拉姆齊模型課件

1、拉姆齊模型課件第三講第三講 無限期界模型（拉姆齊模型）無限期界模型（拉姆齊模型）Frank Ramsey Frank Ramsey (1903-1930), Britishmathe matician and philosopher, best known for his work on the foundations of mathematics. But Ramsey also made remarkable contributions to epistemology, semantics, logic, philosophy of science, mathematics, statis

2、tics, probability and decision theory, economics and metaphysics.A Contribution to the Theory of Taxation,1927A Mathematical Theory of Saving,1928 拉姆齊模型課件一、問題的提出一、問題的提出 前面各種增長模型之所以都將儲蓄率看作外生常數(shù)，主要是為了簡化模型的分析，另一方面是因為在許多經(jīng)濟(jì)中其相對比較穩(wěn)定，在一定時期內(nèi)變化不大。但是，增長理論研究的是長期的動態(tài)經(jīng)濟(jì)增長，長期間儲蓄率是變化的，將其作為外生常數(shù)排除了經(jīng)濟(jì)增長與其的相互作用。從前面的討論可知

3、，一個經(jīng)濟(jì)是否有穩(wěn)定狀態(tài)，是否收斂，收斂速度多快以及是否存在內(nèi)生經(jīng)濟(jì)增長等都與儲蓄率的變化有關(guān)，因此排除經(jīng)濟(jì)增長對儲蓄率的反作用必然使經(jīng)濟(jì)增長的關(guān)鍵特征都由模型的外生參數(shù)決定，使模型無法解釋經(jīng)濟(jì)增長真正的內(nèi)在規(guī)律和機(jī)制，這是造成哈羅德一多馬模型、索洛（及其基礎(chǔ)之上的衍生）模型解釋經(jīng)濟(jì)增長能力局限性的根本原因。 拉姆齊模型課件 本講的主要工作是將儲蓄率作為內(nèi)生變量引入模型，做到這一點(diǎn)的辦法是考察家庭的消費(fèi)行為，因為儲蓄率是由家庭的消費(fèi)行為決定的。 考察家庭費(fèi)行為的辦 法是利用消費(fèi)的效用函數(shù)，家庭消費(fèi)決策的原則是使長期內(nèi)家庭整體消費(fèi)效用最大化。 有了家庭的消費(fèi)效用函數(shù)，我門可以分析家庭在各種資本和

4、產(chǎn)出水平(相當(dāng)于當(dāng)前和長期的消費(fèi)約束)，如何選擇消費(fèi)量(或儲蓄率)的規(guī)律，從而使儲蓄率成為模型的內(nèi)生變量。 首先建立這種家庭最優(yōu)消費(fèi)選擇模型的是拉姆賽(Rmsey,1928) ，凱斯(Cass)和科普曼斯(Koopmans)在1965年又分別對它作了改進(jìn)，我們把這種類型的增長模型稱為拉姆賽模型。拉姆齊模型課件回顧：黃金分割律、最優(yōu)消費(fèi)和黃金率回顧：黃金分割律、最優(yōu)消費(fèi)和黃金率資本存量水平資本存量水平 在索洛模型中，儲蓄率s被假定為外生參數(shù)，儲蓄率的變動將影響穩(wěn)態(tài)的人均消費(fèi)和動態(tài)的人均消費(fèi)水平。當(dāng) 時，與最優(yōu)儲蓄（相對應(yīng)于最優(yōu)資本存量和最優(yōu)消費(fèi)）相比會出現(xiàn)“過度儲蓄”（即“過度積累”）的情況，而

