平行四邊形全部講義

1、平行四邊形1、平行四邊形的性質(zhì)考點(diǎn)一、平行四邊形的概念（ 1）定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。（ 2）表示：平行四邊形用符號(hào) “”表示，平行四邊形 ABCD 記作“ABCD ”,讀作“平行四邊形 ABCD ”。平行四邊形一定按順時(shí)針或逆時(shí)針依次注明各頂點(diǎn)。（ 3）平行四邊形定義的作用：平行四邊形的定義既是判定，又是性質(zhì)。由定義知平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行；由定義可以得出只要四邊形中兩組對(duì)邊分別平行，那么這個(gè)四邊形就是平行四邊形。（ 4）平行四邊形的基本元素：邊、角、對(duì)角線。例 1、在 ABCD 中， EFAB ，GHBC， EF、GH 相交于點(diǎn) P，寫出圖中的平行四邊形。AEDG

2、PHBFC考點(diǎn)二、平行四邊形的性質(zhì)（ 1）邊的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊平行且相等。（ 2）角的性質(zhì)：平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等。（ 3）對(duì)角線性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分。例 2、在ABCD 中， A+ C=160，求 A 、 B、 C、 D 的度數(shù)。ABCD考點(diǎn)三、平行四邊形的對(duì)角線的性質(zhì)（ 1）平行四邊形的對(duì)角線互相平分。例 3、在 ABCD 中，對(duì)角線 AC 、BD 相交于 O 點(diǎn)，若 AC=14，BD=8，AB=10 ，則 OAB 的周長為 _。ADOBC練習(xí)題一、感受理解1已知 O是ABCD 的對(duì)角線交點(diǎn)， AC=10cm，BD=18cm，AD=?12cm，?則 BOC?的周長

3、是 _2已知ABCD 的對(duì)角線 AC， BD交于點(diǎn) O， AOB的面積為 2，那么平行四邊形 ABCD的面積為 _3已知平行四邊形的兩鄰邊之比為2：3，周長為 20cm，?則這個(gè)平行四邊形的兩條鄰邊長分別為 _4平行四邊形的周長為30，兩鄰邊的差為5，則其較長邊是 _5平行四邊形具有，而一般四邊形不具有的性質(zhì)是（）A外角和等于 360B 對(duì)角線互相平分C內(nèi)角和等于 360D 有兩條對(duì)角線6. 如圖， ABCD中，EF過對(duì)角線的交點(diǎn)O，AB=4，AD=3，OF=1.3 ，則四邊形 BCEF的周長為（）A.8.3B.9.6C.12.6D.13.67在 ABCD 中， AC=10， BD=6，則邊長

4、AB， AD的可能取值為（）A AB=4，AD=4B AB=4，AD=7C AB=9 ，AD=2 D AB=6 ，AD=28平行四邊形一邊長為 12cm，那么它的兩條對(duì)角線的長度可能是（）A 8cm和 14cmB 10cm和 14cmC 18cm 和 20cm D 10cm和 34cm9在 ABCD 中， AB=2， BC=3， B=60，則 ABCD 的面積為（）A 6B33C 33D 32二、思考運(yùn)用1如圖，在ABCD 中， AE 平分 BAD交 DC于點(diǎn) E，AD=5cm，AB=8cm，求 EC的長2、ABCD中， A， AB，BC，求：四邊形ABCD的面積.=150=8 cm=10 c

5、m3如圖，在ABCD 中， ADDB，AC與 BD相交于點(diǎn) O，OD=1， CAD=30，求 AC和 DC的長4、如圖，在 ABCD中，O是對(duì)角線 AC、BD的交點(diǎn)， BE AC，DFAC，垂足分別為 E、F. 那么 OE與 OF是否相等？為什么？5如圖，在 ABCD 中，點(diǎn) E，F(xiàn) 在對(duì)角線 AC上，且 AE=CF請(qǐng)你以點(diǎn) F 為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條線段， 猜想并證明它和圖中已有的某一線段相等（只需證明一組線段相等即可） （1）連結(jié) _（2）猜想： _=_（3）證明6 如圖，在中，過 AC中點(diǎn) O的直線分別交 BC、AD的延長線于 E、F，那么嗎？為什么？三、探究拓展1

