求數(shù)列通項(xiàng)公式及數(shù)列求和的幾種方法

1、數(shù)列知識(shí)點(diǎn)及方法歸納1. 等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定狡：“”+】一“=(為常數(shù))，陽(yáng)=d+(T)d等差中項(xiàng)：x, A, y成等差數(shù)列O24 = x + y(a, +altnn(n-前 n 項(xiàng)和 S = = na. + d2 2性質(zhì):an是等差數(shù)列(1) 若加+n = p+g,則am+an=ap + aq(2) 數(shù)列心，如，“2“仍為等差數(shù)列，S”, SS, sin-s2n仍為等差數(shù)列，公差為”訕:(3) 若三個(gè)成等差數(shù)列，可設(shè)為a-d, a, a+d(4) 若“，厶是等差數(shù)列，且前項(xiàng)和分別為s, T ,則學(xué)=注nnnn/*)fUm 12m-l(5) 輒為等差數(shù)列OS”二伽訂伽，為常數(shù)，是關(guān)于的常數(shù)

2、項(xiàng)為0的二次函數(shù))S”的最值可求二次函數(shù)sn=(m2+bn的最值：或者求出q,中的正、負(fù)分界項(xiàng)，即：當(dāng)0, J(),解不等式組可得廠達(dá)到最大值時(shí)的值.10當(dāng)5(),由?H0可得S “達(dá)到最小值吋的值. n 0 項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2的等差數(shù)列有9S2n =也1 + %)+%】)= =(% +%)(”，為中間兩項(xiàng))S偶-S奇二加，學(xué)=竺.、m an(刀 項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)加-1的等差數(shù)列兔有S汩二一嘰(陽(yáng)為中間項(xiàng)),2. 等比數(shù)列的定狡與性質(zhì)定義：學(xué)=? （g 為常數(shù)，G2 = xy ,或G二土込加】W = 1)前H項(xiàng)和：S產(chǎn)仙（1_“）.1一9（要注意?。?E)性質(zhì)：%是等比數(shù)列（D若加則盒二勺/為（2）5,

3、52n -5, 53 -S2仍為等比數(shù)列，公比為g.注意：由求5時(shí)應(yīng)注意什么A? = 1 時(shí)，q = S；心2時(shí)，s=s”-s”t3. 求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法（1）求差（商）法例：數(shù)列州,如+和+詁 =2n + 5,求“”練習(xí)數(shù)列仏滿足S”+S,|%, q=4,求5(2) 疊乘法數(shù)列4中，心，譽(yù)二占，求“”(3) 等差型遞推公式由 “”一 “”_1 =/(”)，“ = “0 ,朮“”，用迭加法a2a =/(2)心2時(shí)，一-./，兩邊相加得“”_絢=/(2)+廣(3) +5-匕-= fg： 5 = “ + f( 2) + f( 3) + f(n )練習(xí)數(shù)列中，q=l，山=3心+仏|(22),求

4、“”(a”=(3T)(4) 等比型遞推公式a = can. + d( C、d 為常數(shù)，chO, c H 1, hO)可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列,設(shè)an +x = c(t + x) =an = cq_i + (c-1)x令(f l)x = cl 9 / X =c-ld JX口是首項(xiàng)+名c為公比的等比數(shù)列C 1丿dc-1例：數(shù)列“滿足4=1，心+1二2心+1,求數(shù)列仏的通項(xiàng)公式(5) 倒數(shù)法 4 = 1, % =,求“ ”在數(shù)列中，=1,山+|求數(shù)列厲的通項(xiàng)公式.1 +叫_ J S(巾=1)公式法、利用幾=S“S,I (h2)、累加法、累乘法.構(gòu)造等差或等比“ =/“ +鄉(xiāng)或“小= “”+/)、待定系數(shù)法、

5、對(duì)數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法4. 求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法(1)裂項(xiàng)法把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng).n 1如：是公差為的等差數(shù)列，求工例：已知5 =,求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和兀(2) 錯(cuò)位相減法若為等差數(shù)列他為等比數(shù)列，求數(shù)列anb(差比數(shù)列)前項(xiàng)和可由Sn-qSni 求S”，其中g(shù)為0的公比.=4+勺+ %+色 =+%+ +%例：設(shè)等差數(shù)列，公差為求證:例：S =1 + 2x + 3x2+4x倒序相如法把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫，再與原來(lái)順序的數(shù)列相加.相加 2,=（4+）+（心+如）+（q+aj + nxn-求幾練習(xí)已知/(x) = 二，則/(i)+/+”

6、+/+/訃卜/+/R卜二+丄“l(fā)+X2 1 + X2原式=/ + / + /(*+/+ /(+ /(弓冷+ 1 + 1 + 1 = 3*a. 用倒序相加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和如果一個(gè)數(shù)列(aj,與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可釆用把正著寫與倒著寫的兩 個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。我們?cè)趯W(xué)知識(shí)時(shí)，不但要知 其果，更要索其因，知識(shí)的得出過(guò)程是知識(shí)的源頭，也是研究同一類知識(shí)的工具，例如：等差數(shù)列 前n項(xiàng)和公式的推字，用的就是“倒序相加法”。b. 用公式法求數(shù)列的前n項(xiàng)和對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前n項(xiàng)和h可直接用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解。運(yùn)用 公式求

7、解的注意事項(xiàng)：首先要注意公式的應(yīng)用范圍，確定公式適用于這個(gè)數(shù)列之再計(jì)算。c. 用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和裂項(xiàng)相消法是將數(shù)列的一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使得前后項(xiàng)相抵消，留下有限項(xiàng)，從而求出數(shù)列的 前n項(xiàng)和。d. 用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。即若在數(shù)列 an - bn中，*成等差數(shù)列，bj成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯(cuò)位相減整理 后即可以求出前n項(xiàng)和。e. 用迭加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和迭加法主要應(yīng)用于數(shù)列aj滿足a心n+f(n),其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下,可把 這個(gè)式子變成廠aFf(n),代入各項(xiàng)，得

8、到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過(guò)整理，可求 出an ,從而求出Snof. 用分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和所謂分組求和法就是對(duì)一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開， 可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。g. 用構(gòu)造法求數(shù)列的前n項(xiàng)和所謂構(gòu)造法就是先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)的特征，構(gòu)造出我們熟知的基 本數(shù)列的通項(xiàng)的特征形式，從而求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。練習(xí)1 數(shù)列滿足e=i,厲+1 = 2q +1,求數(shù)列心的通項(xiàng)公式.2數(shù)列心中，4 = 2,給+二2山+ 3 2,求數(shù)列5的通項(xiàng)公式.3.數(shù)列中,4=2,陽(yáng)+1 =陽(yáng)（1 一 A