排列組合與概率初步

1、a111級15班 雷寅排列組合與概率初步排列組合與概率初步 a2引入：兩個根本原理a3分類計數(shù)原理亦稱加法原理 做一件事，完成它可以有 n 類方案，在第 一類方案中有 m1 種不同的方法，在第二類方案中有 m2 種不同的方法， ， 在 第n 類方法中有 mn 種不同的方法 那么 完成這件事共有 Nm1 十 m2 十 十 mn 種不同的方法 a4A地B地飛機有a班次火車有b班次汽車有c班次那么從那么從A A地到地到B B地的方法有地的方法有a+b+ca+b+c種種a5分步計數(shù)原理亦稱乘法原理 做一件事， 需要分成 n 個步驟， 做第一 步有 m1 1 種不同的方法， 做第二步有 m2 2 種不同

2、的方法， ， 做第 n 步有 mn n 種 不同的方法，那么完成這件事共有：Nm1 1m2 2mn n 種不同的方法a6那么從那么從A A地到地到B B地的方法有地的方法有a ab b種種從從A A地到地到B B地須經(jīng)由地須經(jīng)由C C地轉車地轉車A地B地C地火車有a班次汽車有b班次a7有何區(qū)別？( o?)a8 備選方案中選哪一種方案都行，方案中的每一種方法 都能實現(xiàn)目的A地B地飛機有a班次火車有b班次汽車有c班次a9 任何一步的一種方法都不能完成此任務，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務；各步計數(shù)相互獨立；只要有一步中所采取的方法不同，那么對應的完成此事的方法也不同A地B地C地火車有a班次

3、汽車有b班次a10Example 書架上層放有書架上層放有 6 6 本不同的數(shù)學書，下層放本不同的數(shù)學書，下層放 有有 5 5 本不同的語文書本不同的語文書 1 1從中任取一本，取法種數(shù)有從中任取一本，取法種數(shù)有 A.5 B.6 C.10 D.11 A.5 B.6 C.10 D.11 2 2從中任取數(shù)學書與語文書各一從中任取數(shù)學書與語文書各一本，有多少的取法？本，有多少的取法？ A.5 B.6 C.10 D. 30 A.5 B.6 C.10 D. 30a11排列組合a12排列 所謂排列，就是指從給定個數(shù)的元素中取出指定個數(shù)的元素進行排序 從n個不同元素中，任取m(mn)個元素 按照一定的順序排

4、成一列，叫做從n個不 同元素中取出m個元素的一個排列a13排列數(shù) 從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排 列數(shù)，用符號 A(n,m)表示。 A(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)! 此外規(guī)定0!=1a14Example 有0,1,2,，8這9個數(shù)字用這9 個數(shù)字組 成4位位數(shù)互不相同的密碼，共有多少個不同的密碼？ A(9，4)=9!/5!a15Example 有0,1,2,，8這9個數(shù)字用這9 個數(shù)字組 成位數(shù)互不相同的四位數(shù)，共有多少個不同的密碼？ 8A(8，3)A(9，4)-A(8，3)a16組合組合那么是指

5、從給定個數(shù)的元素中僅僅取出指定個數(shù)的元素，不考慮排序從n個不同元素中，任取m(mn)個元 素并成一組，叫做從n個不同元素中取出 m個元素的一個組合a17組合數(shù) 從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)。用符號 C(n,m) 表示。 C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/(n-m)!m!) C(n,m)=C(n,n-m)a18Example 從4名男生中和3名女生中選出男女各2人參加某個座談會，那么不同的選法有多少種？ C(4，2)C(3，2)a19二項式定理a+b)n=Cn，0anb0+Cn，1a(n-1b1+Cn，na0bna20二項式

6、定理a+b)n的二項展開式共有n+1項，其中各項的系數(shù)Cn，r(r0，1，2，n)叫做二項式系數(shù)。a21二項式定理二項展開式的通項公式簡稱通項為Cn，r(a)(n-r)br，用Tr+1表示其中“r+1為角標，即通項為展開式的第r+1項a22二項式定理與楊輝三角楊輝三角的第n行就是n項二項式 展開式的系數(shù)列a23Example (x+2)10(x2-1)的展開式中x10的系數(shù)為 22C(10,2)-1=179a24排列組合綜合例題排列組合綜合例題 打包法 插空法 反面法a25打包法打包法 在解決某幾個元素要求相鄰問題時，可在解決某幾個元素要求相鄰問題時，可整體考慮將相鄰元素視為一個大元素整體考慮