6、有兩張全等的三角形紙片，三角形紙片的三條邊長分別為 2cm，3cm，4cm?你能用這兩張三角形紙片拼出幾種形狀不同的平行四邊形？（1）請(qǐng)畫圖說明各種不同拼法，并說明理由：（2）計(jì)算所拼的各個(gè)平行四邊形的周長2、平行四邊形的判定考點(diǎn)一、利用邊判定平行四邊形（ 1） 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。（ 2） 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。（ 3） 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。例 1、 在四邊形 ABCD 中，AB=CD, ADB= CBD=90，則四邊形 ABCD 是平行四邊形嗎？DCAB考點(diǎn)二、利用對(duì)角線判定平行四邊形（ 1）兩組對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。例

7、2、（2012云南） AECF 的對(duì)角線相交于點(diǎn) O，DB 經(jīng)過點(diǎn) O，分別與 AE ， CF 相交于 B， D，求證：四邊形 ABCD 是平行四邊形。DCFOABE考點(diǎn)三、三角形的中位線（ 1）三角形的中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。（ 2）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。例 3、求證：順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形?？键c(diǎn)四、兩條平行線間的距離（ 1）定義：兩條平行線間最短的線段的長度叫做兩條平行線間的距離。（ 2）性質(zhì)：兩條平行線間的距離處處相等。夾在兩條平行線間的平行線段相等。例 4、直線 AB 直線 CD

8、， ACD 與 BCD 的面積相等嗎？ABCD練習(xí)題1、以不在同一直線上的三點(diǎn)為頂點(diǎn)作平行四邊形，最多能作（）A、4 個(gè)B、 3 個(gè)C、2 個(gè)D、 1 個(gè)2下面幾組條件中，能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的是（A 一組對(duì)邊相等 ;B兩條對(duì)角線互相平分C 一組對(duì)邊平行 ;D兩條對(duì)角線互相垂直）3、下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（）A、一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行；C、一組對(duì)角相等，一組鄰角互補(bǔ)；B、一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角互補(bǔ)；D、一組對(duì)角互補(bǔ)，另一組對(duì)角相等。4、如圖1，點(diǎn)D、E、F 分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，則圖中平行四邊形一共有 （）AA、1 個(gè)B、 2 個(gè)C、3 個(gè)D、 4 個(gè)D

9、FBEC圖15、如圖 1 所示，在 ABC中， D、 E 分別為 AB、 AC的中點(diǎn)，延長 DE到 F，使 EF DE，若 AB10，BC 8，則四邊形 BCFD的周長 _。AEGDAEDFBC圖1BFHC圖 26、如圖 2，在 ABCD中，E、G是 AD的三等分點(diǎn)， F、H是 BC的三等分點(diǎn)，則圖中的平行四邊形共有 _個(gè)，其中 S四邊形 ABFE : S四邊形 ABHG _S四邊形 ABHG : S四邊形 ABCD_。7、BD是平行四邊形 ABCD的對(duì)角線，點(diǎn) E、F 在 BD上，要使四邊形 AECF是平行四邊形，還需要添加的一個(gè)條件是 _8、 如圖， 已知： E、F 是平行四邊形 ABCD

10、對(duì)角線 AC 上的兩點(diǎn)，并且 AE=CF。求證：四邊形 BFDE是平行四邊形變式一：在 ABCD中， E， F 為 AC上兩點(diǎn)， BE/DF求證：四邊形 BEDF為平行四邊形變式二：在 ABCD中， E,F 分別是 AC上兩點(diǎn)， BEAC于 E，DF AC于 F. 求證 :四邊形 BEDF為平行四邊形。想一想：在 ABCD中， E ，F(xiàn) 為 AC上兩點(diǎn)， BEDF那么可以證明四邊形 BEDF 是平行四邊形嗎？9、如圖，平行四邊形ABCD中， AFCH，DE BG。求證： EG和 HF互相平分。DHCEGAFB圖 20.1.3-110、如圖所示，在四邊形ABCD中，M是 BC中點(diǎn)， AM、BD互

