保險精算李秀芳1-5章習題答案

1、 第一章 生命表1給出生存函數(shù)，求：(1)人在50歲60歲之間死亡的概率。 (2)50歲的人在60歲以前死亡的概率。 (3)人能活到70歲的概率。(4)50歲的人能活到70歲的概率。2.已知生存函數(shù)S(x)=1000-x3/2 ,0x100，求（1）F（x）(2)f(x)(3)FT(t)(4)fT(f)(5)E(x)3. 已知Pr5T(60)6=0.1895，PrT(60)5=0.92094，求q65。4. 已知PrT(30)40=0.70740，PrT(30)30=0.13214，求10p60PrT(30)40=40P30=S(70)/S（30）=0.7074 S（70）=0.70740S(

2、30)PrT(30)30=S(30)-S(60)/S(30)=0.13214 S(60)=0.86786S(30)10p60= S(70)/S（60）=0.70740/0.86786=0.815115.給出45歲人的取整余命分布如下表：0123456789.0050.0060.0075.0095.0120.0130.0165.0205.0250.0300求：1）45歲的人在5年內死亡的概率；2）48歲的人在3年內死亡的概率；3）50歲的人在52歲至55歲之間死亡的概率。(1)5q45=（0.0050+0.0060+0.0075+0.0095+0.120）=0.046.這題so easy就自己算

3、吧7.設一個人數(shù)為1000的現(xiàn)年36歲的群體，根據(jù)本章中的生命表計算（取整）（1）3年后群體中的預期生存人數(shù)（2）在40歲以前死亡的人數(shù)（3）在45-50之間掛的人(1)l39=l363P36=l36(1-3q36)=1500（1-0.0055）1492（2）4d36=l364q36=1500（0.005+0.00213）11（3）l369|5q36=l369P355q45=1500(1-0.02169)0.02235=15000.021865338. 已知，求。 9. ， 計算概率，=（1-q61）(1-q62)=0.96334 =q62=0.0193710. 設某群體的初始人數(shù)為3 000

4、人，20年內的預期死亡人數(shù)為240人，第21年和第22年的死亡人數(shù)分別為15人和18人。求生存函數(shù)s(x)在20歲、21歲和22歲的值。13.設，求：1）人在70歲至80歲之間死亡的概率；2）30歲的人在70歲至80歲之間死亡的概率；3）30歲的人的取整平均余命。18.19.20.24. 答：當年齡很小時，性別差異導致的死亡率差異基本不存在，因此此時不能用年齡倒退法。27.28.設選擇期為10歲，請用生存人數(shù)表示概率5|3q30+329.第二章 躉繳純保費1. 設生存函數(shù)為 (0x100)，年利率=0.10，計算(保險金額為1元)：(1)躉繳純保費的值。(2)這一保險給付額在簽單時的現(xiàn)值隨機變

5、量Z的方差Var(Z)。2.設利力，求。5. 設, , , 試計算：（1） （2） 6.試證在UDD假設條件下： (1) (2) 8 考慮在被保險人死亡時的那個年時段末給付1個單位的終身壽險，設k是自保單生效起存活的完整年數(shù)，j是死亡那年存活的完整年的時段數(shù)。 (1) 求該保險的躉繳純保費 。(2) 設每一年齡內的死亡服從均勻分布，證明 9. 10.(x)購買了一份2年定期壽險保險單，據(jù)保單規(guī)定，若(x)在保險期限內發(fā)生保險責任范圍內的死亡，則在死亡年末可得保險金1元， ，試求。11.已知，12.設現(xiàn)年40歲的人購買一張保險金額為5000元的30年定期壽險保單，保險金于被保險人死亡時所處保單年