5、一個高于黃金率的儲蓄率被證明是動態(tài)無效的。當(dāng) 時，只有在給定在當(dāng)前消費(fèi)與未來消費(fèi)之間的權(quán)衡參數(shù)的條件下，才能判斷增加儲蓄率的合理性。goldssgoldss拉姆齊模型課件拉姆齊模型課件f(k)E拉姆齊模型課件拉姆齊模型課件二、模型假定二、模型假定 1完全競爭市場結(jié)構(gòu) 2長生不老的不斷擴(kuò)展的家庭（有限壽命的個人和基于利他主義的代際轉(zhuǎn)讓） 3家庭和個人完全同質(zhì) 4忽略資本的折舊 5暫不考慮政府行為拉姆齊模型課件在簡單經(jīng)濟(jì)中，家庭與廠商之間的關(guān)系：拉姆齊模型課件三、廠商行為三、廠商行為拉姆齊模型課件四、家庭行為四、家庭行為拉姆齊模型課件1. 家庭效用函數(shù)定義家庭效用函數(shù)（也稱作“幸福函數(shù)幸福函數(shù)”）

6、為：() ( ) ( )tntn ttotoUu c tdtu c tdteeen 說明子女越多，父母對每個子女福利的重視程度就會越小，即父母會加速對不斷增多子女的輕視程度.拉姆齊模型課件2.家庭的資產(chǎn)和債務(wù) 記t時刻家庭擁有的總資產(chǎn)為A(t)。這里A(t)可以為正的，也可以為負(fù)的。當(dāng)A(t)為正時表明此時家庭擁有正的資產(chǎn);反之，A(t)表示家庭的負(fù)債。假設(shè)在完全競爭條件下，市場上的資本回報率(即利率)為r(t)。這樣家庭所擁有的資產(chǎn)在t時刻可以帶來的收益為A(t)r(t) 。如果A(t)為負(fù)， A(t)r(t) 表示此時家庭必須付的債務(wù)利息。同時，假設(shè)家庭可以為社會提供勞動力，得到工資回報。

7、假設(shè)在t時刻的工資率（人均工資）為w(t)，家庭提供的勞動力為L(t)。這樣，家庭通過勞動得到的收益為w(t)L(t)。因此，在t時刻家庭的總收入為r(t)A(t)+w(t)L(t)。拉姆齊模型課件 C t/:A tw t L tr t A tC ttA tL tttC tL tttA tL ttA tw t L tr t A tC taw tr t a tc tna tna tn家庭收入除用來消費(fèi)外，其余的用來儲蓄以增加資產(chǎn)。記t時刻家庭的總的消費(fèi)水平為，這樣家庭的預(yù)算約束可以表示為:定義a為時刻家庭擁有的人均資產(chǎn),c為和時刻家庭的人均消費(fèi),并且L的增長率為n,這樣方程:a兩邊對求導(dǎo),并將代

8、入得表示人口按 速率增長 aw tr t a tc tna tw tr t a tc tn時使家庭人均資產(chǎn)保持原有水平必須追加的投資或儲蓄.方程表明:人均資產(chǎn)隨著人均收入的增長而增長,隨著人均消費(fèi)和人口擴(kuò)張率 的上升而下降.這是家庭消費(fèi)最大化的第一個限制條件.拉姆齊模型課件 0:limexp0,.,limexpttta tr vndvr tnr tna tr vndv 第 二 個 限 制 條 件 是即 時 間 的 無 限 推 移 ,人 均 凈 資 產(chǎn) 的 貼 現(xiàn) 值 漸 進(jìn) 非 負(fù) ,這 說 明 人 均 凈 資 產(chǎn) 的 凈 貼 現(xiàn) 值 由決 定 不 能 為 負(fù) ,否 則 ,在 未 來 遠(yuǎn) 期

9、的 某 一 時 刻 ,家 庭 將 會 停 止 投 資 .也 可 反 過 來 說 ,一 個 家 庭 的 長 期 人 均 債 務(wù) 的 增 長 速 度 不 能超 過否 則 收 益 將 為 負(fù)現(xiàn) 在 家 庭 的 最 優(yōu) 消 費(fèi) 問 題 變 為 ,在 預(yù) 算 約 束 : 0()0: ( )tn ttoaw tr t a tc tna tUu c tdte和下求 解的 最 大 值 .拉姆齊模型課件 :0n tn tHamiltonHamiltonHu c ewrn actcHamiltonHuc ec利用系統(tǒng)來求解上述優(yōu)化問題.對于上面的優(yōu)化問題定義方程式中第一項是時刻 消費(fèi) 的效用的貼現(xiàn)值. 為乘子,表