7、將相鄰元素視為一個大元素a26Example 有有8 8個不同的球，其中紅球個不同的球，其中紅球3 3個，黑球個，黑球2 2個，個， 白球白球3 3個，假設將這些球排成一列，個，假設將這些球排成一列，那么紅球恰好排在一起，黑球也恰好排在那么紅球恰好排在一起，黑球也恰好排在一起的一起的 排法共有多少種？排法共有多少種？ A(3,3)A(2,2)A(5,5)a27Example 假設有假設有A,B,C,D,EA,B,C,D,E五個人排成一排照相，五個人排成一排照相，A A和和B B不不 能相鄰，那么不同的排法有多少種？能相鄰，那么不同的排法有多少種？C(3,1)A(2,2)A(3,3)+A(3,2

8、)A(2,2)A(2,2)+A(3,3)A(2,2)a28插空法插空法 插空法一般用于解決間隔問題要求某插空法一般用于解決間隔問題要求某 些元素不能相鄰，由其他元素將其隔開的些元素不能相鄰，由其他元素將其隔開的 問題，解決此類問題，可以先將其他的問題，解決此類問題，可以先將其他的 元素排號，再將指定的不相鄰元素插入元素排號，再將指定的不相鄰元素插入 他們的空隙及兩端位置他們的空隙及兩端位置a29Example 假設有假設有A,B,C,D,EA,B,C,D,E五個人排成一排照相，五個人排成一排照相，A A和和B B不不 能相鄰，那么不同的排法有多少種？能相鄰，那么不同的排法有多少種？A(3,3)

9、A(4,2)a30反面法反面法 含含“至多、至多、“至少的排列組合問題是至少的排列組合問題是需需 要分類的，有時從反面思考，能夠簡化運要分類的，有時從反面思考，能夠簡化運 算算a31Example 在一批共在一批共100100件產(chǎn)品中，有件產(chǎn)品中，有3 3件次品，件次品，9797件件 正品，某次質檢過程中須從這批產(chǎn)正品，某次質檢過程中須從這批產(chǎn)品中抽檢品中抽檢3 3件，那么抽到次品的抽法有多少件，那么抽到次品的抽法有多少種？種？C(100,3)-A(97,3)a32組合中的分組問題組合中的分組問題 非平均分組與分配 平均分組與分配 局部平均分組與分配a33非平均分組與分配非平均分組與分配 某高

10、中在一次舉行校園舞蹈大賽活動中邀某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動中邀請了請了9位評委老師位評委老師 (1)假設將假設將9位評委老師分成三組進行打分，位評委老師分成三組進行打分，使一組使一組2人、一組人、一組3人、一組人、一組4人的不同分法人的不同分法共有多少種？共有多少種？C(9,2)C(7,3)C(4,4)a34非平均分組與分配非平均分組與分配 某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動中邀某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動中邀請了請了9位評委老師位評委老師 (2)假設將假設將9位評委老師分到賽場周圍的東、位評委老師分到賽場周圍的東、南、西三個位置進行打分，使一處南、西三個位置進行打分，使一處2人，一人

11、，一處處3人，一處人，一處4人的不同分法有多少種？人的不同分法有多少種？C(9,2)C(7,3)C(4,4)A(3,3)a35非平均分組與分配非平均分組與分配 某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動中邀某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動中邀請了請了9位評委老師位評委老師 (3)假設將假設將9位評委老師分到賽場周圍的東、位評委老師分到賽場周圍的東、南、西三個位置進行打分，使東邊南、西三個位置進行打分，使東邊2人，南人，南邊邊3人，西邊人，西邊4人的不同分法有多少種？人的不同分法有多少種？C(9,2)C(7,3)C(4,4)a36非平均分組與分配非平均分組與分配總結：假設總結：假設n個元素分成個元素分成m

