做一名有思想教師

1、2012.02.2012.02.太原太原聯(lián)系方式：聯(lián)系方式：1360355756813603557568電子信箱：電子信箱：做一名有思想的教師做一名有思想的教師自問：自問： 我有數(shù)學(xué)思想嗎？我有數(shù)學(xué)思想嗎？數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題解決數(shù)學(xué)問題的 根 本 想 法的 根 本 想 法觀點觀點數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法解決數(shù)學(xué)問題解決數(shù)學(xué)問題的 具 體 做 法的 具 體 做 法途徑途徑學(xué)學(xué)生生的的核核心心素素養(yǎng)養(yǎng)指導(dǎo)指導(dǎo)提升提升一、什么是數(shù)學(xué)思想？為什么要一、什么是數(shù)學(xué)思想？為什么要 懂得數(shù)學(xué)思想？懂得數(shù)學(xué)思想？ 不懂得數(shù)學(xué)思想方法的教師不是一個稱職不懂得數(shù)學(xué)思想方法的教師不是一個稱職的數(shù)學(xué)教師。的數(shù)學(xué)教師

2、。 徐利治徐利治數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（20112011年版）年版）總體目標(biāo)（節(jié)選）總體目標(biāo)（節(jié)選） 第一條：第一條：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)生能獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想基本思想、基本活動、基本活動經(jīng)驗。經(jīng)驗。學(xué)段目標(biāo)（節(jié)選）學(xué)段目標(biāo)（節(jié)選）第一學(xué)段：第一學(xué)段：會獨立思考問題，表達(dá)自己的會獨立思考問題，表達(dá)自己的想法想法。第二學(xué)段：第二學(xué)段：會獨立思考，體會一些數(shù)學(xué)的會獨立思考，體會一些數(shù)學(xué)的基本思想基本思想。第三學(xué)段：第三學(xué)段：能獨立思考，體會

3、數(shù)學(xué)的能獨立思考，體會數(shù)學(xué)的基本思想基本思想和思和思 維方式。維方式。 數(shù)學(xué)教材的兩條主線：數(shù)學(xué)教材的兩條主線：一條是明線一條是明線數(shù)學(xué)知識；一條是暗線數(shù)學(xué)知識；一條是暗線數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想。教教 知知 識識教教 方方 法法教思想教思想基礎(chǔ)基礎(chǔ)重點重點目的目的數(shù)學(xué)教學(xué)三層次數(shù)學(xué)教學(xué)三層次 案例：布魯納與數(shù)學(xué)家迪因斯對案例：布魯納與數(shù)學(xué)家迪因斯對8 8歲兒童班進(jìn)行一歲兒童班進(jìn)行一元二次方程元二次方程“x x2 2+2x+1=(x+1)(x+1)”+2x+1=(x+1)(x+1)”的教學(xué)嘗試的教學(xué)嘗試。 第一環(huán)節(jié)：認(rèn)識圖形第一環(huán)節(jié)：認(rèn)識圖形（教師介紹三種不同的板片）（教師介紹三種不同的板片）x x

4、x xx x1 11 11 1“xx”“xx”正方形正方形或或“x“x2 2”正方形正方形“1x”“1x”長方形長方形或或“x”“x”長方形長方形“11”“11”正方形正方形或或“1”“1”正方形正方形1 1x xx x 第二環(huán)節(jié)第二環(huán)節(jié): :拼擺圖形拼擺圖形( (用這三用這三種板片種板片( (許多個許多個) )拼一個比拼一個比“x“x2 2正正方形方形”更大的正方形更大的正方形).).學(xué)生稍加學(xué)生稍加嘗試嘗試, ,輕而易舉完成了任務(wù)輕而易舉完成了任務(wù). .1 1 第三環(huán)節(jié)第三環(huán)節(jié): :描述圖形描述圖形( (學(xué)生觀察、思考、討論，教師根學(xué)生觀察、思考、討論，教師根據(jù)實際情況予以提示或提問）據(jù)實

5、際情況予以提示或提問） 1. 1.從從“塊數(shù)塊數(shù)”角度描述。教師提示下形成表達(dá)式：角度描述。教師提示下形成表達(dá)式：x x2 2+2x+1+2x+1 2. 2.從從“邊長邊長”角度描述。教師引導(dǎo)下形成表達(dá)式角度描述。教師引導(dǎo)下形成表達(dá)式: :(x+1)(x+1)(x+1)(x+1) 第四環(huán)節(jié)第四環(huán)節(jié): :構(gòu)建模型構(gòu)建模型( (一元二次方程式的一種因式分解一元二次方程式的一種因式分解模式被學(xué)生模式被學(xué)生“發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)”了了. .) ) x x2 2+2x+1=+2x+1=(x+1)(x+1)(x+1)(x+1) 第五環(huán)節(jié)第五環(huán)節(jié): :應(yīng)用拓展。應(yīng)用拓展。教師引導(dǎo)學(xué)生將這種知識和方教師引導(dǎo)學(xué)生將這種知識

