2021年人教版高中數學選擇性必修第三冊4.1《數列的概念》（1）導學案 (含答案)

1、4.1數列的概念（1） 導學案 1.理解數列的有關概念與數列的表示方法.2.掌握數列的分類.3.理解數列的函數特征,掌握判斷數列增減性的方法.4.掌握數列通項公式的概念及其應用,能夠根據數列的前幾項寫出數列的一個通項公式.重點：數列的有關概念與數列的表示方法 難點：數列的函數特征一、數列1.定義:一般地,我們把按照確定的順序排列的一列數稱為數列.2.項:數列中的每一個數叫做這個數列的項.數列的第一個位置上的數叫做這個數列的第1項,常用符號a1表示;第二個位置上的數叫做這個數列的第2項,用a2表示第n個位置上的數叫做這個數列的第n項,用an表示.其中第1項也叫做首項.3.表示:數列的一般形式是a

2、1,a2,an,簡記為an.點睛：(1)數列是按一定的“順序”排列的一列數,有序性是數列的基本屬性.數相同而順序不同的兩個數列是不相同的數列,例如1,2,3,與3,2,1就是不同的數列.(2)符號an和an是不同的概念,an表示一個數列,而an表示數列中的第n項.二、數列的分類 類別含義按項的個數有窮數列項數有限的數列無窮數列項數無限的數列按項的變化趨勢遞增數列從第2項起,每一項都大于它的前一項的數列遞減數列從第2項起,每一項都小于它的前一項的數列常數列各項相等的數列擺動數列從第2項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項的數列三、數列與函數 數列an是從正整數集N*(或它的有限子集1,

3、2，n)到實數集R的函數，其自變量是序號n，對應的函數值是數列的第n項an，記為anf(n)另一方面，對于函數yf(x)，如果f(n)(nN*)有意義，那么 構成了一個數列f(n)f(1)，f(2)，f(n)， 四、數列的通項公式 如果數列an的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做這個數列的通項公式.點睛：(1)數列的通項公式實際上是一個以正整數集N*(或它的有限子集)1,2,n為定義域的函數表達式.(2)并不是所有的數列都有通項公式.(3)同一數列的通項公式,其表達形式可以是不唯一的,例如數列-1,1,-1,1,-1,1,的通項公式可以寫成an=(-1)

4、n,an=(-1)n+2,an=cos n等.1. 下列敘述正確的是()A.所有數列可分為遞增數列和遞減數列兩類B.數列中的數由它的位置序號唯一確定C.數列1,3,5,7可表示為1,3,5,7D.同一個數在數列中不可能重復出現2.若數列an的通項公式是an=n2-1,則該數列的第10項a10=,224是該數列的第項.一、情景導學古語云:“勤學如春起之苗,不見其增,日有所長”如果對“春起之苗”每日用精密儀器度量,則每日的高度值按日期排在一起,可組成一個數列. 那么什么叫數列呢?二、問題探究1. 王芳從一歲到17歲，每年生日那天測量身高，將這些身高數據（單位：厘米）依次排成一列數：75,87,96

5、,103,110,116,120,128,138，145,153,158,160,162,163,165,168 記王芳第i歲的身高為 i，那么1=75, 2=87,，17=168.我們發(fā)現i中的i反映了身高按歲數從1到17的順序排列時的確定位置，即1=75是排在第1位的數，2=87是排在第2位的數，17 =168是排在第17位的數，它們之間不能交換位置，所以具有確定順序的一列數。2. 在兩河流域發(fā)掘的一塊泥板（編號K90，約生產于公元前7世紀）上，有一列依次表示一個月中從第1天到第15天，每天月亮可見部分的數：5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,

6、208,224,240. 記第i天月亮可見部分的數為 si, 那么s1=5, s2=10,，s15=240.這里，si中的i反映了月亮可見部分的數按日期從115順序排列時的確定位置，即s1=5是排在第1位的數，s2=10是排在第2位的數 s15=240是排在第15位的數，它們之間不能交換位置，所以，也是具有確定順序的一列數。3. -12的n次冪按1次冪， 2次冪, 3次冪, 4次冪依次排成一列數：- 12， 14，- 18， 116 思考：你能仿照上面的敘述，說明也是具有確定順序的一列數嗎？三、典例解析例1. 根據下列數列an的通項公式，寫出數列的前5項,并畫出它們的圖像.（1） an=n2+