10、示在t時刻一個單位的資本存量的增加所帶來效用增加量的現(xiàn)值,也有將其稱為效用的影子價格.這樣,第二項表示:t時收益的效用以0時刻的收益效用來表示.一階最優(yōu)條件為: 12lim( )03tHrnat a t 橫截性條件(Transversality condition-TVC,這里應(yīng)用了K-T定理的互補(bǔ)松弛條件.)拉姆齊模型課件 方程(1)表明在最優(yōu)時，消費(fèi)的邊際效用（貼現(xiàn)）等于財富的邊際值（貼現(xiàn)）。方程(2)為Euler Equation，我們將在后面進(jìn)行討論。橫截性條件(3)排除了發(fā)散的均衡點(diǎn)的情形。它表明在時間充分長時，財富的價值充分小。這是因為如果在充分長的時間后財富的邊際值為正，則消費(fèi)者

11、的財富一定為零;否則，如果存在正的財富，消費(fèi)者可以降低財富水平用來增加消費(fèi)，從而提高總的效用。另一方面，如果在充分長的時間消費(fèi)者還存在正的財富，那么消費(fèi)者消費(fèi)的邊際效用一定等于零;否則，同樣的道理消費(fèi)者可以降低財富水平用來增加消費(fèi)，從而提高總的效用。拉姆齊模型課件 Euler1Euler20.uccuc ccucu ccu cuc cdu cu cu cdc uu 現(xiàn)在來解釋方程?？紤]到方程，通過計算可以把方程變?yōu)椋簉= +是邊際效用彈性 定義:邊際效用彈性 =-該式說明家庭消費(fèi)選擇的準(zhǔn)則是,使得投資報酬率r正好等于時間偏好率當(dāng)前消費(fèi)可以避免將來消費(fèi)效用貶值損失的比率 與由于當(dāng)前人均消費(fèi)c的變

12、化而引起效用的變化率之和,這個和表明了當(dāng)前消費(fèi)的回報率,它應(yīng)等于當(dāng)前投資的回報率r.這就是通常所講的市場無套利原則在宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的體現(xiàn).拉姆齊模型課件 11( ) ( ),0,(1)011;( ), ( )21 2( 1/2)/ ( 1/2)( 1/2)/ (C tu C tngudu Cu Cu CCu CCdC uuCCPPCCP 效用函數(shù)的形式為：保證效用 不發(fā)散該函數(shù)具有以下三個特點(diǎn)：邊際效用彈性不變:跨期替代彈性不變，為1/ ，表示相對風(fēng)險回避系數(shù)不變。，表示兩期的消費(fèi)，定義跨期替代彈性為：11112ln1/21/2)ln1/2( ): ( )1. .1 12 2ln1/2ln1/2

13、( ).:( )1( ).111( )CCPPPC tMaxu C tstP CP CWCCLPPu Cu C CCCu CUu C C 針對應(yīng)用 求極值法,求出C1和C2,代入得同理我們可證明一個兩期效用函數(shù)的拉姆齊模型課件 1( ), ( ):1/,:lim0,0,tuc ccu CCu CCu cccrcTVCt a tt a t 將代入r得該式表明,r大于,等于,還是小于決定了家庭的最佳消費(fèi)模式是人均消費(fèi)不斷上升 保持不變,還是逐步下降.我們討論一下橫截性條件該橫截性條件表明,當(dāng)時間趨向于無窮遠(yuǎn)時,家庭人均資產(chǎn)的效用必須趨向于 即無窮遠(yuǎn)時間的資產(chǎn)在現(xiàn)在.看來毫無價值拉姆齊模型課件 00

14、/,:00 exp,00(0) .lim( )0,limexp0ttttHrnrntar vn dvvvu ct a ta tr vn dv 方程兩邊對時間積分,得: (t)=是一常數(shù),將上式代入則橫截性條件變?yōu)?該式意味著:長期人均資產(chǎn)a不能以r-n那么快的速度增長,否則家庭不能實現(xiàn)效用最大化.如a的增長速度超過r-n, 00:exp0,.1/0.trttr ttr v dvtr vrer ttr v dvte那么多出來的那一部分用于消費(fèi),家庭人均福利能夠提高.消費(fèi)函數(shù)上述方程中的項是將時刻 的一單位收入轉(zhuǎn)化為 時刻的等價單位的貼現(xiàn)因子.如果等于常數(shù) 則貼現(xiàn)因子簡化為如果定義:為時間 至 之