6、度末支付，試用換算函數(shù)計算該保單的躉繳純保費。5000=5000(M40-M70)/D40=388.6613.現(xiàn)年30歲的人，付躉繳純保費5 000元，購買一張20年定期壽險保單，保險金于被保險人死亡時所處保單年度末支付，試求該保單的保險金額。解：例查（2000-2003）男性非養(yǎng)老金業(yè)務生命表中數(shù)據(jù)=283285.0714.現(xiàn)年35歲的人購買了一份終身壽險保單，保單規(guī)定：被保險人在10年內死亡，給付金額為15 000元；10年后死亡，給付金額為20 000元。試求躉繳純保費。躉交純保費為所以躉交純保費為15年齡為40歲的人，以現(xiàn)金10 000元購買一份壽險保單。保單規(guī)定：被保險人在5年內死亡

7、，則在其死亡的年末給付金額30 00元；如在5年后死亡，則在其死亡的年末給付數(shù)額R元。試求R值。17.設年齡為50歲的人購買一張壽險保單，保單規(guī)定：被保險人在70歲之前死亡，給付金額為3000元；如至70歲仍生存，給付金額為1500元。試求該壽險保單的躉交純保費。解：該躉交純保費為：18.設某30歲的人購買一份壽險保單，該保單規(guī)定：若（30）在第一個保單年度內死亡，則在其死亡的保單年度末給付5000元，此后保額每年遞增1000元。求此遞增終身壽險的躉交純保費。該躉交純保費為：=3406.3419.20 某一年齡支付下列保費將獲得一個n年期儲蓄壽險保單： (1)1 000元儲蓄壽險且死亡時返還躉

8、繳純保費，這個保險的躉繳純保費為750元。 (2)1 000元儲蓄壽險，被保險人生存n年時給付保險金額的2倍，死亡時返還躉繳純保費，這個保險的躉繳純保費為800元。 若現(xiàn)有1 700元儲蓄壽險，無保費返還且死亡時無雙倍保障，死亡給付均發(fā)生在死亡年末，求這個保險的躉繳純保費。解：保單1)精算式為保單2)精算式為求解得，即21.設年齡為30歲者購買一死亡年末給付的終身壽險保單，依保單規(guī)定：被保險人在第一個保單年度內死亡，則給付10 000元；在第二個保單年度內死亡，則給付9700元；在第三個保單年度內死亡，則給付9400元；每年遞減300元，直至減到4000元為止，以后即維持此定額。試求其躉繳純保

9、費。=397.02第三章 年金精算現(xiàn)值1. 設隨機變量TT(x)的概率密度函數(shù)為(t0)，利息強度為0.05 。(1)計算精算現(xiàn)值 (2)基金足夠用于實際支付年金的概率2設 , , 。試求：（1）；（2） 。3.設，。試求：1）；2）。5某人現(xiàn)年50歲，以10000元購買于51歲開始給付的終身生存年金，試求其每年所得年金額。7.某人現(xiàn)年23歲，約定于36年內每年年初繳付2 000元給某人壽保險公司，如中途死亡，即行停止，所繳付款額也不退還。而當此人活到60歲時，人壽保險公司便開始給付第一次年金，直至死亡為止。試求此人每次所獲得的年金額。解：8.9.某人現(xiàn)年55歲，在人壽保險公司購有終生生存年金

10、，每月末給付年金額250元，試在UDD假設下和利率6%下，計算其精算現(xiàn)值。解：若查90-93年生命表換算表則10 在UDD假設下，試證： (1) 。 (2) 。 （3）11.12 試求現(xiàn)年30歲每年領取年金額1200元的期末付終身生存年金的精算現(xiàn)值，且給付方法為：(1)按年；(2)按半年；(3)按季；(4)按月。（1）解：（2）（3）（4）15試證 (1) (2) (3) (4) 16.很多年齡為23歲的人共同籌集基金，并約定在每年的年初生存者繳納R元于此項基金，繳付到64歲為止。 到65歲時，生存者將基金均分，使所得金額可購買期初付終身生存年金，每年領取的金額為3 600元。試求數(shù)額R。18