7、n2; （2） an=cos(n1)2例2. 根據數列的前4項,寫出下列數列的一個通項公式:(1)12,2,92,8,252,; (2)1,-3,5,-7,9,;(3)9,99,999,9 999,; (4)22-11,32-23,42-35,52-47,;(5)-112,123,-134,145,;(6)4,0,4,0,4,0,.根據數列的前幾項寫通項公式的具體思路為:(1)先統一項的結構,如都化成分數、根式等.(2)分析這一結構中變化的部分與不變的部分,探索變化部分的規(guī)律與對應序號間的關系.(3)對于符號交替出現的情況,可先觀察其絕對值,再用(-1)k處理符號.(4)對于周期出現的數列,考

8、慮利用周期函數的知識解答.2.常見數列的通項公式(1)數列-1,1,-1,1,的一個通項公式是an=(-1)n,數列1,-1,1,-1,的一個通項公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.(2)數列1,2,3,4,的一個通項公式是an=n.(3)數列1,3,5,7,的一個通項公式是an=2n-1.(4)數列2,4,6,8,的一個通項公式是an=2n.(5)數列1,2,4,8,的一個通項公式是an=2n-1.(6)數列1,4,9,16,的一個通項公式是an=n2.(7)數列1,3,6,10,的一個通項公式是an=n(n+1)2.(8)數列1,12,13,14,的一個通項公式是an=1n.跟蹤訓

9、練1.寫出下列數列的一個通項公式,使它的前4項分別是下列各數:(1)1,13,15,17; (2)212,414,618,8116;(3)3,5,9,17; (4)23,415,635,863;(5)7,77,777,7 777.例3 (1)已知數列an滿足an=n2-5n-6,nN*.數列中有哪些項是負數?當n為何值時,an取得最小值?求出此最小值.(2)已知數列an的通項公式an=(n+1)1011n(nN*),試問數列an有沒有最大項?若有,求出最大項和最大項的項數;若沒有,請說明理由.求數列的最大(小)項的兩種方法(1)由于數列是特殊的函數,所以可以用研究函數的思想方法來研究數列的相關

10、性質,如單調性、最大值、最小值等,此時要注意數列的定義域為正整數集或其有限子集1,2,n這一條件.(2)可以利用不等式組an-1an,anan+1(n1)找到數列的最大項;利用不等式組an-1an,anan+1(n1)找到數列的最小項.變式探究：在本例(2)中,若已知數列的通項公式an=1n+398n,nN*,試求該數列an的最小項.1.下列各項表示數列的是()A.,B.2 008,2 009,2 010,2 017C.銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形D.a+b,a-b,ab,a2.下列數列既是遞增數列,又是無窮數列的是()A.1,2,3,20B.-1,-2,-3,-n,C.1,2,3,2,

11、5,6,D.-1,0,1,2,100,3. 觀察圖中5個圖形的相應小圓圈的個數的變化規(guī)律,猜想第n個圖中有小圓圈.4.已知數列an的通項公式為an=log3(2n+1),則a3=.5.已知數列3,7,11,15,則53是該數列的第項.6.在數列an中,已知an=n2+n-13(nN*).(1)寫出a10,an+1.(2)7923是不是該數列中的項?如果是,是第幾項?7.已知數列an的通項公式an=kn2n+3(kR).(1)當k=1時,判斷數列an的單調性;(2)若數列an是遞減數列,求實數k的取值范圍.數列的概念與表示數列的定義數列的表示數列的分類數列的函數特征數列的通項公式參考答案：知識梳