11、相平分于點(diǎn) O，那么請(qǐng)說明 AM=DC且 AM DCADOBMC11、如圖，在 ABCD中，已知兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E、F、G、H 分別是AO、BO、 CO、DO的中點(diǎn)，以圖中的點(diǎn)為頂點(diǎn)，盡可能多地畫出平行四邊形AEOHDFGBC12、在四邊形 ABCD中， ADBC，且 AD BC，BC = 6cm, P, Q 分別從 A， C 同時(shí)出發(fā)，P 以 1 厘米 / 秒的速度由 A 向 D 運(yùn)動(dòng)，Q 以 2 厘米 / 秒的速度由 C 向B 運(yùn)動(dòng)，幾秒后四邊形 ABQP成為平行四邊形？13、如圖，在 ABC中，BD平分 ABC，DE BC交 AB于點(diǎn) E，EFAC交 BC于點(diǎn)F，那么 BE=CF，

12、請(qǐng)你說明理由 .AEDBFC14、已知，如圖， ABC是等邊三角形，過 AC邊上的點(diǎn) D 作 DGBC，交 AB于點(diǎn)G，在 GD和延長線上取點(diǎn) E，使 DE DC，連接 AE、 BD。（1）求證： AGE DAB；（2）過點(diǎn) E 作 EFDB，交 BC于點(diǎn) F，連結(jié) AF，求 AFE的度數(shù)。AGDEBFC_15、如圖 4.4-17 ，等邊三角形 ABC的邊長為 a，P 為 ABC內(nèi)一點(diǎn)，且 PDAB，PEBC， PFAC，那么， PD+PE+PF的值為一個(gè)定值 . 這個(gè)定值是多少 ?請(qǐng)你說出這個(gè)定值的來歷 .16. 如圖所示，在平行四邊形 ABCD中， P1、P2 是對(duì)角線 BD的三等分點(diǎn)，求

13、證： ? 四邊形 AP1 CP2是平行四邊形17. 已知如圖所示， 點(diǎn) O為平行四邊形 ABCD的對(duì)角線 BD的中點(diǎn)，直線 EF經(jīng)過點(diǎn)O，分別交 BA、 DC的延長線于 E、F 兩點(diǎn)，求證： AE=CF18. 已知：如圖所示，平行四邊形 ABCD的對(duì)角線 AC、BD?相交于點(diǎn) O，EF 經(jīng)過點(diǎn)O并且分別和 AB、CD相交于點(diǎn) E、 F，又知 G、H 分別為 OA、OC的中點(diǎn)求證：四邊形 EHFG是平行四邊形3、矩形考點(diǎn)一、矩形的定義（ 1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。例 1、在 ABCD 中,AB=3，BC=4，AC=5，則 ABCD 是矩形嗎？ADBC考點(diǎn)二、矩形的性質(zhì)（ 1）

14、矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；（ 2）矩形的對(duì)角線相等；（ 3）矩形的四個(gè)角都是直角；（ 4）矩形是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸。例 2、E，F(xiàn) 分別是矩形 ABCD的對(duì)角線 AC和 BD上的點(diǎn)，且 AE=DF。求證：BE=CF。ADE FOBC考點(diǎn)三、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)（ 1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。例 3、BD、CE是 ABC兩邊上的高， G、F 分別是 BC、DE的中點(diǎn)，求證： FG DEAEFDCBG考點(diǎn)四、矩形的判定方法（ 1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。（ 2）方法一：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。（ 3）方法二：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。例

15、 4、ABCD 的四個(gè)內(nèi)角的角平分線分別相交于E、F、G、H，試說明四邊形EFGH是矩形。ADGFHECB練習(xí)題一、選擇題1矩形具備而平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）A對(duì)角線互相平分B鄰角互補(bǔ)C對(duì)角相等D對(duì)角線相等2在下列圖形性質(zhì)中，矩形不一定具有的是（A對(duì)角線互相平分且相等C既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形）B四個(gè)角相等D對(duì)角線互相垂直平分3若矩形的一條對(duì)角線與一邊的夾角是40，則兩條對(duì)角線相交所成的銳角是（）A20B40C80D1004直角三角形中，兩條直12 和 5，則斜邊中線的長是（）A26B13C30D655下列識(shí)別圖形不正確的是（）A有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形;B有三個(gè)角是直角的