11、.Y是x歲簽單的每期期末支付1的生存年金的給付現(xiàn)值隨機變量，已知 ， ，求Y的方差。解：定義X=1+Y,則X為x期簽單的每期起初支付1元的生存年金的給付現(xiàn)值隨機變量19.某人將期末延期終身生存年金1萬元遺留給其子，約定延期10年，其子現(xiàn)年30歲，求此年金的精算現(xiàn)值。20.某人現(xiàn)年35歲，購買一份即付定期年金，連續(xù)給付的年金分別是10元，8元，4元，2元，4元，6元，8元，10元，試求其精算現(xiàn)值。該題若考慮的是連續(xù)性的年金計算則復雜很多第四章 分期純保費與毛保費 1.設，利息強度為常數(shù)，求 與Var(L)。3.設 0.06844.有兩份壽險保單，一份為(40)購買的保額2 000元、躉繳保費的終

12、身壽險保單，并且其死亡保險金于死亡年末給付；另一份為(40)購買的保額1 500元、年繳保費P的完全離散型終身壽險保單。已知第一份保單的給付現(xiàn)值隨機變量的方差與第二份保單在保單簽發(fā)時的保險人虧損的方差相等，且利率為6%，求P的值。 P=28.35已知 。6.已知 。8.已知L為(x)購買的保額為1元、年保費為的完全離散型兩全保險，在保單簽發(fā)時的保險人虧損隨機變量，計算Var(L)。0.1039.P=11.9110 已知x 歲的人服從如下生存分布： (0x105)，年利率為6。對(50)購買的保額1 000元的完全離散型終身壽險，設L為此保單簽發(fā)時的保險人虧損隨機變量，11. 已知 ，其中為保險

13、人對1單位終身壽險按年收取的營業(yè)保費。求保險人至少應發(fā)行多少份這種保單才能使這些保單的總虧損為正的概率小于等于0.05。這里假設各保單相互獨立，且總虧損近似服從正態(tài)分布，Pr（1.645）=0.95，Z為標準正態(tài)隨機變量。11.12.A,C永遠正確13 已知 。14 .0.01615. 已知。17已知. 0.041319.20.設=( )21.22. 用換算函數(shù)計算（寫出公式）25歲的人購買如下終身壽險的初始年保費。若被保險人在前10年內死亡，則可得到死亡保險金為15000元。若被保險人在10年后死亡，則可得到死亡保險金為30000元。已知保險費按年交納至被保險人60歲時。且前10年每年交納的

14、保費為10年后每年交納的保費的一半，且死亡保險金于死亡年未給付。 10000(M25+M35/N25+N35-2N65)=55.044923已知x歲的人購買保額1000元的完全離散型終身壽險的年保費為50元，L是在保單簽發(fā)時保險人的虧損隨機變量。 (1)計算EL。(2)計算Var(L)。 (3)現(xiàn)考察有100份同類保單的業(yè)務，其面額情況如下：面額(元) 保單數(shù)(份) 1 80 4 20 假設各保單的虧損獨立，用正態(tài)近似計算這個業(yè)務的盈利現(xiàn)值超過18 000元的概率。24.A25.C26.C27.B28.29.(x)購買的n年限期繳費完全離散型終身壽險保單，其各種費用分別為：銷售傭金為營業(yè)保費的

15、6%；稅金為營業(yè)保費的4%；每份保單的第1年費用為30元，第2年至第n年的費用各為5元；理賠費用為15元。 且 ，保額b以萬元為單位，求保險費率函數(shù)R(b)。第五章 責任準備金1. 對于(x)購買的躉繳保費、每年給付1元的連續(xù)定期年金，t時保險人的未來虧損隨機變量為： 計算和。3.6.8.9 當。11 已知。12 假設在每一年齡內的死亡服從均勻分布，判斷下面等式哪些正確：（1） （2） （3） 13.14.假設在每一年齡內的死亡服從均勻分布， 且，求17 已知計算。18 一種完全離散型2年期兩全保險保單的生存給付為1000元，每年的死亡給付為1000元加上該年年末的純保費責任準備金，且利率i=6%， （k=0，1）。計算年繳均衡純保費P。19.20 已知，求21 25歲投保的完全連續(xù)終身壽險，L為該保單簽發(fā)時的保險人虧損隨機