6、和方法不斷地運用到新的問題情境中去法不斷地運用到新的問題情境中去, ,即不斷地做出更大的即不斷地做出更大的正方形正方形, ,并按照上述途徑和方式建立起新的等式。經(jīng)過多并按照上述途徑和方式建立起新的等式。經(jīng)過多次拼擺，標(biāo)記，最終學(xué)生發(fā)現(xiàn)了代數(shù)中一元二次方程的次拼擺，標(biāo)記，最終學(xué)生發(fā)現(xiàn)了代數(shù)中一元二次方程的因式分解規(guī)律。因式分解規(guī)律。 我國著名數(shù)學(xué)家陳省身先生說：數(shù)學(xué)好玩！我國著名數(shù)學(xué)家陳省身先生說：數(shù)學(xué)好玩！再問：再問： 我有數(shù)學(xué)思想嗎？我有數(shù)學(xué)思想嗎？ 有有 概概 念念二、基本的數(shù)學(xué)思想有哪些？二、基本的數(shù)學(xué)思想有哪些？ 課程標(biāo)準(zhǔn)（課程標(biāo)準(zhǔn)（20112011年版）年版）中所說的中所說的“數(shù)學(xué)數(shù)

7、學(xué)的基本思想的基本思想”主要指：數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推主要指：數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想、數(shù)學(xué)建模的思想。理的思想、數(shù)學(xué)建模的思想。 “數(shù)學(xué)抽象的思想數(shù)學(xué)抽象的思想”又派生出：對應(yīng)思想、比較又派生出：對應(yīng)思想、比較思想、極限思想、分類思想、符號化思想、集合思想、思想、極限思想、分類思想、符號化思想、集合思想、數(shù)形結(jié)合思想等。數(shù)形結(jié)合思想等。 “數(shù)學(xué)推理的思想數(shù)學(xué)推理的思想”又派生出：假設(shè)思想、化歸又派生出：假設(shè)思想、化歸思想、歸納思想、類比思想、替換思想、轉(zhuǎn)化思想、還思想、歸納思想、類比思想、替換思想、轉(zhuǎn)化思想、還原思想等。原思想等。 “數(shù)學(xué)建模的思想數(shù)學(xué)建模的思想”又派生出：統(tǒng)計思想、模

8、又派生出：統(tǒng)計思想、模型思想、函數(shù)思想、隨機思想、優(yōu)化思想、整體思想等。型思想、函數(shù)思想、隨機思想、優(yōu)化思想、整體思想等。對比統(tǒng)極假模函，對比統(tǒng)極假模函，二歸二類隨機換，二歸二類隨機換，三化二合整體還。三化二合整體還。上述上述2020種數(shù)學(xué)思想可以用三句打油詩概括：種數(shù)學(xué)思想可以用三句打油詩概括：1. 1. 對應(yīng)思想對應(yīng)思想 第一階段（低段）：深藏不露的暗線教學(xué)第一階段（低段）：深藏不露的暗線教學(xué) 第二階段（中段）：若隱若現(xiàn)的明暗線結(jié)第二階段（中段）：若隱若現(xiàn)的明暗線結(jié) 合教學(xué)合教學(xué) 第三階段第三階段（高段）：畫龍點睛的明線教學(xué)（高段）：畫龍點睛的明線教學(xué) （1 1）本質(zhì)特征：兩個集合建立聯(lián)系

9、。）本質(zhì)特征：兩個集合建立聯(lián)系。 （2 2）表現(xiàn)形式：）表現(xiàn)形式： 數(shù)與形對應(yīng)數(shù)與形對應(yīng) 量與量對應(yīng)量與量對應(yīng) 量與率對應(yīng)量與率對應(yīng) （3 3）滲透方式：）滲透方式：第一步：設(shè)疑萌發(fā)對應(yīng)思想第一步：設(shè)疑萌發(fā)對應(yīng)思想第二步：解疑體驗對應(yīng)思想第二步：解疑體驗對應(yīng)思想第三步：激疑活用對應(yīng)思想第三步：激疑活用對應(yīng)思想案例案例2 2：直線（數(shù)軸）上的點和具體的數(shù)是：直線（數(shù)軸）上的點和具體的數(shù)是 一一對應(yīng)一一對應(yīng)案例案例1 1：用對應(yīng)思想解決植樹問題。：用對應(yīng)思想解決植樹問題。2.2.比較思想比較思想 案例案例1 1：分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題教學(xué)中的分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題教學(xué)中的“一字之差一字之差”、“一詞之別一詞之

