《數學建模》第3講

1、羅守成第第三三講講 建立數學模型建立數學模型3.1 安全渡河數學模型安全渡河數學模型3.2 商店經營狀況數學模型商店經營狀況數學模型3.3 正則鏈數學模型正則鏈數學模型3.4 微量元素數學模型微量元素數學模型3.5 基因遺傳和近親繁殖基因遺傳和近親繁殖33.1 安全渡河數學模型安全渡河數學模型問題：商人們怎樣安全過河問題：商人們怎樣安全過河( (智力游戲智力游戲) )隨從們密約隨從們密約, , 在河的任一岸在河的任一岸, , 一旦隨從的人數比商人多一旦隨從的人數比商人多, , 就殺人越貨就殺人越貨. .但是乘船渡河的方案由商人決定但是乘船渡河的方案由商人決定. . 3名商人名商人 3名隨從名隨

2、從河河小船小船(至多至多2人人)商人們怎樣才能安全過河商人們怎樣才能安全過河? ?4決策決策 每一步每一步( (此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸) )船上的人員船上的人員要求要求在安全的前提下在安全的前提下( (兩岸的隨從數不比商人多兩岸的隨從數不比商人多),),經有經有限步使全體人員過河限步使全體人員過河. .模型構成模型構成xk第第k次渡河前此岸的商人數次渡河前此岸的商人數yk第第k次渡河前此岸的隨從數次渡河前此岸的隨從數xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)過程的狀態(tài)過程的狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0

3、,1,2,3; x=y=1,2S 允許狀態(tài)集合允許狀態(tài)集合uk第第k次渡船上的商人數次渡船上的商人數vk第第k次渡船上的隨從數次渡船上的隨從數uk, vk=0,1,2; k=1,2, 5dk=(uk , vk)決策決策sk+1=sk dk +(-1)k狀態(tài)轉移律狀態(tài)轉移律求求dk D(k=1,2, n), 使使sk S, 并按轉并按轉移律由移律由 s1=(3,3)到達到達 sn+1=(0,0).多步決策問題多步決策問題D=(u , v) u+v=1, 2 允許允許決策決策集合集合6模型求解模型求解 窮舉法窮舉法 編程上機編程上機 圖解法圖解法狀態(tài)狀態(tài)s=(x,y) 16個格點個格點 10個個

4、點點允許決策允許決策 移動移動1或或2格格; k奇奇,左下移左下移; k偶偶,右上移右上移.d1, ，d11給出安全渡河方案給出安全渡河方案評注和思考評注和思考規(guī)格化方法規(guī)格化方法, ,易于推廣易于推廣考慮考慮4名商人各帶一隨從的情況名商人各帶一隨從的情況xy3322110s1sn+1d1d11允許狀態(tài)允許狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,273.2 商店經營狀態(tài)數學模型商店經營狀態(tài)數學模型馬氏鏈模型：馬氏鏈模型： 系統(tǒng)在每個時期所處的狀態(tài)是隨機的系統(tǒng)在每個時期所處的狀態(tài)是隨機的 從一時期到下時期的狀態(tài)按一定概率轉移從一時期到下

5、時期的狀態(tài)按一定概率轉移 下時期狀態(tài)只取決于本時期狀態(tài)和轉移概率下時期狀態(tài)只取決于本時期狀態(tài)和轉移概率 已知現在，將來與過去無關（無后效性）已知現在，將來與過去無關（無后效性）描述一類重要的描述一類重要的隨機動態(tài)隨機動態(tài)系統(tǒng)（過程）的模型系統(tǒng)（過程）的模型馬氏鏈馬氏鏈 (Markov Chain)時間、狀態(tài)均為離散的隨機轉移過程時間、狀態(tài)均為離散的隨機轉移過程8問題：商店的經營情況會怎樣變化問題：商店的經營情況會怎樣變化狀態(tài)：狀態(tài)：0.6概率轉移矩陣概率轉移矩陣狀態(tài)轉移圖狀態(tài)轉移圖狀態(tài)概率向量：狀態(tài)概率向量：轉移概率：轉移概率：=月銷路不好表示第月銷路好表示第ttSt,

