平面幾何的重要定理PPT學習教案

1、會計學1平面幾何的重要定理平面幾何的重要定理1 1、梅涅勞斯、梅涅勞斯(Menelauss)(Menelauss)定理定理：. 1 ABBCCAABBCCA則則三三點點共共線線，、若若CBA )1(，且且點在邊的延長線上，點在邊的延長線上，有奇數(shù)個有奇數(shù)個、若若1)2( ABBCCAABBCCACBA.三三點點共共線線、則則CBA .或其延長線上的點或其延長線上的點、的三邊的三邊分別是分別是、設設ABCABCABCCBA ABCA B C 第1頁/共16頁2 2、塞瓦、塞瓦(Ceva)(Ceva)定理定理：.上的點上的點、邊邊的三的三分別是分別是、設設ABCABCABCCBA . 1 ABBC

2、CAABBCCA于一點的充要條件是于一點的充要條件是交交、則，則，CCBBAA ABCA B C M第2頁/共16頁3 3、托勒密、托勒密(Ptolemy)(Ptolemy)定理定理：.)1(BDACADBCCDABABCD 則則為圓內接四邊形，為圓內接四邊形，定理：設定理：設.)2(四點共圓四點共圓、則則，滿足：滿足：逆定理：若四邊形逆定理：若四邊形DCBABDACADBCCDABABCD 四點共圓時取等號）四點共圓時取等號）、當且僅當當且僅當則則為任意四邊形為任意四邊形邊形邊形四四托勒密定理的推廣：若托勒密定理的推廣：若DCBABDACADBCCDABABCD(.,)3( ABCD第3頁/

3、共16頁4 4、西姆松、西姆松(Simson)(Simson)定理定理：(2)(2)逆定理：若一點在逆定理：若一點在三角形三邊所在直線三角形三邊所在直線上的射影共線，則該上的射影共線，則該點在此三角形的外接點在此三角形的外接圓上圓上. .)1(三點共線三點共線、則則、垂線，垂足分別為垂線，垂足分別為所在直線作所在直線作、向三邊向三邊外接圓上一點，從外接圓上一點，從為為設設NMLNMLABCABCPABCP ABCPLMN第4頁/共16頁5 5、歐拉、歐拉(Euler)(Euler)定理定理： 1 1.31)1(OHOGHGOHGOABC 三點共線，且三點共線，且、，則，則、垂心分別為垂心分別為

4、的外心、重心、的外心、重心、歐拉定理：設歐拉定理：設 2 2.2)2(2RrRddrRABC ，則，則距離為距離為，兩圓心之間的，兩圓心之間的，內切圓半徑為，內切圓半徑為為為的外接圓半徑的外接圓半徑歐拉公式：設歐拉公式：設第5頁/共16頁.(2)4(）是正三角形時等號成立是正三角形時等號成立僅當僅當當且當且，則，則，內切圓半徑為，內切圓半徑為為為外接圓半徑外接圓半徑歐拉不等式：設歐拉不等式：設ABCrRrRABC 4 4.)5(點共圓點共圓連線段的中點，這九個連線段的中點，這九個，各頂點與垂心，各頂點與垂心中點，各邊高線的垂足中點，各邊高線的垂足角形各邊的角形各邊的九點圓（歐拉圓）：三九點圓（

5、歐拉圓）：三.2)3(22RrRddIOrR 圓的充要條件是：圓的充要條件是：外接圓與內切外接圓與內切兩圓分別是某個三角形兩圓分別是某個三角形，則，則的距離為的距離為與與，兩圓心，兩圓心、為為它們的半徑它們的半徑設大圓套在小圓外面，設大圓套在小圓外面， 3 3第6頁/共16頁6 6、斯德瓦特、斯德瓦特(Stewart)(Stewart)定理定理：BCPCBPAPBCABPCACBPBCABCP 222邊上的一點，則邊上的一點，則的的是是設設ABCPabc22222)(:nmmnanmncnmmbAPnmPCBP ，則，則即：如果即：如果2222221acbAPBCP 的中點，則的中點，則是是特

6、例：若特例：若第7頁/共16頁7 7、拿破侖定理、拿破侖定理：，則，則、分別向外作等邊三角形分別向外作等邊三角形為底，為底，、的邊的邊以以CAFBCEABDCABCABABC 稱為拿破侖三角形）稱為拿破侖三角形）形是等邊三角形形是等邊三角形的中心為頂點的三角的中心為頂點的三角）三個等邊三角形）三個等邊三角形（；三線共點，且三線共點，且、(.2)1(CDBFAECDBFAE ABCDEF第8頁/共16頁8 8、牛頓、牛頓(Newton)(Newton)定理定理：.三點共線三點共線、求證：求證：、分別為分別為的中點的中點、點，點，的延長線交于的延長線交于和和點，另一組對邊點，另一組對邊的延長線交于

7、的延長線交于和和的一組對邊的一組對邊已知四邊形已知四邊形NMLNMLEFBDACFBCADECDABABCDABCDEFLMN第9頁/共16頁9 9、蝴蝶定理、蝴蝶定理：的的為為弦弦中中，設設如如圖圖，在在圓圓EFPO.PQPRRQEFADBCBDACP 則則，、相交于相交于分別與弦分別與弦、，連接，連接、作兩條弦作兩條弦中點，過中點，過ABCDPEFRQ第10頁/共16頁1010、帕普斯、帕普斯(Pappus)(Pappus)定理定理：.12211221122122221111三點共線三點共線、求證：求證：交于交于和和，交于交于和和，交于交于和和的任意三點，的任意三點，上上是直線是直線、的任意三點，的任意三點，上上是直線是直線、圖，設圖，設如如NMLNCBCBMCACALBABAlCBAlCBA第11頁/共16頁1111、莫萊定理、莫萊定理：第12頁/共16頁課后思考：課后思考：.1111421BDACABBCABC 求證：求證：，中，中，、已知、已知ABCD1.2AADBDBCDACBACABABC 求求，且且，于點于點的平分線交的平分線交，中，中，、在、在ABDC第13頁/共16頁.91343214321ABCDGGGGSSABCDABCDABCDGGGGABCD四邊形四邊形四邊形四邊形求證：求證：的重心，的重心，、分別是分