16、四邊形是矩形C對(duì)角線相等的四邊形是矩形D對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形6四邊形 ABCD 的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定它是矩形的是（）AAB=CD ，AB CD， BAD=90 BAO=CO ，BO=DO， AC=BDC BAD= ABC=90 ， BCD+ ADC=180 D BAD= BCD ， ABC= ADC=90 7如圖 1，矩形 ABCD 中，AB=8 ，BC=6，E、F 是 AC 上的三等分點(diǎn)，則S BEF為（）A8B12C16D24（1）（2）（3）8（2006成都）把一張長方形的紙片按如圖 2 所示的方式折疊， EM 、FM 為折痕，折疊后的 C 點(diǎn)落在 BM 或

17、 BM 的延長線上，那么 EMF 的讀度為（）A85B90C95D1009（2006黑龍江）如圖3，在矩形ABCD 中， EFAB ， GHBC ，EF、 GH的交點(diǎn)P在BD上，圖中面積相等的四邊形有（）A3 對(duì)B4 對(duì)C5 對(duì)D6 對(duì)10如圖 4，矩形 ABCD 的周長為 68，它被分成 7 個(gè)全等的矩形，則矩形 ABCD?的面積為（）A98B196C280D284二、填空題11矩形 ABCD 中，對(duì)角線 AC=10cm，AB ：BC=3：4，則它的周長是 _12矩形 ABCD 的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，如果矩形的周長是34cm，又 AOB?的周長比 ABC 的周長少 7cm，則 AB=_cm

18、，BC=_cm13在矩形 ABCD 中，對(duì)角線AC 、BD 相交于點(diǎn)O，若 AOB=110，則OAB=_14如圖5 所示，把兩個(gè)大小完全一樣的矩形拼成“FAC=_， FCA=_L? ”形圖案，?則（4）（5）（6）15如圖 6，在四邊形 ABCD 中， E、F、G、H 分別是 AB 、BC、 CD、DA 的中點(diǎn)，?添加一個(gè)條件， 使四邊形 EFGH 為矩形，添加的條件是： _三、解答題16已知：如圖，在矩形ABCD 中， AE BD 于 E，對(duì)角線 AC 、BD 相交于點(diǎn)O，?且 BE： ED=1：3，AB=6cm ，求 AC 的長17已知：如圖， M 為 YABCD 的 AD 邊上的中點(diǎn)，且

19、MB=MC ，求證： Y ABCD 是矩形18（ 2006瀘州）如圖，在矩形ABCD 中，點(diǎn) E 是 BC 上一點(diǎn)， AE=AD ，DF AE，垂足為 F，線段 DF 與圖中的哪一條線段相等？先將猜想出的結(jié)論填寫在下面的橫線上，然后再加以證明即 DF=_（寫出一條線段即可）19如圖，四邊形 ABCD 中， ABC= ADC=90 ， M 、N 分別是 AC 、BD?的中點(diǎn)，那么 MN BD 成立嗎？試說明理由20（ 2006江蘇淮安）如圖， AB=CD=ED ，AD=EB ， BE DE，垂足為 E（1）求證： ABD EDB;（2）只需添加一個(gè)條件， 即 _，可使四邊形 ABCD 為矩形，加

20、以證明21如圖，在 YABCD 的紙片中， AC AB ， AC 與 BD 相交于點(diǎn) O，將 ABC 沿對(duì)角線 AC 翻轉(zhuǎn) 180，得到 AB C（1）求證：以 A ， C，D，B為頂點(diǎn)的四邊形是矩形（2）若四邊形 ABCD 的面積 S=12cm2 ，求翻轉(zhuǎn)后紙片重疊部分的面積，即S ACE22（ 2006南寧）如圖 a 中的矩形 ABCD ，沿對(duì)角線 AC 剪開，再把 ABC? 沿著 AD 方向平行移動(dòng)， 得到圖 b在圖 b 中，ADC CBA ，AC A C， A B?DC?除 DAC 與 C BA 外，指出有哪幾對(duì)全等的三角形（不能添加輔助線和字母）？選擇其中一對(duì)加以證明（ a）(b)2