6、2, 11)()(, 1 , 0, 2 , 1),()()(),()(2121=+=tatatiiSPtatatatatiLL, 1 , 0, 2 , 1,),(1=+tjiiSjSPpttij=6 . 04 . 05 . 05 . 0)(ijpP9狀態(tài)轉移具有狀態(tài)轉移具有無后效性無后效性 2221212)()() 1(ptaptata+=+St+1只取決于只取決于St和和pij, 與與St-1, 無關無關已知現在，將來與過去無關（無后效性）已知現在，將來與過去無關（無后效性）2121111)()() 1(ptaptata+=+1222112112121)0()()(),()1(),1() 1

7、(+=+=+tPaPtapppptatatatata10t0123a1(t)10.50.450.4454/9a2(t)00.50.550.5555/9初始時刻商店銷路好的穩(wěn)定狀態(tài)t0123a1(t)00.40.440.4444/9a2(t)10.60.560.5565/9初始時刻商店銷路不好的穩(wěn)定狀態(tài)t時狀態(tài)概率趨于穩(wěn)定值，穩(wěn)定值與初始狀態(tài)無關時狀態(tài)概率趨于穩(wěn)定值，穩(wěn)定值與初始狀態(tài)無關結論：結論：113.3 正則鏈數學模型正則鏈數學模型 正則鏈正則鏈 :從任一狀態(tài)從任一狀態(tài) i 出發(fā)經有限次（出發(fā)經有限次（k次）轉次）轉移能到達另外任一狀態(tài)移能到達另外任一狀態(tài) j 。wwPw=滿足)()(,t

8、wtaw正則鏈=6 . 04 . 05 . 05 . 0P)9/5 , 9/4(=w2211216 . 05 . 04 . 05 . 0wwwwww=+=+121=+ www 穩(wěn)態(tài)概率穩(wěn)態(tài)概率如0,kPk正則鏈11=kiiww滿足123.4 微量元素磷轉移微量元素磷轉移 吸收鏈吸收鏈 : 存在吸收狀態(tài)（一旦到達就不會離開的狀存在吸收狀態(tài)（一旦到達就不會離開的狀態(tài)態(tài)i, pii=1）,且且從任一非吸收狀態(tài)出發(fā)經有限次轉從任一非吸收狀態(tài)出發(fā)經有限次轉移能以正概率到達吸收狀態(tài)移能以正概率到達吸收狀態(tài)磷的轉移：磷的轉移：磷在土壤中記為狀態(tài)磷在土壤中記為狀態(tài)1：St=1磷在草、牛、養(yǎng)等生物中記為狀態(tài)磷在

9、草、牛、養(yǎng)等生物中記為狀態(tài)2 ：St=2磷在上述系統(tǒng)之外記為狀態(tài)磷在上述系統(tǒng)之外記為狀態(tài)3 ：St=3轉移概率轉移概率pij表示為狀態(tài)表示為狀態(tài) i 中的磷轉移到狀態(tài)中的磷轉移到狀態(tài) j 中的比例中的比例13問題：最后土壤里還有磷元素嗎？問題：最后土壤里還有磷元素嗎？1230.40. 0.4模型假設：模型假設：轉移概率矩陣：轉移概率矩陣：=1004 . 02 . 04 . 02 . 03 . 05 . 0P狀態(tài)概率向量：狀態(tài)概率向量：1)()()(, 1 , 0)(),(),()(321321=+=tatatattatatataL狀態(tài)狀態(tài)S=(1, 2, 3)14狀態(tài)狀態(tài)

