工科數(shù)學(xué)分析教學(xué)資料139條件極值

1、13.9 13.9 條件極值條件極值2條件極值條件極值：對自變量有附加條件的極值：對自變量有附加條件的極值的最大值的最大值問題實質(zhì)：求問題實質(zhì)：求zyx2312, zyxzyx滿足滿足同時同時拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法找函數(shù)找函數(shù)),(yxfz 在條件在條件0),( yx 下的可能極值點，下的可能極值點，先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù)),(),(),(yxyxfyxl 其中其中 為某一常數(shù)，可由為某一常數(shù)，可由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxlyxyxflyxyxflyyyxxx 4解解 12 0 020323322zyxyxfyzxfzyxfzyx 則則 )4( ,12)3(

2、,)2( ,2)1( ,323322zyxyxyzxzyx 由由 (1)，(2) 得得(5) ,32xy 由由 (1)，(3) 得得(6) ,31xz 5.691224623max u將將 (5)，(6) 代入代入 (4)： 123132 xxx于是，得于是，得, 6 x, 4 y. 2 z這是唯一可能的極值點。這是唯一可能的極值點。因為由問題本身可知，最大值一定存在，因為由問題本身可知，最大值一定存在， 所以，所以，最大值就在這個可能的極值點處取得。最大值就在這個可能的極值點處取得。故，最大值故，最大值在條件組在條件組)( , 2 , 1 , 0),(21nmmkxxxnk 的限的限求目標(biāo)函

3、數(shù)求目標(biāo)函數(shù). ),(21的極值的極值nxxxfy ,制下制下其其拉拉格格朗朗日日函函數(shù)數(shù)是是：),(2121mnxxxl mknkknxxxxxxf11121),( ),( . , 21為拉格朗日常數(shù)為拉格朗日常數(shù)其中其中m )1(一般形式：一般形式： ,), 2 , 1( 內(nèi)有內(nèi)有均在均在如上如上和和設(shè)設(shè)dmkfk ,一階偏導(dǎo)數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)是是若若 ),( )0()0(2)0(10dxxxpn ,上述問題的極值點上述問題的極值點 且雅可比矩陣且雅可比矩陣01111pnmmnxxxx ,m的秩為的秩為使得使得個常數(shù)個常數(shù)則存在則存在 ,)0()0(2)0(1mm ),()0()0(1)0()0

4、(1mnxx 連續(xù)的連續(xù)的的的為拉格朗日函數(shù)為拉格朗日函數(shù))1(.穩(wěn)定點穩(wěn)定點1定定理理9.9.: ),( )0()0(1)0()0(1為下述方程的解為下述方程的解即即mnxx 0),(0),(00111111111nmnmknkknxmkkkxxxlxxlxxflxxflmn :驟驟條件極值問題的一般步條件極值問題的一般步用拉格朗日乘數(shù)法求解用拉格朗日乘數(shù)法求解; 1.和條件組和條件組根據(jù)問題確立目標(biāo)函數(shù)根據(jù)問題確立目標(biāo)函數(shù) 2.作拉格朗日函數(shù)作拉格朗日函數(shù)),(2121mnxxxl mkkkf1 ,. 3有穩(wěn)定點有穩(wěn)定點求出拉格朗日函數(shù)的所求出拉格朗日函數(shù)的所這些穩(wěn)定點這些穩(wěn)定點;就就是是

5、可可能能的的條條件件極極值值點點. , 4.據(jù)理說明確實是據(jù)理說明確實是值點值點對每一個可能的條件極對每一個可能的條件極?據(jù)什么理據(jù)什么理, 2 , 1 , 0),( 1.21mkxxxnk 如條件組如條件組 ,滿足隱函數(shù)定理的條件滿足隱函數(shù)定理的條件個變量個變量則在則在nnxxx,21中唯一確定了其中中唯一確定了其中.個變量的一組隱函數(shù)個變量的一組隱函數(shù)個變量為其余個變量為其余mnm 得得到到一一個個有有個個函函數(shù)數(shù)代代入入目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)將將這這 ,fm.個獨立變量函數(shù)個獨立變量函數(shù)mn ,算出此函數(shù)的黑賽矩陣算出此函數(shù)的黑賽矩陣 ,應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)法則應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)法則由此判斷極值點的由此

6、判斷極值點的.類型類型,),( 2.)0()0(1)0()0(1的穩(wěn)定點的穩(wěn)定點是是若若lxxmn 020)( pkjxxlphl : 則則; ,)( 1.00取條件極小值取條件極小值在在那么那么正定正定如如pfphl. ,)( 2.00取條件極大值取條件極大值在在那么那么負(fù)定負(fù)定如如pfphl. :元元函函數(shù)數(shù)的的泰泰勒勒公公式式利利用用證證明明n,),( )0()0(2)0(10dxxxpn 記記. 3.判斷判斷根據(jù)問題本身的特點來根據(jù)問題本身的特點來而其拉格朗日函數(shù)而其拉格朗日函數(shù)值值如果某實際問題確有極如果某實際問題確有極 ,僅有一個穩(wěn)定點僅有一個穩(wěn)定點或逼近或逼近且在定義域的邊界上且