12、組，組，m1,m2,.,mm為各組的元素個數(shù)且各不相為各組的元素個數(shù)且各不相等，那么非平均非組的方法種數(shù)等，那么非平均非組的方法種數(shù)N=C(n,m1)C(n-m1,m2)C(n-m1-m2,m3).C(mm,mm);不定向分不定向分配的分法種數(shù)配的分法種數(shù)M=NA(m,m);定向的非平定向的非平均分配問題與非平均分組一樣均分配問題與非平均分組一樣a37平均分組與分配平均分組與分配 某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動中某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動中 邀請了邀請了9位評委老師位評委老師 (1)假設將假設將9位評委老師平均分成三組打分，位評委老師平均分成三組打分，那么那么 不同分法有多少種？不同分

13、法有多少種？C(9,3)C(6,3)C(3,3)/A(3,3)a38平均分組與分配平均分組與分配 某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動中某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動中 邀請了邀請了9位評委老師位評委老師 (2)假設將假設將9位評委老師平均分成三組，并分位評委老師平均分成三組，并分到到 東、西、南三個位置打分，那么不同分法東、西、南三個位置打分，那么不同分法 有多少種？有多少種？C(9,3)C(6,3)C(3,3)a39平均分組與分配平均分組與分配總結：總結：(1)問由于平均分組在分步取的過程中問由于平均分組在分步取的過程中隱含了排列問題，而實際中不含排列問題，隱含了排列問題，而實際中不含排列問

14、題，故要除以組數(shù)的全排列數(shù)，而第二問那么故要除以組數(shù)的全排列數(shù)，而第二問那么直接得出了答案。也可以理解為直接得出了答案。也可以理解為(2)問問的答案為的答案為(1)問的答案乘以組數(shù)的全排列數(shù)問的答案乘以組數(shù)的全排列數(shù)a40局部平均分組與分配局部平均分組與分配 某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動中某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動中 邀請了邀請了9位評委老師位評委老師 (1)假設將假設將9位評委老師平均分成四組打分，位評委老師平均分成四組打分，一一 組組3人，其余每組人，其余每組2人，那么不同分法有多人，那么不同分法有多 少種？少種？C(9,3)C(6,2)C(4,2)C(2,2)/A(3,3)a4

15、1局部平均分組與分配局部平均分組與分配 某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動中某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動中 邀請了邀請了9位評委老師位評委老師 (2)假設將假設將9位評委老師分到東、南、西、北位評委老師分到東、南、西、北四四 處打分，一處處打分，一處3人，其余每處人，其余每處2人，那么不人，那么不 同分法有多少種？同分法有多少種？ C(9,3)C(6,2)C(4,2)C(2,2)/A(3,3)A(4,4)a42局部平均分組與分配局部平均分組與分配 某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動中某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動中 邀請了邀請了9位評委老師位評委老師 (3)假設將假設將9位評委老師分到四處打

16、分，使東位評委老師分到四處打分，使東 邊邊3人，其余每處人，其余每處2人，那么不同分法有多人，那么不同分法有多 少種？少種？ C(9,3)C(6,2)C(4,2)C(2,2)a43局部平均分組與分配局部平均分組與分配總結：局部平均分組問題先按總結：局部平均分組問題先按“非平均分組非平均分組列式后再除以等分組的階乘；局部均勻列式后再除以等分組的階乘；局部均勻分配問題可以遵循先分組后排列的原那么分配問題可以遵循先分組后排列的原那么a44概率a45相互獨立事件事件事件A A是否發(fā)生對事件是否發(fā)生對事件B B發(fā)生的概率沒有影發(fā)生的概率沒有影響，那么稱兩個事件響，那么稱兩個事件A A、B B相互獨立相互

17、獨立a46二項分布用用表示隨機試驗的結果表示隨機試驗的結果如果事件發(fā)生的概率是如果事件發(fā)生的概率是P,P,那么不發(fā)生的那么不發(fā)生的概概 率率q=1-pq=1-p，N N次獨立重復實驗中發(fā)生次獨立重復實驗中發(fā)生K K次的概次的概率是率是P(=K)= C(n,k) P(=K)= C(n,k) pk pk (1-p)(n- (1-p)(n-k)k)a47Example 隨機拋擲隨機拋擲100100次硬幣，恰有次硬幣，恰有5050次正面朝上次正面朝上的概率是多少？的概率是多少？C(100，50)(1/2)50(1-1/2)50a48幾何分布幾何分布幾何分布Geometric distributionGeometric distribution是離是離散型散型概率分布。其中一種定義為：