10、與與狀態(tài)轉移狀態(tài)轉移t012310a1(t)10.50.370.270.0270a2(t)050.0150a3(t)00.20.420.580.9581tPata=)0()( 不論初始狀態(tài)如何，最終都要轉到狀態(tài)不論初始狀態(tài)如何，最終都要轉到狀態(tài)3 ； 一旦一旦a1(t)= a2(t)=0, a3(t)=1, 則對于則對于nt: a1(n)=0， a2(n)=0, a3(n)=1, 即：即： 從狀態(tài)從狀態(tài)3不會轉移到其它狀態(tài)。不會轉移到其它狀態(tài)。結論：結論：15有有r個吸收狀態(tài)的吸收鏈的個吸收狀態(tài)的吸收鏈的轉移概率陣標準形式轉移概率陣標準形式R有非零元素有非零元素性質：性質：

11、ijsstbBjiNRBiNjiQINQQIQIQt的元素的概率是吸收出發(fā)，被吸收狀態(tài)從非吸收狀態(tài)，記行的和的第數為吸收之前的平均轉移次出發(fā)，被吸收狀態(tài)從非吸收狀態(tài)記可逆，時，=-=-=-)4(,)()3()()()2(0)1 (101=QRIPrr016實例：實例：P57=2 . 04 . 04 . 03 . 05 . 02 . 0001213213P=2 . 04 . 03 . 05 . 0Q=QRIPrr0 1=I=4 . 02 . 0R計算：計算：-=-8 . 04 . 03 . 05 . 0QI=-=-=-2850284028302880118 . 04 . 03 . 05 . 0)

12、(QIN結論：結論：從狀態(tài)從狀態(tài)1出發(fā)，到吸收狀態(tài)出發(fā)，到吸收狀態(tài)3，平均轉移次數：，平均轉移次數：3.93次次從狀態(tài)從狀態(tài)2出發(fā)，到吸收狀態(tài)出發(fā)，到吸收狀態(tài)3，平均轉移次數：，平均轉移次數：3.21次次從狀態(tài)從狀態(tài)1或狀態(tài)或狀態(tài)2出發(fā)，被狀態(tài)出發(fā)，被狀態(tài)3吸收的概率均為吸收的概率均為100%=114 . 02 . 02850284028302880NRB=21. 393. 3112890281102850284028302880NEM17背景背景 生物的外部表征由內部相應的基因決定。生物的外部表征由內部相應的基因決定。 基因分優(yōu)勢基因基因分優(yōu)勢基因d 和劣勢基因和劣勢基因r 兩種。兩種。 每

13、種外部表征由兩個基因決定，每個基因可以是每種外部表征由兩個基因決定，每個基因可以是d, r 中的任一個。形成中的任一個。形成3種基因類型：種基因類型： 基因類型為優(yōu)種和混種基因類型為優(yōu)種和混種, 外部表征呈優(yōu)勢；基因外部表征呈優(yōu)勢；基因類型為劣種類型為劣種, 外部表征呈劣勢。外部表征呈劣勢。生物繁殖時后代隨機地（等概率地）繼承父、母的生物繁殖時后代隨機地（等概率地）繼承父、母的各一個基因，形成它的兩個基因。父母的基因類型各一個基因，形成它的兩個基因。父母的基因類型決定后代基因類型的概率決定后代基因類型的概率完全完全優(yōu)勢優(yōu)勢基因基因遺傳遺傳3.5基因遺傳和近親繁殖基因遺傳和近親繁殖dd dd 優(yōu)

14、種優(yōu)種DD, , dr dr 混種混種HH, , rr rr 劣種劣種R R。18父母基因類型決定后代各種基因類型的概率父母基因類型決定后代各種基因類型的概率父母基因類型組合父母基因類型組合后代各種后代各種基因類型基因類型 的概率的概率DDRRDHDRHHHRDRH1000011 / 21 / 200101 / 41 / 21 / 401 / 21 / 23種基因類型：種基因類型：dd優(yōu)種優(yōu)種D, dr混種混種H, rr劣種劣種R完全優(yōu)勢基因遺傳完全優(yōu)勢基因遺傳P(D DH)=P(dd dd,dr)=P(d dd)P(d dr)P(R HH)=P(rr dr,dr)=P(r dr)P(r dr