21、3如圖所示，以 ABC 的三邊在 BC 的同側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形，即：ABD ， BCE， ACF ，回答下列問題：（1）四邊形 ADEF 是什么四邊形？（2）當(dāng) ABC 滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF 是矩形？（3）當(dāng) ABC 滿足什么條件時(shí)，以A ，D，E，F(xiàn) 為頂點(diǎn)的四邊形不存在？4、菱形考點(diǎn)一、菱形的定義（ 1）有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形例 1、四邊形 ABCD中， ABCD，AB=CD=BC，則四邊形 ABCD是菱形嗎？ADBC考點(diǎn)二、菱形的性質(zhì)（ 1）菱形的四條邊都相等；（ 2）菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。（ 3）菱形是軸對(duì)稱圖形，它有 2 條對(duì)稱

22、軸。例 2、已知菱形周長為 16cm，兩鄰角之比為 1:2 ，則較短對(duì)角線的長為 _?？键c(diǎn)三、菱形的判定方法（ 1）定義法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。（ 2）判定定理：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；四邊相等的四邊形是菱形。例 3、AD是 ABC的角平分線， EF 垂直平分 AD,分別交 AB于 E，交 AC于 F，則四邊形 AEDF是菱形嗎？AOEFBDC考點(diǎn)四、菱形面積的計(jì)算（ 1）菱形面積 =底高 =兩對(duì)角線乘積的一半。例 4、已知菱形 ABCD的邊長為 2cm，BAD=120，對(duì)角線 AC和 BD相交于點(diǎn) O，求這個(gè)菱形的面積。AOBDC練習(xí)題一、選擇題1把菱形 ABCD沿對(duì)角

23、線 AC的方向移動(dòng)到菱形ABCD的位置，它們重疊部分的四邊形 AFCE是()D DEACCAFBBA正方形B矩形C菱形D不確定2如圖，菱形 ABCD中， B60， AB2，E、F 分別是 BCCD的中點(diǎn)，連接AE、EF、 AF，則 AEF的周長為（）A23B 3 3C4 3D3ABDEFC3已知菱形的周長為96 ，兩個(gè)鄰角的比是1 2，這個(gè)菱形的較短對(duì)角線的長是()A21B22 C23D24 4若菱形周長為 52cm，一條對(duì)角線長為10cm，則其面積為 ()2222 A 240 cm B 120 cm C 60 cm D 30 cm5如圖，下列條件之一能使平行四邊形ABCD是菱形的為（） AC

24、 BD BAD 90o AB BC AC BDABCDADBC6如圖，在三角形 ABC 中， AB AC ，D 、E 分別是 AB 、AC 上的點(diǎn)， ADE 沿線段 DE 翻折，使點(diǎn) A 落在邊 BC 上，記為 A 若四邊形 ADA E 是菱形，則下列說法正確的是 () DE是ABC 的中位線BAA 是 BC 邊上的中線AC AA是 BC 邊上的高D AA 是 ABC 的角平分線ADEBAC7如圖，將一個(gè)長為10cm，寬為 8cm的矩形紙片對(duì)折兩次后，沿所得矩形兩鄰邊中點(diǎn)的連線 ( 虛線 ) 剪下，再打開，得到的菱形的面積為()A10cm220cm240cm280cm2BCDDACB8若菱形的

25、邊長為1cm，其中一內(nèi)角為60，則它的面積為()A 3 cm2B3cm 2C 2cm2D 2 3cm229一個(gè)菱形兩條對(duì)角線之比為12，一條較短的對(duì)角線長為4cm，那么菱形的邊長為()A2cmB4cmC (225)cmD25cm10如圖，在菱形 ABCD中， A110， E，F(xiàn) 分別是邊 AB和 BC的中點(diǎn)， EPCD于點(diǎn) P，則 FPC ()A35B45C50D55DAEPCBF二、填空題11如圖，菱形 AB1C1 D1 的邊長為 1， B160o ；作 AD2B1C1 于點(diǎn) D2 ，以 AD2為一邊，做第二個(gè)菱形 AB2C2 D2 ，使B260 o；作 AD3B2C2 于點(diǎn) D3 ，以 A

