最新☆排列組合解題技巧歸納總結(jié)資料

1、精品文檔排列組合解題技巧歸納總結(jié)教學(xué)內(nèi)容1. 分類計數(shù)原理（加法原理）完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有mi種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的 方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N = mn + m2 +山 + mn種不同的方法.2. 分步計數(shù)原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，,做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N =葉 x m2 匯 j 11X mn種不同的方法.3. 分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理區(qū)別分類計數(shù)原理方法相互獨(dú)立，任何一種方法都可以獨(dú)立地完成這件事。分步計數(shù)原理各步

2、相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件. 解決排列組合綜合性問題的一般過程如下：1. 認(rèn)真審題弄清要做什么事2. 怎樣做才能完成所要做的事，即采取分步還是分類，或是分步與分類同時進(jìn)行，確定分多少步及 多少類。3. 確定每一步或每一類是排列冋題（有序）還是組合（無序）冋題,兀素總數(shù)是多少及取出多少個兀 素.4. 解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略一. 特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解：由于末位和首位有特殊要求，應(yīng)該優(yōu)先安排，以免不合要求的元素占了這兩個位置. 先排末位共有C；然后

3、排首位共有C1最后排其它位置共有a3由分步計數(shù)原理得C4C3A =288練習(xí)題:7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里， 問有多少不同的種法？二. 相鄰元素捆綁策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復(fù)合元素，同時丙丁也看成一個復(fù)合元素，再與其 它元素進(jìn)行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計數(shù)原理可得共有尼人；圧=480種不同的排法練習(xí)題:某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為20三. 不相鄰問題插空策略例3. 一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3

4、個獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場，則節(jié)目的出場順序 有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2個相聲和3個獨(dú)唱共有A5種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6 個元素中間包含首尾兩個空位共有種 A6不同的方法，由分步計數(shù)原理，節(jié)目的不同順序共有 A：A：種練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將 這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為_30_四. 定序問題倍縮空位插入策略例4.7人排隊，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:（倍縮法）對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一起進(jìn)行排列 ， 然后用總排列數(shù)除以這幾

5、個元素之間的全排列數(shù)，則共有不同排法種數(shù)是：a7/a3（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有 A4種方法，其余的三個位置甲乙丙共有1 種坐法，則共有A；種方法。思考:可以先讓甲滴就坐嗎？（插入法）先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有 方法練習(xí)題:10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？五. 重排問題求幕策略例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個車間實(shí)習(xí)，共有多少種不同的分法解：完成此事共分六步：把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有7_種分法.把第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有 7種分依此類推，由分步計數(shù)原理共有76種不同的排法練習(xí)題：1. 某

6、班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目如果將這兩個節(jié)目 插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為 422. 某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人，他們到各自的一層下電梯，下電梯的方法丫六. 環(huán)排問題線排策略例6. 8人圍桌而坐，共有多少種坐法？解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人A：并從此位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）！種排法即7 ！C練習(xí)題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈120七. 多排問題直排策略例7.8人排成前后兩排，每排4人其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法解：8人排前后兩排，相當(dāng)于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一

7、排個特殊元素有A2種，再排后4 個位置上的特殊元素丙有 a4種，其余的5人在5個位置上任意排列有a5種，則共有a4a4a；種 練習(xí)題：有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個座 位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是346八. 排列組合混合問題先選后排策略例8.有5個不同的小球，裝入4個不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個球，共有多少不同的裝法.解：第一步從5個球中選出2個組成復(fù)合元共有C5種方法.再把4個元素（包含一個復(fù)合元素）裝入 4個不同的盒內(nèi)有a4種方法，根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有C；a4練習(xí)題：一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4

8、人完成四種不同的任務(wù)，每人完成一 種任務(wù),且正副班長有且只有1人參加,則不同的選法有192種九. 小集團(tuán)問題先整體后局部策略例9.用1,2,3,4,5 組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾1, 5在兩個奇數(shù)之間，這樣的五位數(shù)有多少個？解：把1 , 5 , 2 , 4當(dāng)作一個小集團(tuán)與3排隊共有 A2種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有 A；A；種排法， 由分步計數(shù)原理共有A；A；A；種排法.練習(xí)題：1 .計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫，4幅油畫，5幅國畫，排成一行陳列，要求同一 品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為a2a5a42. 5男生和5女生站成一排照像,男生

9、相鄰,女生也相鄰的排法有A2A5A5種十.元素相同問題隔板策略例10.有10個運(yùn)動員名額，分給7個班，每班至少一個，有多少種分配方案？解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成9個空隙。在9個空檔中選6 個位置插個隔板，可把名額分成7份，對應(yīng)地分給7個班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有 C 種分法olo o|o|o o|o|o o|o練習(xí)題：1.10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一有多少裝法？C；2 . x y z w =100求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù)G：十一.正難則反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10