10、別”、“一句之異一句之異”、“一號之分一號之分”。 案例案例2 2：“小數(shù)的性質(zhì)小數(shù)的性質(zhì)”用變魔術(shù)（用變魔術(shù)（“4”4”的變化）的變化）導(dǎo)入新課（劉德武）導(dǎo)入新課（劉德武）案例案例3 3：“認(rèn)識厘米認(rèn)識厘米”中的中的“火燒紙尺火燒紙尺”（劉德武）（劉德武） 比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)。比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)。 俄俄烏申斯基烏申斯基 (1)(1)實質(zhì)實質(zhì): :同中求異識區(qū)別同中求異識區(qū)別, ,異中求同找聯(lián)系。異中求同找聯(lián)系。 (2)(2)案例：案例： 3.3.統(tǒng)計思想統(tǒng)計思想案例案例1 1：“統(tǒng)計初步知識統(tǒng)計初步知識”的教學(xué)的教學(xué) 第一環(huán)節(jié)：導(dǎo)入新課時引出第一環(huán)節(jié)：導(dǎo)入新課時引出“

11、收集數(shù)據(jù)收集數(shù)據(jù)”、“整理數(shù)據(jù)整理數(shù)據(jù)”、“分析數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)”。 第二環(huán)節(jié)：教師由一位老奶奶找校長第二環(huán)節(jié)：教師由一位老奶奶找校長“告狀告狀”引出作業(yè)負(fù)擔(dān)重的問題，面對這一棘手問引出作業(yè)負(fù)擔(dān)重的問題，面對這一棘手問題教師引導(dǎo)學(xué)生說出題教師引導(dǎo)學(xué)生說出“收集數(shù)據(jù)收集數(shù)據(jù)”調(diào)查全班同學(xué)。調(diào)查全班同學(xué)。 第三環(huán)節(jié)：由調(diào)查表的零亂又引出第三環(huán)節(jié)：由調(diào)查表的零亂又引出“整理數(shù)據(jù)整理數(shù)據(jù)”關(guān)鍵是數(shù)據(jù)整理的方法問題，關(guān)鍵是數(shù)據(jù)整理的方法問題，“劃劃正字正字”怎樣劃。怎樣劃。 第四環(huán)節(jié)：整理完后，又引導(dǎo)學(xué)生第四環(huán)節(jié)：整理完后，又引導(dǎo)學(xué)生“分析數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)”告知老奶奶。告知老奶奶。 第五環(huán)節(jié)：出示例第五環(huán)節(jié)：出

12、示例2 2：統(tǒng)計車輛的行駛情況，判斷道路是否存在擁擠。：統(tǒng)計車輛的行駛情況，判斷道路是否存在擁擠。案例案例2 2：復(fù)式統(tǒng)計表的教學(xué)：復(fù)式統(tǒng)計表的教學(xué)案例案例3 3：折線統(tǒng)計圖：折線統(tǒng)計圖的教學(xué)的教學(xué) 收集數(shù)據(jù)、有序整理、分析判斷、科學(xué)決策。收集數(shù)據(jù)、有序整理、分析判斷、科學(xué)決策。 4.4.極限思想極限思想 （1 1）本質(zhì)特征：通過量變的無限過程達(dá)到）本質(zhì)特征：通過量變的無限過程達(dá)到質(zhì)變。質(zhì)變。 （3 3）案例分析：）案例分析： （2 2）表現(xiàn)形式：有限中認(rèn)識無限，）表現(xiàn)形式：有限中認(rèn)識無限， 近似中認(rèn)識精確，近似中認(rèn)識精確， 量變中認(rèn)識質(zhì)變。量變中認(rèn)識質(zhì)變。 從從“數(shù)量數(shù)量”上看上看“無限多無

13、限多”。如：自然數(shù)數(shù)不如：自然數(shù)數(shù)不完，奇數(shù)、偶數(shù)的個數(shù)無限多。完，奇數(shù)、偶數(shù)的個數(shù)無限多。 從從“圖形圖形”上看上看“無限延伸性無限延伸性”。如：線段、如：線段、射線、直線的認(rèn)識。有始有終是線段，有始無終是射射線、直線的認(rèn)識。有始有終是線段，有始無終是射線，無始無終是直線。線，無始無終是直線。 從從“方法方法”上看上看“無限逼近無限逼近”。如圓面積公式如圓面積公式的推導(dǎo)過程。的推導(dǎo)過程。 案例案例2 2：怎樣引導(dǎo)學(xué)生判斷：怎樣引導(dǎo)學(xué)生判斷“因為直線是從一點向因為直線是從一點向兩端無限延伸，而射線是從一點向一端無限延伸，所兩端無限延伸，而射線是從一點向一端無限延伸，所以直線比射線長以直線比射線