15、)=1 1/2=1/2=1/2 1/2=1/419隨機繁殖隨機繁殖 設群體中雄性、雌性的比例相等，基因設群體中雄性、雌性的比例相等，基因類型的分布相同（記作類型的分布相同（記作D:H:R） 每一雄性個體以每一雄性個體以D:H:R的概率與一雌性個體交配，的概率與一雌性個體交配，其后代隨機地繼承它們的各一個基因其后代隨機地繼承它們的各一個基因 設初始一代基因類型比例設初始一代基因類型比例D:H:R =a:2b:c （a+2b+c=1), 記記p=a+b, q=b+c, 則群體中優(yōu)勢基因則群體中優(yōu)勢基因和劣勢基因比例和劣勢基因比例 d:r=p:q (p+q=1)。假設假設建模建模狀態(tài)狀態(tài)Xn=1,2

16、,3 第第n代的一個體屬于代的一個體屬于D, H, R狀態(tài)概率狀態(tài)概率 ai(n) 第第n代的一個體屬于狀態(tài)代的一個體屬于狀態(tài)i(=1,2,3)的概率。的概率。討論基因類型的演變情況討論基因類型的演變情況20)()(1父基因類型后代基因類型iXjXPpnnij=+pddXddXPpnn=+)1)( 1(111）（父為后代為基因比例基因比例 d:r=p:qqddXdrXPpnn=+)1)(2(112）（父為后代為0)1)(3(113=+）（父為后代為ddXrrXPpnn2/2/ 1)2)( 1(121ppdrXddXPpnn=+）（父為后代為2/12/12/1)2)(2(122=+=+qpdrX

17、drXPpnn）（父為后代為=qpqpqpP02/2/ 12/0轉移概率矩陣轉移概率矩陣狀態(tài)轉移概率狀態(tài)轉移概率隨機繁殖隨機繁殖21LL),2 ,()1 ()2(),2 ,()0()1 (2222qpqpPaaqpqpPaa=12,=+=+=cbacbqbap馬氏鏈模型馬氏鏈模型L, 1 , 0,)() 1(=+nPnana),2 ,()0(cbaa=qpqpqpP02/2/ 12/0),2 ,()0(22qpqpwPwa=任意，穩(wěn)態(tài)分布自然界中通常自然界中通常p=q=1/2穩(wěn)態(tài)分布穩(wěn)態(tài)分布D:H:R=1/4:1/2:1/4基因類型為基因類型為D和和H, 優(yōu)勢表征優(yōu)勢表征綠色，綠色，基因類型為

18、基因類型為R, 劣勢表征劣勢表征黃色。黃色。解釋解釋“豆科植物的莖，綠色豆科植物的莖，綠色:黃色黃色=3:1”(D+H):R=3:1隨機繁殖隨機繁殖22近親近親繁殖繁殖在一對父母的大量后代中在一對父母的大量后代中, 雄雌隨機配對繁殖，雄雌隨機配對繁殖，討論一系列后代的基因類型的演變過程。討論一系列后代的基因類型的演變過程。狀態(tài)定義為配對的基因類型組合狀態(tài)定義為配對的基因類型組合Xn=1,2,3,4,5,6配對基因組合為配對基因組合為DD,RR,DH,DR,HH,HR狀態(tài)轉移概率狀態(tài)轉移概率=2/ 14/ 1004/ 104/ 14/ 18/ 14/ 116/ 116/ 101000004/ 102/ 104/ 1000010000001HRHHDRDHRRDDPHRHHDRDHRRDD馬氏鏈模型馬氏鏈模型1) (111=+DDXDDXPpnn4/12/12/1) (131=+DHXDDXPpnn23=653232654564NEM=2/ 14/ 1004/ 104/ 14/ 18/ 14/ 116/ 116/ 101000004/ 102/ 104/ 100