數(shù)值分析實驗(4)

1、-作者xxxx-日期xxxx數(shù)值分析實驗(4)【精品文檔】實驗四 數(shù)值積分與數(shù)值微分 專業(yè)班級：信計131班 姓名：段雨博 學(xué)號：2013014907一、實驗?zāi)康?、熟悉matlab編程。2、學(xué)習(xí)數(shù)值積分程序設(shè)計算法。3、通過上機(jī)進(jìn)一步領(lǐng)悟用復(fù)合梯形、復(fù)合辛普森公式，以及用龍貝格求積方法計算積分的原理。二、實驗題目P1371、用不同數(shù)值方法計算積分。（1）取不同的步長.分別用復(fù)合梯形及復(fù)合辛普森求積計算積分，給出誤差中關(guān)于的函數(shù)，并與積分精確值比較兩個公式的精度，是否存在一個最小的，使得精度不能再被改善？（2）用龍貝格求積計算完成問題（1）。 三、實驗原理與理論基礎(chǔ)1.1復(fù)合梯形公式及其復(fù)合辛

2、普森求解誤差關(guān)于h的函數(shù)：復(fù)合辛普森公式：誤差關(guān)于h的函數(shù)：1.2龍貝格求積算法：龍貝格求積公式是梯形法的遞推化，也稱為逐次分半加速法，它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之間的關(guān)系的基礎(chǔ)上，構(gòu)造出一種計算積分的方法，同時它有在不斷增加計算量的前提下提高誤差的精度的特點。計算過程如下：（1）取，求： （2）求梯形值即按遞推公式計算.（3）求加速值，按公式逐個求出T表的地k行其余各元素（4）若（預(yù)先給定的精度），則終止計算，并取轉(zhuǎn)（2）繼續(xù)計算。 T表0b-a1234上表指出了計算過程，第二列給出了子區(qū)間長度，i表示第i步外推?？梢宰C明，如果充分光滑，那么T表每一列的元素及對角線元素均收斂到所

3、求的積分。四、實驗內(nèi)容程序設(shè)計如下：1、復(fù)合梯形法M文件：function t=natrapz(fname,a,b,n)h=(b-a)/n;fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h);t=h*(0.5*(fa+fb)+sum(f);2、復(fù)合辛普森法M文件：function t=natrapz(fname,a,b,n)h=(b-a)/n;fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f1=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h);f2=feval(fname

4、,a+h/2:h:b-h+0.001*h);t=h/6*(fa+fb+2*sum(f1)+4*sum(f2);3、龍貝格算法M文件：function I,step=Roberg(f,a,b,eps)if(nargin=3) eps=1.0e-4;end;M=1;tol=10;k=0;T=zeros(1,1);h=b-a;T(1,1)=(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f),b);while toleps k=k+1; h=h/2; Q=0; for i=1:M x=a+h*(2*i-1); Q=Q+subs

5、(sym(f),findsym(sym(f),x); end T(k+1,1)=T(k,1)/2+h*Q; M=2*M; for j=1:k T(k+1,j+1)=T(k+1,j)+(T(k+1,j)-T(k,j)/(4j-1); end tol=abs(T(k+1,j+1)-T(k,j);endI=T(k+1,k+1);step=k;1、復(fù)合梯形法運行： format long;natrapz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,10),format short;ans = -0.417062831779470 format long;natrapz(inline(sq

6、rt(x).*log(x),eps,1,100),format short;ans = -0.443117908008157 format long;natrapz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,1000),format short;ans = -0.4443875389971622、復(fù)合辛普森法運行： format long;natrapzz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,10),format short;ans = -0.435297890074689 format long;natrapzz(inline(sqrt(x).*log(

7、x),eps,1,100),format short;ans = -0.444161178415673 format long;natrapzz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,1000),format short;ans = -0.4444341176141803、龍貝格算法運行： q,s=Roberg(sqrt(x)*log(x),0.0000001,1)q = -0.4444s = 9五、實驗結(jié)果1、復(fù)合梯形法結(jié)果： format long;natrapz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,10),format short;ans = -

8、0.417062831779470 format long;natrapz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,100),format short;ans = -0.443117908008157 format long;natrapz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,1000),format short;ans = -0.4443875389971622、復(fù)合辛普森法結(jié)果： format long;natrapzz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,10),format short;ans = -0.4352978900

9、74689 format long;natrapzz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,100),format short;ans = -0.444161178415673 format long;natrapzz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,1000),format short;ans = -0.4444341176141803、龍貝格算法結(jié)果： q,s=Roberg(sqrt(x)*log(x),0.0000001,1)q = -0.4444s = 9實驗結(jié)論：對比以上的計算結(jié)果可得：復(fù)合辛普森法求積分精度明顯比復(fù)合梯形法求積的精度要高

10、，且當(dāng)步長取不同值時，即越大，越小時，積分精度越高。實驗結(jié)果說明不存在一個最小的，使得精度不能再被改變。由兩個相應(yīng)的關(guān)于的誤差余項，其中，可知愈小，余項愈小，積分精度越高。六、實驗結(jié)果分析與小結(jié)1、通過這次實習(xí)，加深了對復(fù)合梯形法、復(fù)合辛普森法和龍貝格法的理解，之前學(xué)習(xí)這三個算法時覺得特別麻煩，公式那么長，而且不是很理解。這次實習(xí)對三種算法的編程，對三種算法進(jìn)行詳細(xì)地分析，現(xiàn)在理解了算法的過程。在編寫函數(shù)程序的過程中也在不斷地提高和改進(jìn)，有些雖然不是很熟，也不太清楚到底怎么做，但是查閱了之后就懂了。2、在編寫程序，進(jìn)行算法設(shè)計還是會出現(xiàn)很大問題，有程序運行不出來修改也是很麻煩，而且由于之前對算法的