第講空間幾何體的表面積和體積

1、考綱要求考綱研讀了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式(不要求記憶公式).能夠根據(jù)幾何體的三視圖或直觀圖確定該幾何體的結構特征，并選擇相應的公式計算幾何體的表面積和體積.第2講 空間幾何體的表面積和體積1多面體的側面積ch(1)棱柱的側面積：s直棱柱側_(c 表示直棱柱的底面周長，h表示高)(2)正棱錐的側面積：s正棱錐側_(c 表示正棱錐的底面周長，h表示斜高)ch12(3)正棱臺的側面積：s正棱臺側_(c，c 分別表示正棱臺的上、下底面周長，h表示斜高)12(cc)h2旋轉體的側面積(1)圓柱的側面積：s圓柱側_(r 表示圓柱底半徑，l 表示母線長)rl(2)圓錐的側面積：s圓錐側

2、_(r 表示圓錐底半徑，l 表示母線長)(3)圓臺的側面積：s圓臺側(rr)l(r，r 表示圓臺兩底半徑，l表示母線長)(4)球的表面積：s球面_(r 表示球的半徑)4r22rl3空間幾何體的體積sh(1)柱體的體積：v柱體_(s 表示柱體的底面積，h 表示柱體的高)13sh(2)錐體的體積：v錐體_(s 表示錐體的底面積，h 表示錐體的高)(3)臺體的體積：v臺體_(s、s 表示臺體的上、下底面積，h 表示臺體的高)(4)球體的體積：v球_(r 表示球半徑)43r31三棱錐 pabc 的側棱 pa ，pb，pc 兩兩垂直，側面面積分別是 6,4,3，則三棱錐的體積是()aa4b6c8d102

3、如圖1321是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是( )a32 b16 c12 d8圖13213一個與球心距離為 1 的平面截球體所得的圓面面積為，則球的體積為()a4(2010 年上海)已知四棱錐 pabcd 的底面是邊長為 6 的正方形，側棱 pa 底面 abcd，且 pa 8，則該四棱錐的體積是_.965(2011年上海)若圓錐的側面積為2，底面積為，則該圓錐的體積為_.考點1幾何體的面積例1：(2011 年安徽合肥檢測)圖 1322 是一個幾何體的三視圖，其中正視圖和側視圖都是一個兩底長分別為 2 和 4，腰長為 4 的等腰梯形，則該幾何體的側面積是()圖 1322

4、a6b12c18d24解析一：由此幾何體的三視圖知，該幾何體是上、下底半徑分別為，2，母線長為 4 的圓臺，由圓臺的側面積公式得s側(12)412.解析二：該幾何體為圓臺，設展開圖的“虛扇形”的半徑為l，答案：b圖 1323(2011年安徽)一個空間幾何體的三視圖如圖1323所示，則該幾何體的表面積為( ) c給出幾何體的三視圖，求該幾何體的表面積時，先要根據(jù)三視圖畫出直觀圖，再確定該幾何體的結構特征，最后利用有關公式進行計算第小題為圓臺；第小題是半個球，注意表面積包括底面圓的面積【互動探究】1(2011 年北京)某四棱錐的三視圖如圖 1324 所示，該四棱錐的表面積是( )b圖 1324考點

5、2幾何體的體積例 2：(2010 年湖北)圓柱形容器內盛有高度為 8 cm 的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖 1325)，則球的半徑是_cm. 圖 13254(2011 年廣東)如圖 1326，某幾何體的正視圖(主視圖)、側視圖(左視圖)和俯視圖分別是等邊三角形、等腰三角形和菱形，則該幾何體的體積為()圖 1326答案：c 求幾何體的體積時，若所給的幾何體是規(guī)則的柱體、錐體、臺體或球體，可直接利用公式求解；若是給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積時，先要根據(jù)三視圖畫出直觀圖，再確定該幾何體的結構特征，最后利用有關公式進行計算【互動探究】2(

6、2011 年天津)一個幾何體的三視圖如圖 1327 所示(單圖 1327位：m)，則該幾何體的體積為_ m3.6考點3立體幾何中的折疊與展開例3：如圖 1328，長方體 abcda1b1c1d1中，ab3，ad2，cc11，一條繩子從a沿著表面拉到c1，求繩子的最短長度圖 1328解析：將長方體沿著aa1剪開，如圖1329(1)，圖1329(1)若沿著 ab 剪開如圖1329(2)，圖1329(2)若沿著 ad 剪開如圖1329(3)，圖1329(3)探究幾何體表面上的最短距離，常把幾何體的側面展開，把空間圖形中的問題轉化成平面圖形中的問題來解決，其實質就是將曲(折)線拉直【互動探究】3圓柱的

7、軸截面是邊長為 5 cm 的正方形 abcd，求從 a 到 c圓柱的側面上的最短距離圖d24考點4 利用函數(shù)的方法解決立體幾何問題例 4：如圖 13210 所示，等腰三角形abc 的底邊 ab，高 cd3，點 e 是線段 bd 上異于 b，d 的動點，點 f 在bc 邊上，且 efab，現(xiàn)沿 ef 將bef 折起到pef 的位置，使 peae，記 bex，v(x)表示四棱錐 pacfe 的體積(1)求 v(x)的表達式；(2)當 x 為何值時，v(x)取得最大值？(3)當 v(x)取得最大值時，求異面直線ac 與 pf 所成角的余弦值 圖 13210有關立體幾何與函數(shù)的綜合問題，一般是以立體幾

8、何為主體，求出有關的線段的長度、有關角度的三角函數(shù)、有關平面圖形或旋轉體的面積、幾何體的體積，以建立函數(shù)關系式，再利用導數(shù)(基本不等式)求出最值建立函數(shù)一定要準確，求函數(shù)的最值各種方法都要了解4(2011年江西)如圖13211，在 abc中，b，ab【互動探究】2bc2，p 為 ab 邊上一動點，pdbc 交 ac 于 點 d，現(xiàn)將 pda 沿著 pd 翻折至pda，使平面 pda平面 pbcd.(1)當棱錐 apbcd 的體積最大時，求 pa 的長；(2)若點 p 為 ab 的中點，e 為 ac 的中點，求證：abde.圖 13211(2)證明：如圖d25，作 ab 的中點 f，連接 ef，fp.由已知得：ef12bcpdedfp，因為apb 為等腰直角三角形，所以abpf.所以abde.圖d252圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式容易記錯，應記住其展開圖的特征：圓柱的側面展開圖是矩形；圓錐的側面展開圖是扇形，當?shù)?計算底面積和高都不易求的不規(guī)則幾何體的體積時應盡量避免直接求解，善用“等積法”和“割補法”4求解幾何體表面上有關曲線(折線)的最值，最常用的方法將幾何體沿著棱剪開后展成平面圖形，然后在平面內化曲為直求解1正確理解圓錐的母線長 l、