7、在定義域的邊界上(,)不取極值不取極值邊界時邊界時的的則這個穩(wěn)定點就是所求則這個穩(wěn)定點就是所求.條件極值點條件極值點. 3. . , 2. 1.較為常用較為常用一般不用一般不用計算量大計算量大 :1例例rzyxxyzzyxf1111),( 在條件在條件求求)0,( rzyx.下的極小值下的極小值:解解設(shè)拉格朗日函數(shù)為設(shè)拉格朗日函數(shù)為).1111(),(rzyxxyzzyxl 0000 llllzyx由由,3:rzyxl 穩(wěn)定點為穩(wěn)定點為知知4)3( r ? )3()3 ,3 ,3( 3是否為條件極值是否為條件極值判斷判斷rrrrf ),(1111yxzzrzyx 看成隱函數(shù)看成隱函數(shù)把條件把條

8、件則目標(biāo)函數(shù)則目標(biāo)函數(shù)).,(),(),(yxfyxzxyzyxf , yyxyxxyxyxfffffzz計算出計算出,)3 ,3(正定正定rrhf ,)3 ,3 ,3(為極小值點為極小值點故穩(wěn)定點故穩(wěn)定點rrr.進(jìn)而最小值點進(jìn)而最小值點,)3( 3rxyz 所以所以)1111rzyx 且且0,( rzyx, czbyax 令令1)111( cbar則則 )3( 3得得代入代入rxyz 31)111(3 cbaabc. )111(3 31abccba 或或解解設(shè)設(shè)),(000zyxp為為橢橢球球面面上上一一點點,令令1),(222222 czbyaxzyxf, 過過),(000zyxp的切平面

9、方程為的切平面方程為 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化簡為化簡為 1202020 czzbyyaxx,該切平面在三個軸上的截距各為該切平面在三個軸上的截距各為 02xax ，02yby ，02zcz ,所所圍圍四四面面體體的的體體積積 000222661zyxcbaxyzv ,在條件在條件1220220220 czbyax下求下求 v 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxg 000lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax ,由由,010, 0, 0220220220000 cybyaxgggzyx可得可得30

10、ax 30by ，30cz 此為唯一的駐點此為唯一的駐點四面體的體積最小四面體的體積最小abcv23min .根據(jù)實際情況四面體體積有最小值根據(jù)實際情況四面體體積有最小值22xyz1xyz 例：拋物面例：拋物面被平面被平面截成一個橢圓，求這個橢圓到原點的最長與最短距離截成一個橢圓，求這個橢圓到原點的最長與最短距離解：原問題轉(zhuǎn)化為解：原問題轉(zhuǎn)化為： 22222, ,1f x y zxyzxyzxyz 2222222, , , ,1220220131351120,23, 33, 732233010 xyzl x y zxyzxyzxyzlxxlyylylxyzlxyz 由于函數(shù)由于函數(shù)222222

11、22222, ,1, ,1313239 5 322xyzf x y zxyzdxy zf x y zxyz ，在有界集上0,0,1,2,3,.iixin 1212.111212.nnnnnnxxx xx 例設(shè)例設(shè)證明：證明：1212.1 11212.nnn nnnxxx xx 11121121111212.ln.ln.lnln.nnniininninniinnxxxxxx 證明：分析證明：分析等價于等價于 niiinnxxxxxfn111ln),ln(),(1 證：證：，下的極值，下的極值在條件在條件 niiicx1 iiiiiiixxxf , 0cxxiniiniii 11相加得相加得兩端乘

12、兩端乘駐點駐點所以所以,111 niiiniicxc ,22ijiijixxxf niczhf 1220)(以為最大值以為最大值取極大值，且唯一，所取極大值，且唯一，所 iiiicx logln.1，得不等式，得不等式由條件由條件 niiicx 1111111111 xxxxnn.等號成立顯然等號成立顯然2222221xyzabc 0ax by cz2222 2 2222 22 2abc a b csa ab bc c例證明橢球面例證明橢球面與平面與平面相交的所截的橢圓面積為相交的所截的橢圓面積為2222221xyzabc0ax by cz12,dd12d d證明：設(shè)橢球面證明：設(shè)橢球面與平面與平面相交的所截的橢圓的長短軸為相交的所截的橢圓的長短軸為則則s=引入下面的極值問題：引入下面的極值問題： 222222222, , , ,1xyzl x y zxyzaxby czabc 22222222222222222222222202202201001111111xxxxlxaaylybbzlzccxyzlabclaxbyczxyzdabcbcacab 222222222222abca b csa ab bc c 222x206.cxoy35.yzxyz 例例求求 曲曲 線線：上上 距距 離離面面最最 遠(yuǎn)遠(yuǎn) 和和 最最 近近 的的 點點因此所求最值因此所求最值為