14、長”這一錯誤想法。這一錯誤想法。 案例案例1 1：“射線、直線和角的認(rèn)識射線、直線和角的認(rèn)識”教學(xué)設(shè)計教學(xué)設(shè)計5.5.假設(shè)思想假設(shè)思想 （1 1）基本思路：）基本思路：提出假設(shè)提出假設(shè) 進(jìn)行推算進(jìn)行推算 分析判斷分析判斷 得出結(jié)論得出結(jié)論 （2 2）基本方法）基本方法： 假設(shè)情節(jié)變化。假設(shè)情節(jié)變化。一堆煤，上午運走它的一堆煤，上午運走它的2/72/7，下午運走余下，下午運走余下的的1/31/3還多還多6 6噸，最后還剩噸，最后還剩1414噸沒運。這堆煤原有多少噸？噸沒運。這堆煤原有多少噸？ 假設(shè)數(shù)量變化。假設(shè)數(shù)量變化。雞兔同籠問題。雞兔同籠問題。 假設(shè)數(shù)量相等。假設(shè)數(shù)量相等。某庫房有一批貨物，

15、第一天運走某庫房有一批貨物，第一天運走2020噸，第二噸，第二天運的噸數(shù)比第一天多這批貨物總重量的天運的噸數(shù)比第一天多這批貨物總重量的6/176/17，此時還剩這批貨物的，此時還剩這批貨物的9/179/17。這批貨物原有多少噸？這批貨物原有多少噸？ 假設(shè)總數(shù)為假設(shè)總數(shù)為“1”1”。小明從甲地到乙地，去時每小時行小明從甲地到乙地，去時每小時行4 4千米，千米，返回時每小時行返回時每小時行6 6千米，問小明往返甲乙兩地的平均速度？千米，問小明往返甲乙兩地的平均速度？6.6.模型思想模型思想案例案例2 2：長方體和正方體的認(rèn)識，建模有三層次：長方體和正方體的認(rèn)識，建模有三層次 第一層次：借助實物構(gòu)建

16、模型；第一層次：借助實物構(gòu)建模型； 第二層次：借助圖形構(gòu)建模型；第二層次：借助圖形構(gòu)建模型； 第三層次：借助想像構(gòu)建模型。第三層次：借助想像構(gòu)建模型。案例案例3 3：比的意義的教學(xué)：比的意義的教學(xué) （2 2）案例分析）案例分析： （1 1）建模過程：）建模過程：問題情境問題情境 建立模型建立模型 解釋應(yīng)用解釋應(yīng)用 拓展延伸拓展延伸 案例案例1 1：加法意義的教學(xué)（一年級）：加法意義的教學(xué)（一年級） 出示紙花，觀察情境，提出問題。選擇情境演，小棒、圖片擺，出示紙花，觀察情境，提出問題。選擇情境演，小棒、圖片擺，用肢體語言表達(dá)加法含義。結(jié)合不同情境，學(xué)生進(jìn)行判斷，把模型應(yīng)用用肢體語言表達(dá)加法含義。

17、結(jié)合不同情境，學(xué)生進(jìn)行判斷，把模型應(yīng)用到新情境中。學(xué)生嘗試逆向思維，看模型編應(yīng)用題。到新情境中。學(xué)生嘗試逆向思維，看模型編應(yīng)用題。7.7.函數(shù)思想函數(shù)思想 案例案例1 1：“2020以內(nèi)進(jìn)位加法表以內(nèi)進(jìn)位加法表”（加數(shù)的變化引起和的（加數(shù)的變化引起和的變化規(guī)律）變化規(guī)律） 案例案例2 2：“正比例和反比例正比例和反比例”（第一，在一個第一，在一個“變化變化”過程中，過程中，存在存在“兩個兩個”變量；第二，這兩個變量具有一定的變量；第二，這兩個變量具有一定的“聯(lián)系聯(lián)系”，一個變量的，一個變量的變化會引起另一個變量變化會引起另一個變量“隨之隨之”變化；第三，兩個變量存在變化；第三，兩個變量存在“一

18、一對應(yīng)一一對應(yīng)”的關(guān)系。因為正反比例研究的是變量和變量之間的關(guān)系，所以正反比例概的關(guān)系。因為正反比例研究的是變量和變量之間的關(guān)系，所以正反比例概念的抽象和概括以及對念的抽象和概括以及對“一一對應(yīng)一一對應(yīng)”的理解就成了教學(xué)的難點。）的理解就成了教學(xué)的難點。） （1 1）函數(shù)思想的實質(zhì)）函數(shù)思想的實質(zhì)：以運動變化的觀點：以運動變化的觀點分析問題分析問題 （2 2）函數(shù)思想的核心）函數(shù)思想的核心：一一對應(yīng)：一一對應(yīng) （3 3）案例分析）案例分析：8.8.化歸思想化歸思想 （1 1）化歸的關(guān)鍵）化歸的關(guān)鍵化：轉(zhuǎn)化化：轉(zhuǎn)化 （2 2）化歸的目的）化歸的目的歸：歸結(jié)（問題得解）歸：歸結(jié)（問題得解） （3

