完整word版,[很全]拋物線焦點弦的有關結論

1、 很全 拋物線焦點弦的有關結論知識點 1：若 AB 是過拋物線 y22 px p0 的焦點 F 的弦。設 A x1 , y1 , B x2 , y2（ 1）x1x2p 2；（ ）p242 y1 y2A證明：如圖，y（1）若 AB 的斜率不存在時，p ,p2xo依題意 x1x2x1 x2F24B若 AB 的斜率存在時，設為 k, 則 AB : ykxp，與 y22 px 聯(lián)立，得22k 2 p 22p2 px2222 px0k x2kxk4x1 x2p2綜上： x1 x2p24.4（2）x122y1y2p 4y1 y2p 2 ,y1 , x2y2 ，222 p2p但 y1 y20, y1 y2p

2、 2（2）另證：設 AB : xmyp 與 y 22 px 聯(lián)立，得 y22 pmyp20, y1 y22知識點 2：若 AB 是過拋物線 y22 px p0 的焦點 F 的弦。設 A x1 , y1 , B x2 , y2（1） ABx1x2p; （2）設直線 AB 的傾斜角為，則AB2 p。sin2證明：（ 1）由拋物線的定義知AAFx1p , BFx2p ,y22ABAFBFx1x2poFp , 由（ 1）知 AB 2 p2 p（2）若900 ,則 x1x2B2sin 2若900 ,設 AB : ykxp,與 y22 px 聯(lián)立，得2，則p 2，則1p2k 2 p 2k 2 x2 pxk

3、 2 x 2k 22 px024x1x2p k 22,ABx1x2p2 p k 21 ，而 ktan ，k 2k 2AB2 p 1tan 22ptan 2sin 2知識點 3：若 AB 是過拋物線 y22 px p0 的焦點 F 的弦，則以 AB 為直徑的圓與拋物線的準線相切。y證明：過點 A、B 分別向拋物線的準線引垂線，垂足分別為AA1、 B1 , 過 AB 中點 M 向準線引垂線，垂足為 N ,設以 AB 為直徑的圓的半徑為 r ,oF2rABAFBFAA1BB12 MNBMNr .以 AB 為直徑的圓與拋物線的準線相切。知識點 4：若 AB 是過拋物線 y22 px p0 的焦點 F

4、的弦。過點 A、 B 分別向拋物線yA的準線引垂線，垂足分別為A1、B1, 則 A1FB1900 。證明借助于平行線和等腰三角形容易證明oFB知識點 5：若 AB 是過拋物線 y22 px p0 的焦點 F 的弦，拋物線的準線與 x 軸相交于點 K，則AKFBKF .yA證明：過點 A、B 分別作準線的垂線，垂足分別為A1、B1 .AA1 / KF / BB1oFKA1 KAFA1 A, BFB1 BBB1 K而 AFFBA1K A1 AA1KB1K ，而 AA1 KBB1K 900B1K B1 BA1A B1BAA1K BB1 KA1 KAB1 KBAKFBKF2知識點 6：若 AB 是過拋

5、物線 y22 px p0 的焦點 F 的弦， o 為拋物線的頂點，連接AO 并延長交該拋物線的準線于點C,則 BC / OF.yA證明：設 A x1 , y1 , B x2 , y2，則y1x,Cp,y1 poFAB : yx122x1CByCy1 py1 pp22x1y12y122 p由知識點 1 知 y1 y2p 2yCp 2y2BC / OFp2y2逆定理：若 AB 是過拋物線 y 22 px p0 的焦點 F 的弦，過點 B 作 BC / OF 交拋物線準線于點 C , 則 A、C、 O 三點共線。證明略知識點 7：若 AB 是過拋物線 y 22 px p 0的焦點 F 的弦，設 AF

6、 m, BFn,則112yAmn.p證法：（1）若 ABx 軸，則 AB 為通徑，而 AB2p,oF112 .Bmnpmnp（ 2）若 AB 與 x 軸不垂直，設 A x1 , y1, B x2 , y2， AB 的斜率為 k ，則 l : yk xp 與2p2k 2 p 2y 22 px 聯(lián)立，得 k 2 x2 pxk 2 x 2k 22 px024x1x2p k 22, x1 x2p2.k 24由拋物線的定義知 mAFx1p , nBFx2p22311mnx1x2 p2mnmnpp2px1x2x1x224知識點 8：已知拋物線 y22 px p0中， AB 為其過焦點 F 的弦， AF m

7、, BFn, 則S AOBp 2nmyA4mn證明：設AFx, 則oFS AOBS AOFS BOFB1pm sin1psin2222p mn sin4而 mp,np,mnp 2,sinp 21cos1cossin2mnS AOBp mnp 2p2nm .4mn4mn逆 定 理 ： 已 知 拋 物線 y 22 px p0 中 ， AB 為 其 弦 且 與 x 軸 相 交于 點 M ， 若AMm, BMn, 且 S AOBp2nm , 則弦 AB 過焦點。4mn證明：設 A x1 , y1, B x2 , y2， AMx, Mt,0，則S AOBS AOMS BOM= 1 tm sin1 tn sin1 mn t sin222而 siny1,siny2,sin2y1 y2mnmnsiny1 y2S AOB1 mn ty1 y21m n ty1 y2mnmn22mn而SAOBp2nm1mnp 2ty1 y2p24mn2mn22又可設l : xayty22 pay2 pt 0y1 y22 pt y22 px4由得 tpAB 恒過焦點p ,022拋物線 y22 px p0，過