15、間的平均利息率,則貼現(xiàn)因子為拉姆齊模型課件 1001,0,:TTr TnTr tntr tntcu ccwracnaa T ec t edtaw t edtTTVCc t 決定了人均消費(fèi) 的增長率.為了確定家庭的消費(fèi)函數(shù),即各個時刻家庭人均消費(fèi)的水平 必須用收入流量預(yù)算約束:a導(dǎo)出家庭的跨時期預(yù)算約束.將上式作為一價線性微分方程求解,得到對任何時刻T0都成立的跨時期預(yù)算約束:如果令根據(jù)條件有 00001/0(0)(0)(0)(0)/1/01/,:0,r tntr tntr tnttr ttedtaw t edtawww t edtwcrtr ttr v dvc tce其中: 為未來全部工資收入

16、的現(xiàn)值之和.上式表明:消費(fèi)的現(xiàn)值等于初始資產(chǎn)a(0)和未來收入的現(xiàn)值之和. 將c對時間積分,并利用求得消費(fèi)函數(shù)為將該 01/0(0)(0)000(0)(0)100r tntr tntc t edtawawedt 式代入可導(dǎo)出 時刻的消費(fèi)為:c其中稱為財富的消費(fèi)傾向,由下式?jīng)Q定:拉姆齊模型課件 1/01,01,2,.0.r tntr tedtr t 對給定的財富量 平均利率的提高對方程中的邊際財富消費(fèi)傾向有兩方面的影響:較高的利率提高當(dāng)前消費(fèi)相對于將來消費(fèi)的機(jī)會成本 跨時期消費(fèi)的替代效應(yīng)會刺激人們把當(dāng)前消費(fèi)改為將來消費(fèi),即當(dāng)前少消費(fèi),多儲蓄(投資).較高的利率又有收入效應(yīng) 會提高所有時間的消費(fèi)水

17、平 包括當(dāng)前的消費(fèi)水平因此平均利率的提高對的凈影響取決于上述哪種效應(yīng)更強(qiáng) : 11(0),0,021,0,031,0,r tcr tcnr t分析如果越小,隨的上升將下降也將下降,意味著當(dāng)前少消費(fèi),多儲蓄(投資).說明替代效應(yīng)強(qiáng).如果越大,隨的上升也會上升上升,說明替代效應(yīng)強(qiáng)逐漸減弱,而收入效應(yīng)逐漸增強(qiáng).如果兩種效應(yīng)相互抵消,簡化為與無關(guān).拉姆齊模型課件五五.廠商的經(jīng)濟(jì)行為廠商的經(jīng)濟(jì)行為 :,.:,;00 ,01.:./gtgtgtYF K ALYF K ALF K LA tAegALALLeyYLKLyYLfYKfYLffe 廠商的生產(chǎn)函數(shù)且規(guī)模報酬不變令將正規(guī)化為則為有效勞動的單位產(chǎn)出.

18、k為單位有效勞動占有資本.生產(chǎn)函數(shù)也可寫為:k 且滿足稻田條件.容易證明:kkkk拉姆齊模型課件 0.,:1,gtK ALrKwLrwrKwLK ALrKwLf krkwefkrfk 代表性廠商在任一時點(diǎn)的凈利潤流量:=F,其中: 為資本市場的平均利率;為資本折舊率; 為工人工資上式表明:凈利潤等于總產(chǎn)出減去資本的租金和工人的工資考慮一個有效勞動投入為L的廠商 其凈利潤為:=F,L容易驗證,為使 最大化 須滿足即單位有效資本的邊際產(chǎn)出等于資本的租 ;2,.1 , 2gtrf kk fkewEuler金即勞動力要素的邊際產(chǎn)出等于工資上述實為定理.拉姆齊模型課件六.均 衡 1;,/,gtgtrwr