19、3）化歸的條件）化歸的條件等價等價 （4 4）化歸的形式）化歸的形式化難為易化難為易 化生為熟化生為熟 化繁為簡化繁為簡 （5 5）化歸的實質(zhì)）化歸的實質(zhì)“未知未知”轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“已知已知”（6 6）化歸的三要素：）化歸的三要素：化歸對象、化歸途徑、化歸目標(biāo)?；瘹w對象、化歸途徑、化歸目標(biāo)。案例案例1 1：平行四邊形面積的計算。：平行四邊形面積的計算。案例案例2 2：學(xué)校體育組有：學(xué)校體育組有9 9個籃球，足球比籃球多個籃球，足球比籃球多8 8個，足球有多個，足球有多 少個？少個？ 化歸對象：化歸對象：求平行四邊形的面積。求平行四邊形的面積。 化歸途徑：化歸途徑：將平行四邊形運用割補的方法轉(zhuǎn)化為

20、長方形。將平行四邊形運用割補的方法轉(zhuǎn)化為長方形。 化歸目標(biāo)：化歸目標(biāo)：平行四邊形的面積平行四邊形的面積= =底底高高 化歸對象：化歸對象：求足球有多少個？求足球有多少個？ 化歸途徑：化歸途徑：把把“足球比籃球多足球比籃球多8 8個個”轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型“多多少比少比 9 9多多8 8個個” 化歸目標(biāo)：化歸目標(biāo)：足球有足球有9+8=179+8=17（個）（個）（7 7）化歸思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透。）化歸思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透。 感知形成階段感知形成階段在簡單計算中體驗在簡單計算中體驗“化歸化歸”。如：如：2020以內(nèi)進(jìn)位加法的學(xué)習(xí)通常是運用以內(nèi)進(jìn)位加法的學(xué)習(xí)通常是運用“湊十法湊

21、十法”轉(zhuǎn)化成轉(zhuǎn)化成“1010加幾加幾”的簡單計算題。的簡單計算題。 初步運用階段初步運用階段在動手操作中探索在動手操作中探索“化歸化歸”。如：四年級求多邊形的內(nèi)角和，將四邊形、五邊形、六邊如：四年級求多邊形的內(nèi)角和，將四邊形、五邊形、六邊形轉(zhuǎn)化成三角形（分割）來解決。形轉(zhuǎn)化成三角形（分割）來解決。 靈活運用階段靈活運用階段在解決問題中應(yīng)用在解決問題中應(yīng)用“化歸化歸”。如：五年級如：五年級“多邊形的面積多邊形的面積”都以長方形面積計算為基礎(chǔ)，都以長方形面積計算為基礎(chǔ)，以圖形內(nèi)在聯(lián)系為線索，以未知向已知轉(zhuǎn)化為基本方法展開以圖形內(nèi)在聯(lián)系為線索，以未知向已知轉(zhuǎn)化為基本方法展開學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)。9.9.歸納思

22、想歸納思想案例案例1 1：三角形內(nèi)角和：三角形內(nèi)角和 先由直角三角形、等邊三角形算出其內(nèi)角和度數(shù)；先由直角三角形、等邊三角形算出其內(nèi)角和度數(shù)； 再用猜測、操作、驗證等方法推導(dǎo)一般三角形的內(nèi)角和；再用猜測、操作、驗證等方法推導(dǎo)一般三角形的內(nèi)角和； 最后歸納得出所有三角形的內(nèi)角和為最后歸納得出所有三角形的內(nèi)角和為180180度，這就運用歸度，這就運用歸納的思想方法。納的思想方法。案例案例2 2：“長方形和正方形的特征長方形和正方形的特征”教學(xué)中對長方形特征教學(xué)中對長方形特征 的探究的探究 （1 1）基本形式：從）基本形式：從“特殊特殊”到到“一般一般”。 （2 2）案例分析：）案例分析：10.10

23、.類比思想類比思想 案例案例1 1：由加法交換律由加法交換律a ab bb ba a的學(xué)習(xí)類比遷移的學(xué)習(xí)類比遷移到乘法交換律到乘法交換律a ab=bb=ba a的學(xué)習(xí)，這是由類比思想帶來的學(xué)習(xí)，這是由類比思想帶來的知識正遷移。的知識正遷移。 案例案例2 2：由由2 2、5 5的倍數(shù)特征學(xué)生很容易類比遷移到的倍數(shù)特征學(xué)生很容易類比遷移到3 3的倍數(shù)特征也要看個位，這就屬于類比思想帶來的知的倍數(shù)特征也要看個位，這就屬于類比思想帶來的知識負(fù)遷移。識負(fù)遷移。 （1 1）基本特點：對象的相似性）基本特點：對象的相似性 （2 2）基本方式：類推遷移）基本方式：類推遷移 （3 3）案例分析：）案例分析：11