26、D3 為一邊做第三個(gè)菱形 AB3C3 D3 ，使 B360o ；L L 依此類推，這樣做的第 n 個(gè)菱形ABn Cn Dn 的邊 ADn 的長是C3B3B2D 3D1AC2B1C1D212如圖，菱形 ABCD 的邊長為 2，ABC45o ，則點(diǎn) D 的坐標(biāo)為yADO (B)Cx13如圖所示，菱形ABCD 中，對(duì)角線 AC、 BD 相交于點(diǎn) O ， H 為 AD 邊中點(diǎn)，菱形 ABCD 的周長為 24，則 OH 的長等于AHBCOC那么，菱形 ABCD的面菱形 ABCD中， AE垂直平分 BC，垂足為 E，AB144cm積是，對(duì)角線 BD的長是ABDEC15如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)請(qǐng)你

27、添加一個(gè)條件：，O，使得該菱形為正方形DC DCAOOBAB16如圖，菱形 ABCD 中， O 是對(duì)角線 AC，BD 的交點(diǎn)， AB5cm， AO4cm ，則 BD _cmDOACB17菱形的對(duì)角線長分別為6 和 8，則菱形的邊為，菱形的面積為。18己知菱形 ABCD的邊長是 6，點(diǎn) E 在直線 AD上，DE3，連接 BE與對(duì)角線 AC相交于點(diǎn) M，則 MC 的值是AM19如圖， ABCD中，AE、CF分別是 BAD和 BCD的角平分線，根據(jù)現(xiàn)有的圖形，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形AECF為菱形，則添加的一個(gè)條件可以是( 只需寫出一個(gè)即可，圖中不能再添加別的“點(diǎn)”和“線”).AFDBEC20如圖，

28、在菱形 ABCD 中， A60，E 、F 分別是 AB 、AD 的中點(diǎn)，若 EF2 ，則菱形 ABCD 的邊長是 _三、證明題21矩形 ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DE/ AC， CE/ DB，CE、DE交于點(diǎn) E，請(qǐng)問：四邊形 DOCE是什么四邊形？請(qǐng)說明理由EDCOAB22在矩形 ABCD中， AB6cm， BC8cm，若將矩形對(duì)角線BD對(duì)折，使 B 點(diǎn)與D點(diǎn)重合，四邊形EBFD是菱形嗎？請(qǐng)說明理由，并求這個(gè)菱形的邊長AEDBFC四、解答題23在矩形 ABCD中， AB6cm， BC 8cm， 若將矩形對(duì)角線BD對(duì)折，使 B 點(diǎn)與D點(diǎn)重合，四邊形EBFD是菱形嗎？請(qǐng)說明理由，并求這個(gè)菱形的

29、邊長AEDBFC24如圖， ABC 中，點(diǎn) O 是邊 AC 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過 O 作直線 MN BC ，設(shè) MN交 BCA的平分線于點(diǎn) E ，交 BCA 的外角平分線于點(diǎn) F (1) 探究：線段 OE 與 OF 的數(shù)量關(guān)系并加以證明； (3 分)(2) 當(dāng)點(diǎn) O 在邊 AC 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形 BCFE 會(huì)是菱形嗎？若是，請(qǐng)證明，若不是，則說明理由； (3 分 )(3) 當(dāng)點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng)到何處，且 ABC 滿足什么條件時(shí)，四邊形 AECF 是正方形？ (3分 )AMEOFNBDC25如圖，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別是菱形 ABCD中 BC， CD邊上的點(diǎn) ( E，F(xiàn) 不與 B，C，D重合 ) 在不連輔助線的情