19、wk kwracna akkKLKLekefk前面介紹了給定利率 和工資率情況下家庭的行為方式,接著又討論了給定利率 和工資率情況下完全競爭廠商的行為規(guī)律.現(xiàn)在將它們結(jié)合起來分析兩部門均衡. 在均衡時,總需求等于總供給,家庭最終凈債務(wù)水平為零,因此有:人均資本a= ( =K/L).k與a相等是因為在兩部門模型中,全部資本都由國內(nèi)居民(工人)擁有.根據(jù) a再依據(jù) ,:.gtgtgtgtgtgtgtgtrfkk fkewkk egkewracna egkewrkcnk egkefkcgnkcceL ALgn和可得其中有效人均消費(fèi)上述等式是生產(chǎn)的資源約束:單位有效勞動資本的變化等于單位有效勞動資本的

20、產(chǎn)出減去消費(fèi)和資本的廣化,這里考慮到了以的速率增長上述等式也可表述為:資本的深化等于人均產(chǎn)出減去消費(fèi)和資本的廣化.拉姆齊模型課件 .,.21kf kcgnkf kcc 微分方程是決定有效勞動資本的增長路徑,從而也是產(chǎn)出y路徑的關(guān)鍵關(guān)系式,是模型的基本微分方程.但該模型還缺少決定的機(jī)制如果有決定 變動的另一個微分方程 就可以研究經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的全部動態(tài)過程了 索洛模型是通過假定儲蓄率為常數(shù),從而消費(fèi)是產(chǎn)出的固定比例來解決這個問題的.本模型中儲蓄率已不是常數(shù),根據(jù)對家庭最優(yōu)化消費(fèi)路徑的分析,已經(jīng)知道c按c/c= /1/gtrrfkfkg 增長,再根據(jù)c=ce和- ,可得: c/c=c/c-g=拉姆齊模型

21、課件 003limexp0limexp0,.1 , 2 , 3tgttttakkkea tr vn dvkfkgn dvkkfkKgn 將和代入式,則TVC條件變?yōu)? 如果要 趨向一個常數(shù)穩(wěn)定狀態(tài)值則上式要求穩(wěn)定狀態(tài)時的凈資本報酬率單位資本的凈報酬大于穩(wěn)定狀態(tài)的資本的增長率 上述就構(gòu)成了關(guān)于kckc和 的微分方程,也就決定了 和 的增長路徑.拉姆齊模型課件七.穩(wěn)定狀態(tài) 0,kf kcgnkk 與索洛模型一樣,本模型穩(wěn)定狀態(tài)時c, k, y的增長率都為零,即c=k=y=0.這時,單位有效勞動的資本k ,消費(fèi)c, 產(chǎn)出y 都是一穩(wěn)定值,而人均資本k ,消費(fèi)c, 產(chǎn)出y 都以技術(shù)水平的增長率g為速率

22、增長,總量指標(biāo)K, Y, C, 則以速率g+n增長. 根據(jù)上述結(jié)論,穩(wěn)定狀態(tài)c, k, 值可以令中的和c/c=c/ 1/0.0,.goldfkgkf kgnkfkgnfkgnkc-g=中的c而求得滿足的 k c 在圖3.4中構(gòu)成了曲線c該曲線的最高點(diǎn)的切線斜率為零,因此滿足即資本報酬率與穩(wěn)定狀態(tài)的產(chǎn)出增長率相等.由于這個最高點(diǎn)是最好的穩(wěn)定狀態(tài)消費(fèi)水平,而對應(yīng)的資本水平被稱為黃金法則資本水平,記為 拉姆齊模型課件 0,.,fkgfkgggfkgk ckkkkf kkc意味著: 即穩(wěn)定狀態(tài)的資本報酬率必須等于有效折扣率其中反映了由于消費(fèi)以 的速率增長而引起的消費(fèi)效用遞減的影響.在圖3.4中,滿足的構(gòu)成一條垂直于 軸, 恒等于 的垂線 存在唯一的是因為是 的單調(diào)函數(shù)拉姆齊模型課件 .,110kkcf