24、.11.分類思想分類思想 案例案例1 1：真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的分類（為什么真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的分類（為什么 是假分是假分?jǐn)?shù)而不是真分?jǐn)?shù)？）。數(shù)而不是真分?jǐn)?shù)？）。 案例案例3 3：一根小棒的一根小棒的 與與 米的小棒哪根長？（分米的小棒哪根長？（分類討論）類討論） （1 1）分類原則：統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏。）分類原則：統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏。 （2 2）分類方法：合理有序。）分類方法：合理有序。 （3 3）案例分析：）案例分析： 案例案例2 2：“一一列舉一一列舉”策略的教學(xué)策略的教學(xué)（例例1 1：王大叔用：王大叔用1818根根1 1米長的柵欄圍成一個長方形羊圈，有多少種不同的圍法？米長的柵欄圍成一個長方形羊

25、圈，有多少種不同的圍法？重點引導(dǎo)學(xué)重點引導(dǎo)學(xué)生有序思考。生有序思考。例例2 2：訂閱：訂閱科學(xué)世界科學(xué)世界七彩文學(xué)七彩文學(xué)數(shù)學(xué)樂園數(shù)學(xué)樂園三種三種雜志，最少訂閱雜志，最少訂閱1 1種，最多訂閱種，最多訂閱3 3種。有多少種不同的訂閱方法？種。有多少種不同的訂閱方法？重點重點引導(dǎo)學(xué)生分類思考。引導(dǎo)學(xué)生分類思考。）44212112.12.隨機思想隨機思想 （1 1）本質(zhì)特征：不確定性。）本質(zhì)特征：不確定性。 （2 2）重要作用：）重要作用：“偶然偶然”中探索中探索“必然必然”規(guī)律規(guī)律 （3 3）案例分析：）案例分析： 選擇題：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤選擇題：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤4 4次，指針（次，指針（ ） A A 可能有一

26、次停在可能有一次停在C C區(qū)；區(qū)； B B 停在停在A A區(qū)的次數(shù)一定最多；區(qū)的次數(shù)一定最多； C C 停在停在B B區(qū)和區(qū)和C C區(qū)的次數(shù)各占區(qū)的次數(shù)各占2525；D D 一定有一次停在一定有一次停在B B區(qū)區(qū) “等可能性等可能性”的教學(xué)。將硬幣拋的教學(xué)。將硬幣拋2020次，硬幣正面朝上的次，硬幣正面朝上的 有（有（ ）次，背面朝上的有（）次，背面朝上的有（ ）次。（常常事與愿違）次。（常常事與愿違）13.13.替換思想替換思想 （1 1）替換條件：等量）替換條件：等量 （2 2）常見類型：）常見類型：兩種量是倍數(shù)關(guān)系兩種量是倍數(shù)關(guān)系 兩種量不是倍數(shù)關(guān)系兩種量不是倍數(shù)關(guān)系14.14.轉(zhuǎn)化思想

27、轉(zhuǎn)化思想 （1 1）轉(zhuǎn)化的類別：）轉(zhuǎn)化的類別：等價轉(zhuǎn)化等價轉(zhuǎn)化 非等價轉(zhuǎn)化（修正）非等價轉(zhuǎn)化（修正） （2 2）轉(zhuǎn)化的實質(zhì)：）轉(zhuǎn)化的實質(zhì)：化繁為簡、化生為熟、化難為易化繁為簡、化生為熟、化難為易 （3 3）轉(zhuǎn)化的形式：）轉(zhuǎn)化的形式：圖形間的轉(zhuǎn)化、數(shù)量間的轉(zhuǎn)化、圖形間的轉(zhuǎn)化、數(shù)量間的轉(zhuǎn)化、數(shù)形間的轉(zhuǎn)化數(shù)形間的轉(zhuǎn)化 （4 4）案例分析：）案例分析：用轉(zhuǎn)化策略解決問題（六下）用轉(zhuǎn)化策略解決問題（六下）15.15.優(yōu)化思想優(yōu)化思想 （1 1）實質(zhì)：用最佳方案、思路、解法、策）實質(zhì)：用最佳方案、思路、解法、策略解決問題。略解決問題。 （2 2）案例：）案例： 尋求最佳解法；尋求最佳解法； 最佳算法；最佳

