnxbxdx;)(上式右邊的上式右邊的(n+1)項積分是完全相同的，故得項積分是完全相同的，故得bbbnxbxdxbbbnba;)(;)()()(xbxdxba22兩邊取伴算符，得兩邊取伴算符，得)()(xxbdxba這就是這就是x表象和表象和b表象之間產(chǎn)生算符和消滅算符表象之間產(chǎn)生算符和消滅算符的關(guān)系，式中只有的關(guān)系，式中只有x和和b的單粒子本征矢量的內(nèi)的單粒子本征矢量的內(nèi)積，它是單粒子表象變換時的幺正矩

14、陣元。積，它是單粒子表象變換時的幺正矩陣元。23同樣可以寫出與上面相反的關(guān)系：同樣可以寫出與上面相反的關(guān)系：)()(baxbdbx)()(babxdbx顯然，若顯然，若b為動量為動量p，這時，這時pxhiepx23)2(1則有則有)()2(1)()()2(1)(2323paedpxpaedpxpxpxhihi這非常類似單粒子在這非常類似單粒子在x表象的態(tài)函數(shù)與表象的態(tài)函數(shù)與p表象的表象的態(tài)函數(shù)之間的關(guān)系態(tài)函數(shù)之間的關(guān)系fourier變換。變換。2431-4 31-4 算符的二次量子化算符的二次量子化一、力學量一、力學量g的普遍形式的普遍形式系統(tǒng)的力學量系統(tǒng)的力學量g可以寫成可以寫成 ninij

15、jninjnkjikijkijniigggg1)(111)(1)3()2(1)1(! 31! 21)1(ig)2(ijg)3(ijkg單體力學量，如動能、在外場中的勢能等單體力學量，如動能、在外場中的勢能等 雙體力學量，如相互作用勢能等雙體力學量，如相互作用勢能等 三體力學量，凝聚態(tài)物理和原子核物理三體力學量，凝聚態(tài)物理和原子核物理 25二、二、g的二次量子化形式的二次量子化形式寫成對稱化的寫成對稱化的b表象的形式，用完全性關(guān)系表象的形式，用完全性關(guān)系1bbbbbbdbdbdb作用到作用到g的兩邊，利用上升算符的作用規(guī)律，得的兩邊，利用上升算符的作用規(guī)律，得)()()(00)()()(!1ba

16、bababbbgbbbbababadbdbdbdbdbdbnbbbbbbgbbbbbbdbdbdbdbdbdbg 26上式積分中的矩陣元上式積分中的矩陣元bbbgbbb中，單體算符項為中，單體算符項為nnnnnppnnppiibgbbbbbbbbgbbbbbbbbgbppnbbbgbbb)1(22112)1(2211221)1(112)1() !(127雙體項算符為雙體項算符為nnnnppppijijbbbbgbbbbbbbbbbgbbppnbbbgbbb|) !(1! 21|! 2132)2(2332113321)2(12212)2(首先，可以把首先，可以把2) !(1ppppppn完全消去

17、完全消去。28然后，（然后，（31.30）式中的）式中的n項單體算符項在積分后項單體算符項在積分后也是完全相同的，同樣（也是完全相同的，同樣（31.31）式中的）式中的n(n-1)/2項積分后也是完全相同的，依次類推。項積分后也是完全相同的，依次類推。 于是得于是得 )()()(0)()|(! 3)2)(1()()()|(! 2) 1()()()(|0)()()(!1)3()2()1(babababbbbbgbbbnnnbbbbbbgbbnnbbbbbbbgbnbababadbdbdbdbdbdbng 29在上式等號右邊雙體算符的積分中出現(xiàn)在上式等號右邊雙體算符的積分中出現(xiàn) jiijjibbg

18、bbbbgbb|)|()2()2(即雙體算符在即雙體算符在i處于處于 |b態(tài)，態(tài)，j處于處于 |b態(tài)及態(tài)及i的的 b|態(tài)和態(tài)和j的的 b|之間的矩陣元。之間的矩陣元。jibb|未經(jīng)過對稱化處理未經(jīng)過對稱化處理 不論不論i和和j取什么值，這一矩陣元是相同的。取什么值，這一矩陣元是相同的。 30計算計算(31.33)式中的積分。先討論單粒子項：首先可式中的積分。先討論單粒子項：首先可以進行以進行(n-1)重積分，把重積分，把函數(shù)積掉。然后通過上升函數(shù)積掉。然后通過上升算符的作用后，就會看到式中出現(xiàn)了一個算符的作用后，就會看到式中出現(xiàn)了一個(n-1)粒子粒子系統(tǒng)基矢的完全性關(guān)系，去掉這個完全性關(guān)系（

19、因系統(tǒng)基矢的完全性關(guān)系，去掉這個完全性關(guān)系（因為它等于為它等于1）就又帶走了（）就又帶走了（n-1）重積分，最后只剩）重積分，最后只剩下兩重積分，即單粒子項為下兩重積分，即單粒子項為31)(|)()(|)!1(|)!1()(!1)()()(|0)()(|0)()()(!1)1()1()1(babgbbadbdbbabbbnbgbnbbbnbadbdbdbdbnbabababbbbbgbnbababadbdbdbdbdbdbn 其余各項也可類似處理，最后得算符其余各項也可類似處理，最后得算符g的表示式為的表示式為)()()()|()()()(! 31)()()|)()(! 21)(|)()3()

20、2()1(babababbbgbbbbababadbdbdbdbdbdbbababbgbbbabadbdbdbdbbabgbbadbdbg這是算符這是算符g的二次量子化形式。的二次量子化形式。 32在對稱化的位置表象中的形式：在對稱化的位置表象中的形式： )() (|) (|) ()(21)()(2)(222xxxxvxxdxdxxxvxmxdxh3331-5 31-5 巨巨hilberthilbert空間（空間（fockfock空間）空間）對于全同粒子系統(tǒng)，已經(jīng)有了對稱化的對于全同粒子系統(tǒng)，已經(jīng)有了對稱化的hilbert空間空間rn，其中，其中n是粒子數(shù)，可以等于是粒子數(shù)，可以等于0,1,2

21、,。但是產(chǎn)生。但是產(chǎn)生算符和消滅算符并不是上述任何一個空間的算符，算符和消滅算符并不是上述任何一個空間的算符，它作用于一個空間中的矢量上，得出的是另一個空它作用于一個空間中的矢量上，得出的是另一個空間中的矢量。產(chǎn)生算符作用到間中的矢量。產(chǎn)生算符作用到rn中的一個矢量時，中的一個矢量時，得出的是得出的是(n+1)粒子的狀態(tài)，即粒子的狀態(tài)，即rn+1中的矢量。同樣，中的矢量。同樣，消滅算符則得出一個消滅算符則得出一個rn-1中的矢量。可見使用產(chǎn)生中的矢量。可見使用產(chǎn)生和消滅算符，就要同和消滅算符，就要同rn以外的空間以外的空間rn+1和和rn-1，甚至，甚至rn+2和和rn-2打交道。打交道。34現(xiàn)在取現(xiàn)在取r0,r1,r2,等所有粒子數(shù)不同的空間的直等所有粒子數(shù)不同的空間的直和，構(gòu)成一個大空間和，構(gòu)成一個大空間rg，稱為巨，稱為巨hilbert空間或空間或fock空間空間 0210nnngrrrrrr每一個每一個n粒子空間都是巨粒子空間都是巨hilbert空間的一個子空空間的一個子空間，每個子空間都是總粒子數(shù)算符間，每個子空間都是總粒子數(shù)算符n的本征子空的本征子空間，本征值就是間，本征