12、理1. 解析:按項的變化趨勢,數列可分為遞增數列、遞減數列、常數列、擺動數列等數列,A錯誤;數列1,3,5,7與由實數1,3,5,7組成的集合1,3,5,7是兩個不同的概念,C錯誤;同一個數在數列中可能重復出現,如2,2,2,表示由實數2構成的常數列,D錯誤;對于給定的數列,數列中的數由它的位置序號唯一確定,B正確.答案:B2.解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是該數列的第15項.答案:9915學習過程一、 典例解析例1.解:（1）當通項公式中的n=1，2，3，4，5時，數列an的前5項依次為1,3,6,10,15如圖所示(1)（2）當通項公式中的

13、n=1，2，3，4，5時，數列 an的前5項依次為 1,0,-1,0,1如圖所示(2)例2. 解:(1)數列的項有的是分數,有的是整數,可先將各項都統一成分數再觀察,12,42,92,162,252,所以,它的一個通項公式為an=n22.(2)數列各項的絕對值分別為1,3,5,7,9,是連續(xù)的正奇數,其通項公式為2n-1;考慮(-1)n+1具有轉換符號的作用,所以數列的一個通項公式為an=(-1)n+1(2n-1).(3)各項加1后,分別變?yōu)?0,100,1 000,10 000,此數列的通項公式為10n,可得原數列的一個通項公式為an=10n-1.(4)數列中每一項均由三部分組成,分母是從1

14、開始的奇數列,其通項公式為2n-1;分子的前一部分是從2開始的自然數的平方,其通項公式為(n+1)2,分子的后一部分是減去一個自然數,其通項公式為n,綜合得原數列的一個通項公式為an=(n+1)2-n2n-1=n2+n+12n-1.(5)這個數列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數,且奇數項為負,偶數項為正,所以它的一個通項公式是an=(-1)n1n(n+1).(6)由于該數列中,奇數項全部都是4,偶數項全部都是0,因此可用分段函數的形式表示通項公式,即an=4,n為奇數,0,n為偶數.又因為數列可改寫為2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,因此其通項公式又可表示為an=2

15、+2(-1)n+1.跟蹤訓練1.解:(1)an=12n-1;(2)an=2n+12n;(3)an=2n+1;(4)an=2n(2n)2-1;(5)an=79(10n-1).例3 分析:(1)根據數列的函數的特征,以及不等式的解法,即可求出;根據二次函數的性質即可求出.(2)數列an的通項計算an+1-an確定單調性求解最大(小)項(1)解:an=n2-5n-60,解得0n6.nN*,數列中第1,2,3,4,5項為負數,即-10,-12,-12,-10,-6.an=n2-5n-6=n-522494,當n=2,3時,an取得最小值,最小值為-12.(2)解法一:an+1-an=(n+2)1011n

16、+1-(n+1)1011n=1011n9-n11,當n0,即an+1an;當n=9時,an+1-an=0,即an+1=an;當n9時,an+1-an0,即an+1an.故a1a2a3a11a12,數列中有最大項,最大項為第9,10項,即a9=a10=1010119.解法二:設ak是數列an的最大項, 則akak-1,akak+1,即(k+1)1011kk1011k-1,(k+1)1011k(k+2)1011k+1,整理,得10k+1011k,11k+1110k+20,得9k10,所以k=9或k=10.又a1=2011a5=a6,即a5與a6都是數列的最小項,且a5=a6=9586.達標檢測1.

17、解析:數列是指按照一定次序排列的一列數,而不能是圖形、文字、向量等,只有B項符合.答案:B2.解析:由遞增數列和無窮數列的定義知D項正確.答案:D3. 分析:仔細觀察每個圖形中圓圈的個數與對應順序之間的關系,從而歸納出第n個圖形中小圓圈的個數.解析:觀察圖中5個圖形小圓圈的個數分別為1,12+1,23+1,34+1,45+1,故第n個圖中小圓圈的個數為(n-1)n+1=n2-n+1.答案:n2-n+14.解析:觀察可得數列的一個通項公式是an=4n-1,而53=75=419-1,所以53是該數列的第19項.答案:19 5.解析:an=log3(2n+1),a3=log3(23+1)=log39=2.答案:26.解:(1)a10=102+10-13=1093;an+1=(n+1)2+(n+1)-13=n2+3n+13.(2)令an=n2+n-13=7923,解得n=15(n=-16舍去),所以7923是該數列中的