拋物線中的最值問題PPT學習教案

1、會計學1拋物線中的最值問題拋物線中的最值問題例一、例一、點點P在拋物線在拋物線y2=x上，定點上，定點A(3,0),求求|PA|的最小值的最小值。取取最最小小值值時時，當當點點在在拋拋物物線線上上，解解：設設211PA25x411)25x(95xxx96xxy)3x(PAxyP)y,x(P222222 法一、目標函數(shù)法法一、目標函數(shù)法第1頁/共14頁法二、判別式法法二、判別式法過作同心圓過作同心圓,當圓與拋物線相當圓與拋物線相切時切時,到點的距離最小到點的距離最小,設為設為r x xy y r ry y3 3) )( (x x 2 22 22 22 2則則由由0 0r r9 95 5x xx

2、x2 22 22 21111r r 0 0) )r r(9(91 14 4(-5)(-5) : :2 22 2 可得可得第2頁/共14頁練習：練習：若若P為拋物線為拋物線y2=x上一動點，上一動點，Q為圓（為圓（x-3)2+y2=1 上上一動點，求一動點，求|PQ|的最小值的最小值1 12 21 11 1第3頁/共14頁例二、例二、設設P P為拋物線為拋物線y= xy= x2 2上的一動點，求上的一動點，求P P點到直線點到直線L:L: 3x-4y-6=0 3x-4y-6=0的距離的最小值。的距離的最小值。有有最最小小值值為為時時，當當點點在在拋拋物物線線上上，解解：設設8087d83x516

3、87)83x(4564x3x564y3xdxyP)yx,(P222 法一、目標函數(shù)法法一、目標函數(shù)法y=x2P(x,y)xyo第4頁/共14頁法二、判別式法法二、判別式法解：當解：當L L平移到與拋物線平移到與拋物線y=xy=x2 2只有一個公共點時只有一個公共點時, ,設此時的設此時的直線為直線為L1L1，其方程為，其方程為3x-4y-b=03x-4y-b=0。則。則L L與與L1L1的距離即為所求的距離即為所求。.)4(3)(622169為為所所求求的的距距離離是是與與8 80 08 87 7 L LL L1 1 d 3x-4y+b=0 y=x2 代入可得：代入可得：4x2 -3x+b=0

4、 =(-3)2-44b=0 可得可得 169 bLy=x2xyoL1第5頁/共14頁練習：練習：已知拋物線已知拋物線y y2 2=4x=4x，以拋物線上兩點，以拋物線上兩點A(4,4)A(4,4)、B(1,-2)B(1,-2)的連線為底邊的連線為底邊ABPABP，其頂點，其頂點P P在拋物線的弧在拋物線的弧ABAB上運動，求：上運動，求： ABPABP的最大面的最大面積及此時點積及此時點P P的坐標。的坐標。A(4,4)B(1,-2)xyo分析分析1 1：動點在弧動點在弧ABAB上運動，可以上運動，可以設出點設出點P P的坐標，只要求出點的坐標，只要求出點P P到線到線段段ABAB所在直線所在

5、直線ABAB的最大距離即為點的最大距離即為點P P到線段到線段ABAB的最大距離，也就求出的最大距離，也就求出了了ABPABP的最大面積。的最大面積。分析分析2：我們可以連接我們可以連接ABAB，作平行，作平行ABAB的直線的直線L L與拋物線相切，求出直與拋物線相切，求出直線線L L的方程，即可求出直線的方程，即可求出直線L L與與ABAB間的距離，從而求出間的距離，從而求出ABPABP面積的面積的最大值和點最大值和點P P的坐標。的坐標。LP第6頁/共14頁小結：小結：對于拋物線上一點到定點或者是定直線的最值對于拋物線上一點到定點或者是定直線的最值問題，可以由兩點間距離公式或者點到直線的問

6、題，可以由兩點間距離公式或者點到直線的距離公式建立目標函數(shù)，再用函數(shù)最值的方法距離公式建立目標函數(shù)，再用函數(shù)最值的方法求解；也可以通過一些幾何性質和已知條件求解；也可以通過一些幾何性質和已知條件構構造一個含有某一變量的一元二次方程，通過判造一個含有某一變量的一元二次方程，通過判斷方程的判別式尋求題目的答案。斷方程的判別式尋求題目的答案。第7頁/共14頁已知定點已知定點M M（3 3，2 2），），F(xiàn) F是拋物線是拋物線y y2 2=2x=2x的焦點，的焦點，在此拋物線上求一點在此拋物線上求一點P P，使，使|PM|+|PF|PM|+|PF|取得最小值取得最小值，求點，求點P P的坐標的坐標拋物

7、線上的點到焦點的距離拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離相等。與到準線的距離相等。即即|PF| = |PN| |PM|+|PF|= |PM|+|PN|當當 M M、P P、N N三點共三點共線時距離之和最小。線時距離之和最小。 FM例三、例三、如圖，由拋物線的定義：如圖，由拋物線的定義：分析：分析：FMPN第8頁/共14頁解解：如圖所示如圖所示|PF|= |PN|即：即：|PF|+|PM|= |PN|+|PM| |PM|+ |PN| |PM|+|PN|= |PM|+|PF|又又點點P的縱坐標等于點的縱坐標等于點M的縱坐標，即的縱坐標，即y=2所以，點所以，點P的坐標為（的坐標為（2，2）在拋

8、物線在拋物線 y2 = 2x上任取一點上任取一點P(x,y),作作PN準線準線L，作，作MN L ，MN交拋物線于交拋物線于P（x，y）由拋物線的定義得：）由拋物線的定義得：當當P和和P重合時，即重合時，即PNL，N、P、M三點共線，三點共線，F(xiàn)MPNPN第9頁/共14頁yxOFAPyxOFAPQ練習、練習、P為拋物線為拋物線x2=4y上的一動點，定點上的一動點，定點A（8,7）,求求P到到x軸與到點軸與到點A的距離之和的最小值的距離之和的最小值所求所求p p點位置點位置9第10頁/共14頁幾何法，運用數(shù)形結合的思想，利用拋物線的定幾何法，運用數(shù)形結合的思想，利用拋物線的定義，將到焦點的距離轉

9、化為到準線的距離，將圖義，將到焦點的距離轉化為到準線的距離，將圖形局部進行轉化，使最值問題得以求解形局部進行轉化，使最值問題得以求解小結：小結：第11頁/共14頁練習：練習：最小MN使得上求一點N,上的一個定點在拋物線0)的對稱軸2px(p為拋物線y1.已知M(a,0)2 2、求拋物線、求拋物線y2=64x上的點到直線上的點到直線4x+3y+46=0 距離最小值，并求取得最小距離最小值，并求取得最小值時拋物線上的點的坐標值時拋物線上的點的坐標第12頁/共14頁課堂小結：課堂小結：在解析幾何中，常見的最值問題的求解方法主要在解析幾何中，常見的最值問題的求解方法主要有以下幾種：有以下幾種：函數(shù)函數(shù)法：法：選擇恰當?shù)淖兞?，根?jù)題意建立目標函數(shù)，選擇恰當?shù)淖兞?，根?jù)題意建立目標函數(shù)，再探求目標函數(shù)的最值方法。再探求目標函數(shù)的最值方法。幾何法幾何法：利用數(shù)形結合的思想，借助于幾何圖形中的利用數(shù)形結合的思想，借助于幾何圖形中的一些特點