AA二階高階常系數(shù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)PPT教學(xué)課件

1、情形1，042 qp的實(shí)根：的實(shí)根：特征方程有兩個(gè)不相等特征方程有兩個(gè)不相等21 于是，于是，有兩個(gè)特解：有兩個(gè)特解：方程方程0 yqypy，xxeyey 211并并且且xxxeee)(211 不不是是常常數(shù)數(shù)，的通解為的通解為因此方程因此方程0 qypyyxxeCeCy2121 第1頁(yè)/共21頁(yè)情形2，042 qp實(shí)根：實(shí)根：特征方程有兩個(gè)相等的特征方程有兩個(gè)相等的 21于是，于是，有一個(gè)特解：有一個(gè)特解：方程方程0 yqypyxey 1，下下面面尋尋找找另另一一個(gè)個(gè)特特解解2y不為常數(shù)不為常數(shù)且要求且要求12yy，設(shè)設(shè))(12xuyy ，即即)(2xueyx 則則，)(2uueyx ，)2

2、(22 uuueyx 第2頁(yè)/共21頁(yè)，得，得代入方程代入方程0 qypyy，0)()2( 2 uqeuupeuuuexxx 即即，0)()2(2 uqpupuex 由于由于，02 qp ，02 p 則則有有0 u，不妨取不妨取xu 則另一個(gè)特解為則另一個(gè)特解為xxey 2的通解為的通解為從而方程從而方程0 qypyyxxxexCCxeCeCy )(2121 第3頁(yè)/共21頁(yè)情形3，042 qp根根：特特征征方方程程有有一一對(duì)對(duì)共共軛軛復(fù)復(fù))0(2 , 1 i于是，于是，有兩個(gè)特解：有兩個(gè)特解：方程方程0 yqypy，xiey)(1 xiey)(2 利利用用歐歐拉拉公公式式： sincosie

3、i 于是，于是，xixeey 1，)sin(cosxixex xixeey 2，)sin(cosxixex 第4頁(yè)/共21頁(yè)而而)(2121yy ，xex cos )(2121yyi ，xex sin 且且xxexexx cotsincos 不是常數(shù)不是常數(shù)的通解為的通解為因此因此0 qypyy)sincos(sincos2121xCxCexeCxeCyxxx 定義定義 由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為確定其通解的方法稱為特征方程法特征方程法. .第5頁(yè)/共21頁(yè)例1.求下列方程的特解或通解；032)1( yyy解解，特征方程特征方程03

4、22 特征根：特征根：，3121 所所以以通通解解為為xxeCeCy321 第6頁(yè)/共21頁(yè)；，2402)2(00 xxyyyyy，特征方程特征方程0122 特征根：特征根：121 所以通解為所以通解為xexCCy)(21 代入通解中，得代入通解中，得將將40 xy；41 C從從而而xexCy)4(2 即即有有，)4(22CxCeyx 得得代代入入20 xy62 C于于是是所所求求特特解解為為xexy)64( 解解第7頁(yè)/共21頁(yè)，特特征征方方程程0542 特特征征根根：i 22 , 1 所以通解為所以通解為)sincos(212xCxCeyx 注注線性方程的求解線性方程的求解一階或高階常系數(shù)

5、齊次一階或高階常系數(shù)齊次可推廣到可推廣到法，法，利用特征值求通解的方利用特征值求通解的方求解一階方程求解一階方程例如例如03 yy，特征方程特征方程03 特征根特征根3 因此通解為因此通解為xCey3 054)3( yyy解解第8頁(yè)/共21頁(yè)的通解情況表：的通解情況表：階常系數(shù)齊次線性方程階常系數(shù)齊次線性方程n階常系數(shù)齊次線性方程階常系數(shù)齊次線性方程n001)1(1)( ypypypynnn特征方程特征方程00111 pppnnn 單實(shí)根單實(shí)根) i (xCe 一項(xiàng)：一項(xiàng)： i 一對(duì)單復(fù)根一對(duì)單復(fù)根ii)()sincos(21xCxCex 兩兩項(xiàng)項(xiàng)： 重實(shí)根重實(shí)根kiii)(項(xiàng)：項(xiàng)：k)(12

6、1 kkxxCxCCe ik 重復(fù)根重復(fù)根)iv(項(xiàng)：項(xiàng)：k2xxCxCCekkx cos)(121 sin)(121xxDxDDkk 第9頁(yè)/共21頁(yè)求下列方程通解求下列方程通解例例2；054)1()3()4()5( yyy解解，特特征征方方程程054345 特征根：特征根：0 ，重重)3(i 2 所所求求通通解解為為 y)(23210 xCxCCex )sincos(542xCxCex )sincos(5422321xCxCexCxCCx 第10頁(yè)/共21頁(yè)，特征方程特征方程014 特征根：特征根：22442121 而而2222)1( 0)21)(21(22 ，)1(222 , 1i ，)

7、1(224 , 3i 故通解為故通解為 y)22sin22cos(2122xCxCex )22sin22cos(4322xCxCex 0)2()4( yy解解第11頁(yè)/共21頁(yè).044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為,0442 rr解得,221 rr故所求通解為.)(221xexCCy 練習(xí)練習(xí)1 1第12頁(yè)/共21頁(yè).052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為,0522 rr解得,2121jr ，故所求通解為).2sin2cos(21xCxCeyx 練習(xí)練習(xí)2 2第13頁(yè)/共21頁(yè)注意注意n次代數(shù)方程有n個(gè)根, 而特征方程的每一個(gè)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng), 且每一項(xiàng)各一

8、個(gè)任意常數(shù).nnyCyCyCy 2211第14頁(yè)/共21頁(yè)特征根為, 154321jrrjrrr 故所求通解為.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程為, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy練習(xí)練習(xí)3 3第15頁(yè)/共21頁(yè)四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解. (見(jiàn)下表)第16頁(yè)/共21頁(yè)02 qprr0 qyypy 特征根的情況特征根的情況 通解的表達(dá)式通解的表達(dá)式實(shí)根實(shí)根21rr 實(shí)根實(shí)根21rr 復(fù)根復(fù)根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 第17頁(yè)/共21頁(yè)解解:, 0 y ,ln22yyyyy ,ln yyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令yzln 則, 0 zz特征根1 通解xxeCeCz 21.ln21xxeCeCy 思考題思考題求微分方程 的通解. yyyyyln22 第18頁(yè)/共21頁(yè)一一、 求求下下列列