30、況下請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，說明AEAFABDEFC26兩個(gè)完全相同的矩形紙片ABCD、 BFDE如圖放置， AB BF求證：四邊形 BNDM為菱形AMBEFDNC27如圖，四邊形 ABCD是菱形， DEAB交 BA的延長線于 E， DFBC，交 BC的延長線于 F。請(qǐng)你猜想 DE與 DF的大小有什么關(guān)系？并證明你的猜想FDCEAB5、正方形考點(diǎn)一、正方形的定義（ 1）有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。例 1、 ABC中， ABC=90， BD 平分 ABC，DEBC,DF AB，試說明四邊形BEDF是正方形。ADFBEC考點(diǎn)二、正方形的性質(zhì)（ 1）四條邊都相等，鄰邊垂直，對(duì)邊平行

31、；（ 2）四個(gè)角都是直角；（ 3）對(duì)角線相等且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；（ 4）是軸對(duì)稱圖形，有 4 條對(duì)稱軸；（ 5）正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形， 對(duì)角線與邊的夾角是 45，正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰三角形。例 2、點(diǎn) E 是正方形 ABCD內(nèi)的一點(diǎn)， CDE是等邊三角形，連接 EB、EA，延長BE交邊 AD于點(diǎn) F。AB（ 1）求證： ADE BCE（ 2）求 AFB的度數(shù)。FECD考點(diǎn)三、正方形的判定（ 1）先證它是矩形，再證它有一組鄰邊相等；（ 2）先證它是菱形，再證它有一個(gè)角是直角。例 3、已知點(diǎn) E、F、G、 H 分別是正方

32、形 ABCD 四條邊上的點(diǎn)，并且AE=BF=CG=DH 。AD求證：四邊形 EFGH 是正方形。HEGFBC練習(xí)題一、填空1、正方形的對(duì)稱軸有條，它的對(duì)稱中心是。2、正方形的邊長為4cm，則周長為，面積為。3、正方形的對(duì)角線與一邊的夾角為。4、已知：如圖所示， E 為正方形 ABCD外一點(diǎn)， AEAD， ADE75，則 AEB。BAECD5、菱形的周長為 20cm，相鄰內(nèi)角度數(shù)之比為21，則菱形較短的對(duì)角線長為 cm。6、已知：矩形 ABCD中， AB2CB，點(diǎn) E 中 DC上，且AEAB，則 EBC。DECDCFABABE7、以正方形 ABCD的對(duì)角線 AC為一邊作菱形 AEFC，則 FAB

33、。8、一個(gè)正方形的對(duì)角線長3cm，則它的面積為。9、如圖所示，把 25 個(gè)邊長為 1 的小正方形拼成一個(gè)大正方形， A、B、C、D 都是小正方形的頂點(diǎn)，則四邊形 ABCD的面積為。ADDHCAGBBMC10、正方形 ABCD中，對(duì)角線的長是 10cm，點(diǎn) P 是 AB上任意一點(diǎn)，則點(diǎn) P 到 AC、BD的距離之和是。11、在正方形 ABCD中， E、F、G、H 分別是邊 AB、 BC、CD、 DA的中點(diǎn)，則四邊形 EFGH是形。12、如圖所示不，在正方形 ABCD中， M是 BC上一點(diǎn)，連結(jié) AM，作 AM的垂直平分線 GH交 AB于 G，交 CD于 H，若 AM10cm，則 GH。13、如圖

34、，正方形 ABCD和正方形 OEFG的邊長均為 4，O是正方形 ABCD的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，則圖中陰影部分的面積是。GDFCOAE二、選擇B1、在四邊形 ABCD中， O是對(duì)角線的交點(diǎn)，下列條件能判定這個(gè)四邊形是正方形的是。A、ACBD， ABCD， ABCDB、ADBC， A CC、AOBO CODO， ACBDD、ACCO， BODO， ABBC2、如圖所示，在正方形 ABCD中， H是 BC延長線上一點(diǎn)，使 CE CH，連結(jié) DH，延長 BE交 DH于 G，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是。A、BEDHADEGB、B、 H BEC90C、C、BGDHBCHD、D、 HDC ABE903、正方形具有而菱形沒