28、算法； 最短路線；最短路線； 最短時間；最短時間； 最少用料最少用料; ; 最大面積。最大面積。 有一棵奇怪的樹，一生只長六個高低不一的樹枝，每枝一次只結(jié)有一棵奇怪的樹，一生只長六個高低不一的樹枝，每枝一次只結(jié)一個果子。果子成熟時，最下層的果子先熟，然后逐次向上，一天只一個果子。果子成熟時，最下層的果子先熟，然后逐次向上，一天只熟一個。果子熟了熟一個。果子熟了3 3天后便開始爛，但每次只爛掉天后便開始爛，但每次只爛掉1/31/3，其余的，其余的2/32/3還還能吃。并且，每天只能從樹上摘下一個果子。一天，一只小猴子看到能吃。并且，每天只能從樹上摘下一個果子。一天，一只小猴子看到這棵樹。這時最下

29、層的果子已經(jīng)爛了這棵樹。這時最下層的果子已經(jīng)爛了1/31/3，它便先摘下第一層的爛果，它便先摘下第一層的爛果子，以后每天逐次向上。你認(rèn)為小猴子可以吃的果子合計為幾個？它子，以后每天逐次向上。你認(rèn)為小猴子可以吃的果子合計為幾個？它現(xiàn)在的摘法好嗎？你有沒有更好的的摘法？現(xiàn)在的摘法好嗎？你有沒有更好的的摘法？16.16.符號化思想符號化思想 個體符號：個體符號：表示數(shù)的符號，如：表示數(shù)的符號，如：1 1，2 2，；a,b,c, a,b,c, ；，x x以及表示小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的符號。以及表示小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的符號。 數(shù)的運算符號：數(shù)的運算符號：+ +，- -， 關(guān)系符號：關(guān)系符號：= =，。，。

30、 結(jié)合符號：結(jié)合符號：（），以及表示角的計量符號和表示豎（），以及表示角的計量符號和表示豎式運算的分隔符號等。式運算的分隔符號等。 什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號加邏輯。什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號加邏輯。 英英羅素羅素 （1 1）實質(zhì)：用符號化的語言描述數(shù)學(xué)內(nèi)容。）實質(zhì)：用符號化的語言描述數(shù)學(xué)內(nèi)容。 （2 2）特點：簡明、抽象、清晰、準(zhǔn)確。）特點：簡明、抽象、清晰、準(zhǔn)確。（3 3）教材中出現(xiàn)的幾類符號：）教材中出現(xiàn)的幾類符號：（4 4）符號化（代數(shù)）思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透）符號化（代數(shù)）思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透 滲透孕伏階段（滲透孕伏階段（1-41-4年級）：年級）：一至三年級用一至三年級用“（

31、）、（）、”等表示數(shù)，在零散的練習(xí)中穿插進(jìn)行，初等表示數(shù)，在零散的練習(xí)中穿插進(jìn)行，初步感受方程思想，四年級下冊字母表示運算定律滲透用字母步感受方程思想，四年級下冊字母表示運算定律滲透用字母表示數(shù)的簡潔性。表示數(shù)的簡潔性。 形成發(fā)展階段（五年級上學(xué)期）：形成發(fā)展階段（五年級上學(xué)期）：通過通過“簡易方程簡易方程”單元正式教學(xué)代數(shù)初步知識，包括用字母表示數(shù)、簡易方程和單元正式教學(xué)代數(shù)初步知識，包括用字母表示數(shù)、簡易方程和列方程解簡單的實際問題。列方程解簡單的實際問題。 應(yīng)用拓展階段（五下和六年級）：應(yīng)用拓展階段（五下和六年級）：通過用字母表示通過用字母表示平面圖形的周長、面積公式、立體圖形的體積公式

32、，正反比例平面圖形的周長、面積公式、立體圖形的體積公式，正反比例的意義等等進(jìn)行拓展運用。的意義等等進(jìn)行拓展運用。案例：數(shù)青蛙游戲案例：數(shù)青蛙游戲17.17.數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)數(shù)數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系 形形空間形式空間形式 結(jié)合結(jié)合聯(lián)系起來分析問題和解決問題聯(lián)系起來分析問題和解決問題 數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微； 數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。 華羅庚華羅庚 （1 1）基本概念：）基本概念： （2 2）重要作用：）重要作用： （3 3）基本形式：）基本形式： 以以“形形”助助“數(shù)數(shù)”第一步第一步：（：（“分分”與與“算算”