10、的偶數(shù),不同的取法有多少種？ 解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難，可用總體淘汰法。這十個數(shù)字中有 5個偶數(shù)5 個奇數(shù),所取的三個數(shù)含有3個偶數(shù)的取法有C；,只含有1個偶數(shù)的取法有c5c；,和為偶數(shù)的取法 共有c5cf cf。再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條件的取法共有c5c； Cf-9 練習(xí)題：我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人，正、副班長、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的 抽法有多少種？十二.平均分組問題除法策略例12. 6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解：分三步取書得CfcfC；種方法，但這里出現(xiàn)重復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDE，若第一 步取 AB,第二步取

11、 CD,第三步取 EF該分法記為（AB,CD,EF）,貝U cfcfc；中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 A；種取法，而這些分法僅是 (AB,CD,EF) 種分法,故共有CfcfC；/ A3種分法。練習(xí)題：1將13個球隊分成3組，一組5個隊,其它兩組4個隊,有多少分法？ （ G53C；C：/A2）2.10名學(xué)生分成3組,其中一組4人，另兩組3人但正副班長不能分在同一組，有多少種不同的 分組方法 （1540）3. 某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排

12、方案種數(shù)為 （CjcjA；/A； = 90）十三.合理分類與分步策略例13.在一次演唱會上共10名演員，其中8人能能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴 舞的節(jié)目，有多少選派方法解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有cfc；種,只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員c5c3c練習(xí)題： 從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座 談會，若這4人中必須既有男生又有女生， 則不同的選法共有竺 3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人,2號船最多乘2人,3號船只能乘1人,他們?nèi)芜x2只船或3只船，但小孩不能單獨(dú)乘一只船，這

13、3人共有多少乘船方法（27）本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：*以3個全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)*以3個全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)*以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)都可經(jīng)得到正確結(jié)果十四.構(gòu)造模型策略例14.馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞，但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：把此問題當(dāng)作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有C；種練習(xí)題：某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？（120）十五.實(shí)際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號1,2,3,4,5的

14、五個球和編號1,2,3,4,5的五個盒子，現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內(nèi)， 要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同，有多少投法解：從5個球中取出2個與盒子對號有C；種還剩下3球3盒序號不能對應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如 果剩下3,4,5號球，3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法，同理3號球裝5 號盒時,4,5號球有也只有1種裝法，由分步計數(shù)原理有2C；種練習(xí)題：1. 同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來，然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？（9）2. 給圖中區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū) 域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色，則不同的著色方法有_7

15、2種 十六.分解與合成策略例16. 30030能被多少個不同的偶數(shù)整除分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式 30030=2X 3X 5 X 7 X 11 X13種，只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有C；C；種，由分類計數(shù)原理共有c5c；C4 cfc| 種。精品文檔精品文檔依題意可知偶因數(shù)必先取2,再從其余5個因數(shù)中任取若干個組成乘積，所有的偶因數(shù)為：c5 +c( +c；練習(xí)：正方體的8個頂點(diǎn)可連成多少對異面直線解：我們先從8個頂點(diǎn)中任取4個頂點(diǎn)構(gòu)成四體共有體共C： -12 = 58 ,每個四面體有 3對異面直線,正方體中的8個頂點(diǎn)可連成3 58 =174對異面直線十七化歸策略例17.

16、25人排成5X 5方陣,現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的選法有多少 種？解：將這個問題退化成9人排成3X 3方陣,現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列,有 多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后，把這人所在的行列都劃掉，如此繼續(xù)下去.從3X 3方隊中選3人的方法有C3C；C；種。再從5X 5方陣選出3X 3方陣便可解決問題.從53人有X 5方隊中選取3行3列有dd選法所以從5X 5方陣選不在同一行也不在同一列的c53c53c3c2c11 選法練習(xí)題:某城市的街區(qū)由12個全等的矩形區(qū)組成其中實(shí)線表示馬路，從 A走到B的最短路徑有多 少種？( C； =35)

17、十八數(shù)字排序問題查字典策略例18.由0, 1, 2, 3, 4, 5六個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)的比324105大的數(shù)？解:N =2A； +2A： +A； +A； + A1 =297練習(xí):用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成沒有重復(fù)的四位偶數(shù)，將這些數(shù)字從小到大排列起來，第71個數(shù)是3140十九.樹圖策略例19. 3人相互傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過5次傳求后，球仍回到甲的手中，則不 同的傳球方式有 N =10練習(xí)：分別編有1, 2, 3, 4, 5號碼的人與椅，其中i號人不坐i號椅(i= 123,4,5 )的不同坐法 有多少種？ N =44 二十.復(fù)雜分類問題表格策略 例20.有紅、黃、蘭色的球各5只，分別標(biāo)有A、B CD E五個字母，現(xiàn)從中取5只，要求各字 母均有且三