35、有的性質(zhì)是。A、對(duì)角線互相平分B、每條對(duì)角線平分一組對(duì)角BAC、對(duì)角線相等D、對(duì)邊相等4、以線段 AB的兩個(gè)端點(diǎn) A、B 為頂點(diǎn)作位置不同的正方形，一共可作。A 、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)5、在正方形 ABCD所在平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使 P 點(diǎn)與 A、B、C、D 中兩點(diǎn)都連在一個(gè)等邊三角形，那么這樣的P 點(diǎn)有。A、5 個(gè) B、12 個(gè) C、9 個(gè) D、15 個(gè)6、如圖所示，以正方形 ABCD中 AD邊為一邊向外作等邊ADE，則 AEB。A、10BAB、15EC、20D、12.5 CD7、下列說法錯(cuò)誤的是A、四個(gè)角相等的四邊形是矩形B、四條邊相等的四邊形是正方形C、對(duì)角線相等的菱形是正方形

36、D、對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形DC8、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AD2DC，M、N 分別GH在 AB兩邊的延長線上， 且有 MAABBN，則 MC與 DN的關(guān)系是。MABNA、相等 B、垂直 C、垂直且相等D、不能確定9、兩條鄰邊分別是 15cm和 20cm的平行四邊形最大面積是2cm。A、75 B、150 C、200 D、300三、說理與簡(jiǎn)答1、如圖所示，正方形 ABCD中， P 是對(duì)角線 AC上一點(diǎn)， PEAD AB于 E，PFBC于 F。請(qǐng)猜想 EF與 PD的數(shù)量關(guān)系、位置P關(guān)系，并說明理由。FB EC2、已知：如圖所示，在正方形ABCD和正方形 AEFG有一具公共頂點(diǎn)A，把正

37、方形 AEFG繞 A 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置，連結(jié)DG、BE。試說明： DGBE。DCGFABE3、已知：如圖所示，在正方形ABCD中， E、F 分別是 AD、 DC的交點(diǎn)， AF、BE交于點(diǎn) G，連結(jié) CG，試說明：CGB是等腰三角形。AEDGFBC4、如圖所示，在 Rt ABC中， C90， A、B 的平分線交于點(diǎn) D，DEBC于 E，DF AC于 F，試說明四邊形 CEDF為正方形。AFDCEB5、已知：如圖所示， E、 F 分別是正方形的邊BC、DC上的點(diǎn)，且 EAF45，求證： BEDF EFADFBEC6、如圖所示，在正方形ABCD中， M為 AB上任意一點(diǎn)， MN DM，BN平分

38、CBE，試說明： MDMN。DCNAMBE7、已知：如圖所示， ABCD是正方形，過 B 作 BFAC，E 是 BF 上一點(diǎn)，四邊形AEFC是菱形，試說明： FCA5F。FDCEAB8、如圖所示， ABCD是正方形， AEDB，BEBD，BE交 AD于 F，試說明：DEF是腰三角形。BAFECD9、如圖所示，已知正方形ABCD的對(duì)角線 AC、BD相交于點(diǎn) O，E 是 AC上一點(diǎn)，過 A 作 AGEB，垂足為 G，AG交 BD于 F，請(qǐng)說明 OEOFADOF GEBC對(duì)于上述命題，若點(diǎn)E 在 AC的延長線上， AGEB 交 EB的延長線于點(diǎn)G， AG的延長線交 DB 的延長線于點(diǎn)F，其他條件不變，如圖所示，請(qǐng)你想一想，結(jié)論“ OEOF”還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給予說明；如果不成立，請(qǐng)說明理由。ADOGCBFE10、如圖所示，點(diǎn) M是矩形 ABCD的邊 AD的中點(diǎn)，點(diǎn) P 是 BC邊上一動(dòng)點(diǎn)， PE MC，PF BM，垂足分別為 E、F。當(dāng)矩形 ABCD的長與寬滿足什么條件時(shí)， 四邊形 PEMF為矩形，請(qǐng)猜想并說明理由。在中，當(dāng)點(diǎn)P 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，矩形PEMF變?yōu)檎叫?？?/p>