33、結(jié)合）邊分小棒邊列豎式。結(jié)合）邊分小棒邊列豎式。第二步：（第二步：（“算算”與與“說說”結(jié)合）看豎式說分小棒的過程。結(jié)合）看豎式說分小棒的過程。第三步：（第三步：（“算算”與與“想想”結(jié)合）邊想分小棒過程，邊列除法豎式。結(jié)合）邊想分小棒過程，邊列除法豎式。二層樓二層樓案例案例2 2：“兩位數(shù)除以一位數(shù)，商兩位數(shù)兩位數(shù)除以一位數(shù)，商兩位數(shù)”的除法教學(xué)，怎樣實現(xiàn)除的除法教學(xué)，怎樣實現(xiàn)除法法 豎式的豎式的“一層樓一層樓”向向“二層樓二層樓”的過渡。的過渡。案例案例1 1：探究計算中的規(guī)律（牛獻(xiàn)禮）：探究計算中的規(guī)律（牛獻(xiàn)禮）案例案例3 3：蘇教版一年級下冊蘇教版一年級下冊“2020以內(nèi)的退位減法以內(nèi)

34、的退位減法”練習(xí)題練習(xí)題問題：問題：1.1.最多最多( (最少最少) )是什么意思是什么意思? ?2.2.怎樣擺才能使梨的個數(shù)最多怎樣擺才能使梨的個數(shù)最多( (最少最少)?)?3.3.梨最多梨最多( (最少最少) )有幾個有幾個? ? 以以“數(shù)數(shù)”解解“形形”思考：究竟是先思考：究竟是先“形形”后后“數(shù)數(shù)”還是先還是先“數(shù)數(shù)” 后后“形形”？一看年級的階段性；一看年級的階段性；二看知識的新舊度；二看知識的新舊度；三看問題的難易度；三看問題的難易度；四看學(xué)生的層次性；四看學(xué)生的層次性；五看思維的發(fā)展性；五看思維的發(fā)展性；案例案例2 2：看線段圖或其它圖列式解答。看線段圖或其它圖列式解答。案例案例

35、1 1：幾何圖形的面積或周長計算。幾何圖形的面積或周長計算。2個案例：畫線段圖解決實際問題（蘇教版三上）案例：畫線段圖解決實際問題（蘇教版三上）第一步：激發(fā)學(xué)生畫線段圖的需要。第一步：激發(fā)學(xué)生畫線段圖的需要。第二步：指導(dǎo)學(xué)生畫線段圖的方法。第二步：指導(dǎo)學(xué)生畫線段圖的方法。2個20個案例：畫線段圖解決實際問題（蘇教版三上）案例：畫線段圖解決實際問題（蘇教版三上）第一步：激發(fā)學(xué)生畫線段圖的需要。第一步：激發(fā)學(xué)生畫線段圖的需要。第二步：指導(dǎo)學(xué)生畫線段圖的方法。第二步：指導(dǎo)學(xué)生畫線段圖的方法。第三步：培養(yǎng)學(xué)生畫線段圖的習(xí)慣。第三步：培養(yǎng)學(xué)生畫線段圖的習(xí)慣。首先，學(xué)會以首先，學(xué)會以“數(shù)數(shù)”解解“形形”：

36、看圖說題意列算式：看圖說題意列算式然后，學(xué)會以然后，學(xué)會以“形形”助助“數(shù)數(shù)”：根據(jù)題意畫圖列算式：根據(jù)題意畫圖列算式18.18.集合思想集合思想案例案例1 1：長方形、正方形和平行四邊形的關(guān)系：長方形、正方形和平行四邊形的關(guān)系正方形正方形長方形平行四邊形45458585案例案例2 2：蘇教版五年級下冊：蘇教版五年級下冊“真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)” 將圖形中的涂色部分用分?jǐn)?shù)表示。將圖形中的涂色部分用分?jǐn)?shù)表示。有的學(xué)生說涂色部分表示有的學(xué)生說涂色部分表示 ，也有的，也有的同學(xué)說涂色部分表示同學(xué)說涂色部分表示 ，究竟是，究竟是 對對還是還是 對呢？對呢？ （1 1）表示形式：圓圈圖（韋恩圖）表

37、示形式：圓圈圖（韋恩圖） （2 2）基本特征：）基本特征：一個集合（整體）的事物具有某種一個集合（整體）的事物具有某種共同特征。共同特征。 （3 3）案例分析：）案例分析：19.19.整體（系統(tǒng)）思想整體（系統(tǒng)）思想 （1 1）基本特征：整體把握、化零為整。）基本特征：整體把握、化零為整。 （2 2）案例分析：）案例分析： 整體把握整體把握 案例案例1 1：求右圖的面積（單位：分米）求右圖的面積（單位：分米） 案例案例2 2：有一個平行四邊形（如圖），高是有一個平行四邊形（如圖），高是4 4厘米，厘米， 這個平行四邊形的面積是（這個平行四邊形的面積是（ ） A 20A 202 B 15 B 152 C 12 C 12 2 D 20 D 202或或12122 化零為